放縮法證明不等式的基本策略

1、精品資料放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中， 常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點(diǎn)，有極大的遷移性，對(duì)它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性?！胺趴s法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié) 合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對(duì)讀者能有所幫助。1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）若多項(xiàng)式中

2、加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證 明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了2k2，從而是使和式得到化簡(jiǎn).2、先放縮再求和（或先求和再放縮）子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或 分母放大即可。3、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）n例 3、已知 an= n，求證：百2v 3 .ak可編輯修改例 1、已知an2n1（n*nN ）.求證：一2aia23a2a3電(nan 1*N ).證明:Q皀ak 12k12k 1122

3、(2k 11) 23.2k2k22k,k1,2,., n,aa2a2a3anan 122a1a2a2a3例 2、函數(shù)f（x）=-14x7，求證:（1）+f（ 2）+ +f(n)n+(n N*).2證明：由f(n)=厲=1-112n+f(2)+ +f(n)11n4(112 211 11(n2n 12122 22N ).此題不等式左邊不易求和，此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征 ,先將分子變?yōu)槌?shù),再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和.若分子,分母如果同時(shí)存在變量時(shí),要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分精品資料n證明：若4=土n刀k=21(k - 1)k(k + 1)nV1+士k=22：(k - 1

4、)(k + 1) ( k + 1 + k - 1 )=1n=1 +Ek=21 1(k -1)-,(k +1)=1 +1 +近-丄-1_2、n (n +1)本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)例 4、已知數(shù)列an滿足an 1a；,0證明Q01a1, al22n 1an,a22a1n1n(akak 1) ak 2(akak 1)k 116k 14、放大或縮小“因式”；1n1a1,求證：(akak 1)ak 2.2k 1321,a3丄L.當(dāng)k1時(shí),0 ak 2a31J4161611(a116an 1)32.n(ak本題通過對(duì)因式ak 2放大，而得到一個(gè)容易求和的式子a

5、k 1)，最終得出證明k 15、逐項(xiàng)放大或縮小例 5、設(shè)an,1 22 3.n(n1)求證:證明:.n(n 1)n2,n(n 1)(nn(n 1)22n 1an(n 1)22、n(n 1)2n1an(2n 1)2n(n 1)2an(n1)22本題利用n、n(n 1)2n 1對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；111例 6、求證：222L1222321 1 1 1證明：Q2n n(n 1) n 1 n12n可編輯修改111 1 111_ _ L _A _ /_2222 2122232n22223此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧,對(duì)

6、待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。7、利用基本不等式放縮例 7、已知 an5n 4，證明：不等式. 5amraman1 對(duì)任何正整數(shù)m,n都成立.證明：要證.5amn, aman1，只要證 5amn1 玄皿玄.2 aman.因?yàn)?amn5mn4 , aman(5m 4)(5n 4) 25mn 20(mn) 16 ,故只要證5(5mn4)1 25mn 20( m n) 162. /aman ,即只要證20m20n372叮aman.因?yàn)?2. amanaman5m5n 8 5m 5 n 8(15m 15n29)20m 20n 37,所以命題得證本題通過化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不

7、等式由2 amanaman放大即可.8、先適當(dāng)組合,排序，再逐項(xiàng)比較或放縮例 8、.已知i,m、n是正整數(shù)，且 1 vi(1+n)m證明：(1)對(duì)于 1 viwm，且 Am=m .(mi+1),m i 1,同理繹衛(wèi)口mnn nAiAj所以牛啓,即mAnniAmn m(2)由二項(xiàng)式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+ +C；mn,(1+n)m=1+C 訃 +Cn2+Cmnm,A1iA由(1)知miAnniAm (1 viwmvn)，而 Cm=,Cn A mCnnCm(1 vmvn )可編輯修改精品資料0000 1 12222 mCn=nCn=1 ,mCn=nCm=mn,mCnnCm,-m m

8、 m m m+1m 1n n由于mvn,對(duì)于整數(shù)2，1 , 1151 17L)()-n 1 n42 n4放縮拆項(xiàng)時(shí)， 不定從第一項(xiàng)開始,精品資料須根據(jù)具體題型分別mCnnCm,mCn 0,，mCn 0 , 1+C1nm+C2m2+ +Cnmn 1+Cn+C2mn2+ +Cmnm,即(1+m)n (1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略， 解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆?法，有時(shí)還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事 半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮 法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌