江蘇省宿遷市2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題

1、宿遷市2019-2020學年度第一學期市直高三期末測試注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共4頁，均為非選擇題（第 1題第20題，共20題）。本卷滿分為160分, 考試時間為120分鐘?？荚嚱Y束后，請將答題卡交回。2 .答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3 .請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您本人是否相 符。4 .作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律無效。1參考公式：錐體的體積公式V=-Sh,其中S是錐體的底面面積，h是高.

2、3一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位 置上. 1 . 已知集合 A = x | x +1 >0, x 運 R , B =x | 2x 3 <0, xw R,貝U A 口 B =.2 .已知復數(shù)z滿足z（1+2i ）=3i （其中i為虛數(shù)單位），則| z |的值為 .3 .交通部門對某路段公路上行駛的汽車速度實施監(jiān)控，從速度不小于50km/h的汽車中抽取200輛汽車進行測速分析，得到如圖所示的時速的頻率分布直方圖，則時速不低于80km/h的汽車有 輛.4 .如圖是一個算法的偽代碼，運行后輸出S的值為 .“5（第3題）卡5 J1While

3、 S<12S S +村一亞一 1End 口HiePrim 55 .春節(jié)將至，三個小朋友每人自制1張賀卡，然后將 3張賀卡裝在一盒子中，再由三人依次任意抽取1張，則三人都沒抽到自己制作的賀卡的概率為6 .設圓錐的軸截面是一個邊長為2cm的正三角形，則該圓錐的體積為cm3.227 .已知雙曲線C :與%=1(a>0,bA0)的離心率為2,右焦點與拋物線 y2=16x的焦 a b點重合，則雙曲線 C的頂點到漸近線的距離為.8 .已知數(shù)列an前n項和為Sn, an.24=1, a =1,則0的值為 .9 .已知正實數(shù)a,b滿足a +2b = 2 ,則的最小值為 .ab10 .已知點 A(1

4、,0),B(1,0),若圓(xa+1)2+(ya2)2 =1 上存在點 M滿足 MA MB =3,則實數(shù)a的取值范圍是.J y> x,內，則稱該函數(shù)為“V-x11 .對于函數(shù)y=f(x),如果f(x)是偶函數(shù)，且其圖象上的任意一點都在平面區(qū)域型函數(shù)”.下列函數(shù)： y = x +1；y =| x -)|;型函數(shù)”的是 .(將符合條件 y 二e|x| ； y=|tanx|(xW(-,-).其中是“V 2 2的函數(shù)序號都填在橫線上).12.如圖所示，矩形 ABCD勺邊AB=4, AD=2,以點C為圓心，CB為半徑的圓與 CD交于點E,若點P是圓弧EB(含端點 B E)上I 的一點，則PAPB的

5、取值范圍是.13.已知函數(shù) f(x) =3 2 cosx (cosx sin x)迤收 R),設點 P(x1,y1),F2(x2,y2), , 2, ._.,、.,一兀Tt *R(xn,yn),都在函數(shù)y = f (x)圖象上，且滿足 、=一，xn書xn=-(nu N ), 64則 y1 +y2 +111 +y2019 的值為_.x -1, 1 < x <2,14.已知函數(shù)f(x) =i 1如果函數(shù)g(x) = f (x)k(x-3)恰有2個不同的零2f (-x), x> 2,點，那么實數(shù)k的取值范圍是.二、解答題：本大題共 6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答

6、時應寫出文 字說明、證明過程或計算步驟.15.(本小題滿分14分)已知三角形ABC勺面積是S, AB AC =3 s .(1)求sinA的值;ABC勺面積S.(2)若BC =2串，當三角形ABC勺周長取得最大值時，求三角形16 .(本小題滿分14分)在四錐S -ABCD中，5八，面八8?？?，底面ABCO菱形.(1)求證：®SAC1WSBD ;(2)若點 M是棱AD的中點，點 N在SA上，且 AN =- NS ,求證：SC /面BMN .2e+Jo(第16題W17 .(本小題滿分14分)如圖所示，桌面上方有一盞電燈 A, A到桌面的距離 AO可以變化，桌面上有一點B到 點O的距離為a

7、( a為常數(shù))，設/ABO =日，燈A對B點的照度J與sine成正比、與 AB長的平方成反比，且比例系數(shù)為正常數(shù) k.(1)求燈A對B點的照度J關于6的函數(shù)關系式；(2)問電燈A與點O多遠時，可使得燈 A對B點的照度J最大？18.(本小題滿分16分)22如圖所示，橢圓 M ：2 + =1(a>b>0)的離心率為 Y2,右準線方程為x = 4,過點 a2b22P(0,4)作關于y軸對稱的兩條直線li2,且li與橢圓交于不同兩點A,B, I2與橢圓交于不同兩點D,C.(1)求橢圓M的方程;(2)證明：直線 AC與直線BD交于點Q(0,1);19.(本小題滿分16分)(3)求線段AC長的

8、取值范圍已知數(shù)列4 各項均為正數(shù)， &是數(shù)列 匕0的前n項的和，對任意的nW N*都有2Sn =3an2 +an 2.數(shù)列h各項都是正整數(shù)，b. =1 , b? =4,且數(shù)列ab1, ab2, ab3, iabn 是等比數(shù)列.(1)證明：數(shù)列4是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列斗的通項公式bn；(3)求滿足 一S<1的最小正整數(shù)n.bn 2420.(本小題滿分16分)x已知函數(shù) f(x) =, g(x) =kx + b(k,bw R).In x(1)求函數(shù)y = f (x)的定義域和單調區(qū)間；2(2)當b=2且x>1時，若直線y = g(x)與函數(shù)y = f(x)的圖象相切，求k的值

9、; 4(3)當b= -k時，若存在x w e,e2，使得f(x) & g(x) +，求k的取值范圍.-2數(shù)學n(附加題)本卷共4小題，每小題10分，共計40分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說 明、證明過程或演算步驟.八.12已知矩陣M =一a121.(本小題滿分10分)的一個特征值為 3 =3,其對應的一個特征向量為1 =一1求直線11 ： x +2y+1 =0在矩陣M對應的變換作用下得到的曲線 12的方程.22.（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為1X = J3C0Sz,為參數(shù)）.在極坐標系y =tsin.，（與直角坐標系xOy取相同的長度單

10、位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中,直線l的方程為Psin（日）=42 .4（1）求直線l的直角坐標方程和橢圓C的普通方程;（2）若直線l與橢圓C有公共點，求t的取值范圍.23.（本小題滿分10分）如圖，在直三棱柱 ABCA1B1cl 中，AC_LBC, AC = BC=1, BB1 =2 ,點 D 在BB1上，且 CiD _ AB1 .（1）求線段BQ的長;（2）求二面角D A1C G的余弦值.24.（本小題滿分10分）已知（第23題卜f (x) =(1+ax)n =a0 +3X1+22X2 + +anXn ,若對于任意 n= N* ,都有工(f)n(1)求實數(shù)a的值；.,2o11

11、11若 f(x)了 =b0 +bx+t2x2+b2nx ,求的值.3b1 32b2 33b332nb2n高三數(shù)學參考答案及評分標準、填空題：本大題共 14小題，每小題5分,共計70分.,3. J) ；26.樂；7.11.；12.72 ;3. 20;4.13;5.-；4;8.10139. 25;10.-2,1;288應,0;13.3/6-3/2 .14.(-1,0)U,-).429 13、解答題：本大題共 6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文 字說明、證明過程或計算步驟.15 解：(1)由 TB1AC=2S得 AB AC cosA =-23 x 1 AB AC sinA

12、,32所以 cosA=sinA . 2 分3在三角形 ABC中Aw(0,n )得tanA = J3, 4分 二. 3所以/A = ，sinA =, 7分32(2)在三角形 ABC中，a2 =b2 +c2 -2bccosA ,2二所以 12 =(b +c ) -2bc -2bccos, 3即(b+cf12=3bc W3ibc i, 10分2當且僅當b=c時取等號，所以 b+c£4j3,所以周長的最大值為6J3 ,此時b = c = 2J3 ,所以面積S=AB AC sinA =3百.解法二：在三角形 ABC中-AB- =-AC =-BC得 sinC sinB sinAAB AC _2V

13、3 4SinC sin - C 吏 32所以周長 l = BC AB CA =2 3 4sinC 4sin C 3=2V3+4T3sin'C + （ I10分,2 二由Cw .0, 得，當C=時，周長l取得最大值為6V3,33此時 AC =AB -2.3, 1所以面積 S=-AB AC sinA=343. 14分216 解：（1）因為 SA10ABCD , BDu 面 ABCD ,所以 SA_L BD, 2 分 S又因為底面ABC皿菱形，得AC _ BD ,由SA, AC都在面SAC內，且S2 AC = A,所以BD _L面SAC, 5分由BD u面SAC ,得面5慶面58口 ； 7分

14、(2)由底面ABCD菱形，得 AD / BC(第16題)所以AE AM AMEC又因為ANBC AD1 c=NS ,所以AE2ANEC NS所以NE/SC，11分因為NEU面BMN ,SC0 面BMN ,所以SC/面BMN 14分17解：（1）因為J =ksn2（k為正常數(shù)），AB2又 AB =二一(0<9< -), cos 12所以J = kJik . /2 .=sin 9 (1-sin 曰)(0<曰<一),(2)令 t =sine,貝版 w (0,1 )，k 23因為 J = t (1-t2) =t-t3(0<t<1), a由 J=1-3t2=0 得 t

15、=?(舍-?),一3所以tW（0,二），J'>0,則J單調遞增;33所以tw (33,1) , J'<0,則J單調遞減, 312分所以當t=Y§時，J取得最大值，此時sin6 = ,cos933所以 OA=OBtan 二-asin 二cosu=J2a時，J取得最大值,答：當電燈A與點。的距離為J2a時，可使得燈 A對B點的照度最大.14分18解：（1）由c 2e = - =a 22=4c,22b = a所以橢圓M的方程22x y一 一 二1 .84(2)設直線 11： y =kx+4A(x1,y) B%),則D(-x,y1),C(-x2, 12 ,-22工

16、工=1聯(lián)立84y = kx 4消 y 得(1+2k2)x2 +16kx + 24 =0 ,6分-16kx1 x2 .2 ,1+2k224K x2 =2，1+2k2又 kBQ=5,kDQ=",x2-Xi,y2 -1y1 -1kx2 3 kx1 3kBQ - kDQ -'X2-x1X2x148k= 2k+3(x1+X2)=2k+ 1：2k2 =2k_2k = 0, 8分x1x2241 2k2kBQ=kDQ ,故點B,D,Q三點共線，即直線 BD經過點Q(0,1)同理可得直線 AC經過點Q(0,1), 所以直線AC與直線BD交于點Q(0,1). 10分(3)由(2)可知 AC2 =

17、(x1 +x2)2 +(y1 -y2)2 = (x1 +x2)2 +k2(x1 -x2)22, 22二 (x1 x2)k |(x1+x2) -4x1 x2162 k2 , 2 162 k2,24=一, _ 入 2 +k h _ 2X 2 -4 ' 2-(1+2k2)2(1+2k2)21+2k2=16424 k +10k424k +4k +1+,11 1M61-6k2 -1 1 4k4+4k2+112分ot+1令t =6k2-1,則k2 二6,2 22.23一又由 A=16 k 4父24M(1+2k ) >0 得 k,所以 t>82.AC2 =16+26t =16 1+- 9

18、t 一42+4+1- t2+8t+16,66=1614分1+t+"+8t16門 ” t+ +8 =1 .t16一，p- >0在t w （8嚴）上恒成立191<1+：2t+ +8t16/、，t+ +8在t亡（8,+°°）上單調遞增169t+ +8 18, - 0 ： t'16 ctt+ +8t一 _2_16 二 AC2 < 2416分.4 二 AC <2.6.2_ 2_ _19 解：（1）當 n=1 時，2ai =3a +4 -2 ,即 3ai -ai -2 = 0 ,（3a +2埼-1）=0, 由a1 >0得a=1 ； 1分當

19、 n 之2時，由 2Sn =3an2 +an -2得 2Sn=3an2+an一2 ,所以兩式相減得2an =3an2 - an -3an2 -an，所以 3（an anXan+an）= an+an， 3 分由 an >0知 an +anJL >0所以 an -anx-13所以數(shù)列aj是首項a1 =1,公差d =1的等差數(shù)列5分3,112（2）由（1）得 an =1 +（n 1 ）= 一 n + ，333由 a1=a =1,ab2 =a4=2,所以數(shù)列abj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列所以abn=2n; 7分12又 abn=3bn+z，33所以10分abn =；bn +|=2; 即

20、 bn=3M2n-2. 33（3）由Snnaa。12-n265nn2 5n 2-所以一S = 6 = n-5n , 12分bn 23 2n 9 2nSnbn 2n2 5n9 2n2n 15 n 1f n 1 _9T_1-Z=2 Zf nn 5n9 2nn2 7n 61 , 2n 6212n2 10n2n2 5n人f n 1令''A1得f n2n 7n 62n2 10n>1,即 n2 +3n -6<0 ,所以 f (1)<f (2)>f (3)>f (4)> > f(n)>,14分又因為f 1 =b1218S214b2 23618S

21、324b3 272S436b4 2144S55025b5 2288144所以當n之5時,所以滿足Snbn2< 的最小正整數(shù)n為5.416分ln x =020解(1)由 < 得yx 0= f(x)的定義域 xW(0,1)!J(1 產),f (x)=1 2 In x由 f (x)=Inx -1ln2x>0得 xw (e嚴),由 f (x)=ln x -1ln2 x<0 得 xW(0,1)U(1,e),所以y = f(x)的單調增區(qū)間為xw (e,+o ),單調減區(qū)間為xw(0,1加(1,e)；e2fx 、(2)iy=kx+ 與 y = f (x)相切于點X0,(X0>

22、1),4、Inxo j2 x。_e_In x° -1In x。4 k = f (%)=-2,且 k=，In x。x。- 02 x e 2In x。4 _ In xo -1 心的陽 e . 2二=2,化間得一In xo=x。，x。一。In x。42 一* x。>1,. In % = -Jx。， e 1令 h(x) =In x(x >1),ee- vxex由 h'(x) >。得 x w (1, e2 ),由 h'(x) <。得 x= (e2,+1),.22:y二h(x)在x51,e 浮倜遞增，在x w (e ,+°o )單倜遞減， 8分2

23、、y=h(x)極大值=h (e )=0 ,2 . 2二方程 Inx-Jx。在 x。(1,+°°)上有唯一解 &=e , e2、 Ine -11“八.k = f (e )= 22 = 1。分In e 4.一x21(3)令中(x) = f(x) g(x)=-kx + k(e<x <e ),依題意知中(x)min <In x212分.中(x)=空二_k 二'，_l +1_k 的值域為 i-k,-kl, In2 xIn x 24_4當k之。，即k w。時，二邛'(x)之。，單(x)在e, e2單調遞增，1Z(x)min =P(e) =e-k

24、(e-1) <2 ,1 e 解得k之 一2-,不合題意，(e -1)，11當一一k E0,即k之一時，二中'(x)W0,44邛(x)在ej, e2 I單調遞減，：(x)min= :(e2) =e- -k(e2 -1)-1,221解得k之一，滿足題意， 14分2.12.當0 <k <4時，存在唯一 x°w(e,e )滿足中(x0)=0 ,，xw(e, xo )時,中'(x)<0； xw(x0,e2)時，91r(x)0,中(x)在x w (e, x0 )單調遞減，在xw (x0, e2 )單調遞增，T(x)min ='(x。)= % k(x

25、0 1) W , ln x02解得 k 至一1(-x -)>1(弛 _1)=1 ,(%-1) lnx0 2(")2 22 .1這與0 <k < 一矛盾，不合題意， 4，一，1綜上所述，k的取值范圍為k >-. 16分21 :31數(shù)學n(附加題)參考答案與評分標準21 解：由 M a = M 得,1 2,a 1 1.1所以 a=2, m=Y 21：2 1 一設P收,y1)是直線C1上任意一點，在矩陣 M對應的變換作用下得到點P2 (x2,y2 ),且P2在曲線C2上,02 =x +2y142 2 冊也1+y,12x1 = - - x2 y2所以j 33 ,21y

26、1 =7x2 -二 y233代入曲線C1的方程得x2 +1 =0所以曲線C2的方程x+1 = 0.10分Z 冗、 j22 解:(1) 2Psin |日二 1二/2，得 yx2=0,4由;x=J3c0f為參數(shù)y =t sin 工y - x - 2 = 0(2)由 J x2y2 消去 y 得(t3+3)x2+12x+123t2 =0.2" =13 t因為直線l與橢圓C有公共點，22242所以 &=1224(t2+3J(123t2 )之0,即 t -t >0 .所以t的取值范圍是t至1或t E 1 ,所以 t 的取值范圍是(-00,_73川(-73, 1U1,J3) U(J3,+°°).10分23解：在直三棱柱 ABC ABC1中，由AC_LBC,則以C1B1,gC為基底構建如圖所示的空間直角坐標系，則 A 1,0,2 ,B1 0,1,0 ,C1 0,0,0 ,B 0,1,2 ,C 0,0,2 ,所以 AB