(整理)全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案和評分標準

1、2012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第1頁（共 7 頁）2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準 第一試，選擇題和填空題只設(shè) 7 分和 0 分兩檔；第二試各題, 請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理，步驟正確，在 評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應(yīng)的分數(shù)第一試一、選擇題：（本題滿分 42 分，每小題 7 分）1.已知2012,b：=,3- .2,c:=,6- 2，那么a,b,c的大小關(guān)系是( )A.a b cB.a c bC.b a cD.b c a【答】C.1 _因為一二 2

2、+1,=3 +、2,11l所以0，故b a.又c-a= (、.-2)-1)飛aba b（、,2 1），而（、.6）2-（.21）2=3 -0，所以,6.21，故c a.因此b：a：c.2 22.方程x 2xy 3y =34的整數(shù)解（x, y）的組數(shù)為（）A . 3.B . 4.C. 5.D . 6.【答】B.方程即（x y）22y2=34,顯然x y必須是偶數(shù)，所以可設(shè)x，y=2t,則原方程變?yōu)?2It =2,2t2y2=17,它的整數(shù)解為從而可求得原方程的整數(shù)解為（x,y）=（-7,3）,（1,3）,（7,-3）,ly v,3.已知正方形 ABCD 勺邊長為 1, E 為 BC 邊的延長線上

3、一點, BF并延長與線段 DE 交于點 G,貝 U BG 的長為A .邁3【答】D.過點C作CP/BG,交DE于點P.因為BC= CE= 1,所以CP是 BEG的中位線，所以 P 為 EG 的中點.又因為 AD= CE= 1 , AD/CE，所以 ADFAECF,所以 CF= DF,又CP/FG ,所以 FG 是厶 DCP 的中位線，所以 G 為 DP 的中點.1寸2因此 DG = GP= PE= DE =33連接 BD，易知/ BDC=ZEDC= 45，所以/ BDE= 90 又 BD=J2，所以 BG=JBD2+ DG2= 2934.已知實數(shù)a, b滿足a2b2=1，則a4ab b4的最小

4、值為CE= 1，連接 AE,與 CD 交于點 F,連接（ ）C.2012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第 2 頁(共 7 頁)19A .B. 0.C. 1.D.88【答】B.442222222129a4ab b4=(a2b2)-2a2b2- ab =1 -2a2b2ab二-2(ab_)2.48”2211311129因為2|aba b =1，所以ab，從而ab，故0乞(ab )，因此224444161?99亦4490 _ -2(ab )，即0 _ a ab b4888因此a4ab b4的最小值為 0,當a2,b2或a2, b2時取得.22 2 22323X1,X2滿足X1X1=4

5、-(X2 -X2)，則實數(shù)p的所有可能的值之和為3A . 0.B.4【答】B.2 2 2 2x-ix2= (x,x2) _2片x2= 4 p 6p 4,x；x；=(xx2)(x1- x2)2-3捲x2 = -2p(4 p29p 6).2323223322又由X1X1=4-(X2X2)得X1X2 =4-(X1X2)，所以4p26p 4 = 4 2p(4p29 p 6),3所以p(4p 3)( p 1)=0,所以5 =0, p2二一3, p3=1.43代入檢驗可知：p1=0, p2均滿足題意，p3=-1不滿足題意.433因此，實數(shù)p的所有可能的值之和為p1p 0 ().44abcd(數(shù)字可重復(fù)使用

6、)，要求滿足abd.這樣的四使用的數(shù)字是 1、2，組成的四位數(shù)可以是1122, 1221, 2112, 2211，共有 4 個；同樣地，如果使用的數(shù)字5.若方程x2 2px -3p -2 =0的兩個不相等的實數(shù)根C. -1.由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得X1X2= -2p,論x2= -3 p - 2，所以6.由 1 , 2, 3, 4 這四個數(shù)字組成四位數(shù)位數(shù)共有A . 36 個.B . 40 個.【答】C.根據(jù)使用的不同數(shù)字的個數(shù)分類考慮：(1) 只用 1 個數(shù)字，組成的四位數(shù)可以是(2) 使用 2 個不同的數(shù)字，使用的數(shù)字有( )C . 44 個.D . 48 個.1111, 2222

7、, 3333, 4444,共有 4 個.6 種可能(1、2, 1、3, 1、4, 2、3, 2、4, 3、4).如果2012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第3頁（共 7 頁）是另外 5 種情況，組成的四位數(shù)也各有4 個.因此，這樣的四位數(shù)共有6X4= 24 個.(3)使用 3 個不同的數(shù)字，只能是 1、2、2、3 或 2、3、3、4，組成的四位數(shù)可以是 1232 , 2123,2321 , 3212, 2343, 3234, 3432, 4323，共有 8 個.(4)使用 4 個不同的數(shù)字 1 , 2, 3, 4，組成的四位數(shù)可以是 1243, 1342, 2134 , 243

8、1 , 3124 , 3421 ,4213 , 4312 ,共有 8 個.2012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第 2 頁(共 7 頁)因此，滿足要求的四位數(shù)共有4 + 24+ 8+ 8= 44 個.二、填空題：（本題滿分 28 分，每小題 7 分）1111._ 已知互不相等的實數(shù)a,b,c滿足a+= b+= c+= t，貝U t=_.bca【答】_1.1 1 111由a t得b，代入b t得t，整理得ct2-（ac T）t （a-c） =0bt -ac t -a c1222又由c t可得ac仁at，代入式得ct -at（a-c）=：0，即（c-a）（t -1）=0，又c =a

9、,a所以t2-1 =0，所以t驗證可知：b匚山二口 時t -1;b J,c = -L時t=-1.因此，t=T.1-a a1 +aa2.使得5 2m1是完全平方數(shù)的整數(shù)m的個數(shù)為_ .【答】1.設(shè)5 2m，1= n2（其中n為正整數(shù)），則5 2m= n2-1=（n，1）（n-1），顯然n為奇數(shù)，設(shè)n =2k-1（其中k是正整數(shù)），則5 2m=4k（k -1），即5 2m，=k（k -1）.因此，滿足要求的整數(shù)m只有 1 個.顯然k 1，此時k和k -1互質(zhì)，所以L 嚴或 Lm.k-1=1, k-1=2k = 2m_2或解得k =5,m = 4.k-1=5,3.在厶 ABC 中，已知 AB = A

10、C，/ A = 40P 為 AB 上一點，/ ACP = 20，則匹AP【答】、3.設(shè) D 為 BC 的中點，在 ABC 外作/ CAE = 20，則/ BAE = 60 .1作 CEL AE,PF 丄 AE,則易證 ACEAACD 所以 CE= CD= - BC.2J31又 PF= PAsin/ BAE = PAS in60=AP, PF= CE 所以AP= BC22 2因此匕BC=丿3.AP4.已知實數(shù)a,b,c滿足abc - -1,a b 4,ab a - 3a -1 b - 3b -1 c - 3c -1c2【答3322012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第5頁（共 7

11、 頁）因為a23a -1 =a23a abc =a(bc a - 3) = a(bc b c 1) = a(b 1)(c-1)，所以2a -3a -1 (b-1)(c-1)1c1，22= =(a -1)(c-1) c -3c-1 (a-1)(b-1)4所以(a -1)(b -1)(c -1) =(a -1) (b -1) (c-1).91結(jié)合abc = -1,a b c = 4，可得ab bc ac.4222233因此，a b c = (a b c) -2(ab bc ac).21 1實際上，滿足條件的a,b,c可以分別為 ，一，4.2 2第二試 (A)一、(本題滿分 20 分)已知直角三角形

12、的邊長均為整數(shù)，周長為解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為a,b,c(aEbcc)，貝U a + b + c = 30.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長c，下面先求c的值.由a _b : c及a b c =30得30二a b c : 3c，所以c 10.由a b c及a b c =30得30 = a b c 2c,所以c : 15.又因為c為整數(shù)，所以11乞C乞14. 5 分根據(jù)勾股定理可得a2bc2，把c=30-a-b代入，化簡得ab-30(a b) 45 0,所以2 2(30 -a)(30-b) =450 =2 35 ,.10 分30 -a =52,1a = 5,因為a,b均為整數(shù)且a蘭b，

13、所以只可能是2解得彳. 15 分30 b = 2汽32,lb =12.169所以，直角三角形的斜邊長C=13，三角形的外接圓的面積為 竺二. 20 分4. 2(本題滿分 25 分)如圖，PA 為。O 的切線，PBC 為。O 的割線，AD 丄 OP 于點 D.證明：AD = BD CD.同理可得b2b -3b -1結(jié)合abca2-3a -1 b2-3b -1 c2_3c_14=4可得91114-+ +- + +-= =(b_1)(c-1) (a-1)(c-1) (a-1)(b-1)930，求它的外接圓的面積AOD證明：連接 OA , OB, OC.又/ BDA=ZBDP+90 =ZODC+90

14、=ZADC, BDA ADCo20 分0A 丄 AP, AD 丄 OP 由射影定理可得 PA2=PD PO ,AD PD OD. 5 分又由切割線定理可得PA?二PBPC, PBPC=PDP0, D、B、C、0 四點共圓，2012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第 4 頁（共 7 頁）.10 分/PDB= ZPC0=Z0BC= Z0DC,ZPBD= ZCOD,PBACOD. 20 分PD BD2,AD2=PD OD = BD CD. 25 分CD 0D12二.（本題滿分 25 分）已知拋物線y x bx c的頂點為P,與x軸的正半軸交于 人人（捲,0）、63B（X2,0）（人:X

15、2）兩點，與y軸交于點 C , PA 是厶 ABC 的外接圓的切線設(shè) M（0,）,若 AM/BC ,求拋物線的解析式32解 易求得點 P（3bb2c）,點 C（0,c）.設(shè)厶 ABC 的外接圓的圓心為 D ,則點 P 和點 D 都在線段 AB 的垂直平分線上，設(shè)點 D 的坐標為（3b,m）.顯然，x,x2是一元二次方程X2 bx c=0的兩根，所以為=3b-、9b26c,6x2=3.9b26c,又 AB 的中點 E 的坐標為(3b,0),所以 AE =. 9b26c .5 分因為 PA 為OD 的切線，所以 PA 丄 AD,又 AE 丄 PD,所以由射影定理可得AE PE DE,即(,9b26

16、c)2= f3b2c) |m |又易知m：0,所以可得m - -6.又由 DA = DC 得DA2二DC2,即(9b26c)2m2=(3b-0)2(m-c)2,把m = -6代入后可解得c=-6（另一解c=0舍去）第二試 （B）.（本題滿分 20 分）已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為 60 ,解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為a,b,c（ab：c）,則a b 6010 分15 分OA又因為 AM/BC ,所以0B0M,即0C5把c = -6代入解得b（另一解因此，拋物線的解析式為3b -、9b26c3b、9b26c I -6|20 分5b舍去) 25x -6 225 分求它的外接圓的面積顯然，

17、三角形的外接圓的直徑即為斜邊長c,下面先求c的值 由a b：c及a b c=60得60二a b c：3c,所以c 20 又/ BDA=ZBDP+90 =ZODC+90 =ZADC, BDA ADCo20 分由a b c及a b c = 60得60 = a b e 2c，所以c : 30.又因為c為整數(shù)，所以21乞c豈29. 5 分根據(jù)勾股定理可得a2b2二c2，把c = 60-a -b代入，化簡得ab -60（a b） 1800 = 0，所以(60-a)(60 -b) “800 =233252，2012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準因為a,b均為整數(shù)且amb，所以只可能是60-

18、a=235, i 260-b=325,亠60-a = 2 52,或60_b=2232,解得a=20,或a。, b =15,| b = 24.15 分625當a=20,b=：15時，c=25，三角形的外接圓的面積為*4當a =10,b =24時，c =26，三角形的外接圓的面積為169二.20 分AD 丄 OP 于點 D,AADC 的外接二.（本題滿分 25 分）如圖，PA 為OO 的切線，PBC 為OO 的割線, 圓與BC 的另一個交點為 E.證明：/ BAE =ZACB.證明：連接 OA , OB, OC, BD.OA 丄 AP, AD 丄 OF, 由射影定理可得PA2=PDPO , AD

19、PD OD.又由切割線定理可得PA2二PBPC, PBPC二PDPO, D、B、C、O 四點共圓,10 分/PDB= ZPCO=ZOBC= ZODC,/PBD= ZCODPBMACODPD BDCD OD 10 分第 5 頁（共 7 頁）15 分-BD CD =PD OD =AD2, -BDADADCD又/ BDA=ZBDP+90 =ZODC+90 =ZADC, BDA ADCo20 分BAD=ZACD , AB 是厶 ADC 的外接圓的切線，二/ BAE=ZACB. （本題滿分25 分25 分) 題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試 （C）B(X2,0)（本題滿分（本題滿分（本題滿分(XI

20、: X2)20 分)25 分)題目和解答與（B）卷第一題相同. 題目和解答與（B）卷第二題相同.25 分）已知拋物線-1X2bx c的頂點為 P,與X軸的正半軸交于 A（Xi,0）、6兩點，與y軸交于點 C，PA 是厶 ABC 的外接圓的切線將拋物線向左平移24（、3-1）2012 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第 6 頁（共 7 頁）個單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點Q,且/ QBO =ZOBC.求拋物線的解析式解拋物線的方程即2123b232y (x - 3b)c,所以點 P(3b, b c)，點 C(0, c)6 2 2設(shè)厶 ABC 的外接圓的圓心為 D，則點 P 和點 D 都在線段 AB 的垂直平分線上，設(shè)點 D 的坐標為（3b,m）.顯然，x1,x2是一元二次方程1 x2，bx，c = 0的兩根，所以X1=3bP9b2 6c,6x2=3,9b26c，又 AB 的中點 E 的坐標為(3b,0)，所以 AE =. 9b26c.因為 PA 為OD 的切線，所以PA 丄 AD,又 AE 丄 PD,所以由射影定理可得AE PE DE，即0. 9b26c )