實驗十五 矩陣的分解

1、實驗十五矩陣的分解【實驗?zāi)康摹? 了解矩陣LU,QR和Cholesky分解的基本概念。2 學(xué)習(xí)掌握MATLAB軟件有關(guān)的命令?！緦嶒灉?zhǔn)備】1 矩陣的LU分解LU分解是將一個方陣表示兩個基本三角矩陣的乘積,其中一個三角矩陣為上三角陣,另一個為下三角陣,這里使用的是高斯變量消去法. 2矩陣的分解矩陣為實矩陣,且滿足,其中為單位矩陣,則稱為正交矩陣.QR分解能把任意長方陣分解為正交矩陣和上三角矩陣的初等變換形式的乘積,比如把矩陣進(jìn)行如下分解,其中為初等變換矩陣.3矩陣的Cholesky分解Cholesky分解把矩陣分解為上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積,即,其中為上三角矩陣.如果復(fù)數(shù)矩陣滿足Hermite正

2、定,也有Cholesky分解.3矩陣的MATLAB命令MATLAB中主要用lu,qr和chol分別完成矩陣的LU,QR和Cholesky分解。L,U=lu(A) 矩陣A的LU分解Q,R=qr(A) 矩陣A的QR分解R=chol(A) 矩陣A的Cholesky分解可以用help lu, help qr,help chol查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息【實驗方法與步驟】 練習(xí)1 求矩陣的LU分解相應(yīng)的MATLAB代碼和計算結(jié)果為：A=1 2 3;4 5 6;7 8 0; %創(chuàng)建矩陣L,U=lu(A) %進(jìn)行LU分解L = 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0

3、000 0 0U = 7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000練習(xí)求矩陣的QR分解.實際上是一個虧損矩陣,中間列是其他兩列的平均,秩和虧損值由QR分解得出.相應(yīng)的MATLAB代碼和計算結(jié)果為： A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Q,R=qr(A)Q = -0.0776 -0.8331 -0.2636 -0.4801 -0.3105 -0.4512 0.7093 0.4437 -0.5433 -0.0694 -0.6278 0.5530 -0.7762 0.3124 0.

4、1821 -0.5166R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0 本練習(xí)表明,當(dāng)矩陣為長方形時,矩陣的末行元素為0,當(dāng)矩陣的縱橫方向上的元素個數(shù)相差較大時,中的零元素將被壓縮速掉,中相應(yīng)的列也被壓縮掉.這種做法在大型復(fù)雜程序中很有用,不大可以節(jié)省磁盤空間,還能節(jié)省內(nèi)存.練習(xí)3求5階pascal矩陣的Cholesky分解.MATLAB代碼和計算結(jié)果為：A=pascal(5) %5階pascal矩陣A = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70R=chol(A) %Cholesky分解R = 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1可以驗證,有R*R=A.由于有了Cholesky分解,當(dāng)解方程時,如果矩陣對稱正定,Matlab會把方程代換為,讓后按x=R(Rb)求解,計算速