函數(shù)的概念及其運(yùn)算

1、函數(shù)的概念及其運(yùn)算說(shuō)明：因本講內(nèi)容三個(gè)部分獨(dú)立成段，故將本講2小時(shí)內(nèi)容剪切成3個(gè)部分，以便于同學(xué)選擇相應(yīng)的主題觀看，每段時(shí)間均超過(guò)30分鐘。知識(shí)梳理 定義域函數(shù)三要素 對(duì)應(yīng)法則 值域 解析法 函數(shù)表示方法 圖像法 函數(shù)的概念 列表法 函數(shù)的和函數(shù)運(yùn)算 函數(shù)的積復(fù)合函數(shù)1.函數(shù)的概念在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于在某個(gè)實(shí)數(shù)集合D內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，那么就是的函數(shù)，記作叫做自變量，的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域，和的值對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2.函數(shù)表示方法函數(shù)常有三種表示方法：解析法、圖象法和列表法。解析法是從“數(shù)”的方

2、面刻劃兩個(gè)變量之間的關(guān)系；圖象法是從“形”的方面刻劃兩個(gè)變量之間的關(guān)系；而列表法是將自變量和相應(yīng)的函數(shù)值用表格的形式表示兩者之間的關(guān)系。3.函數(shù)的運(yùn)算已知兩個(gè)函數(shù)，設(shè)，且，那么當(dāng)時(shí)，和都有意義，于是把函數(shù)叫做函數(shù)與的和（積）。4.復(fù)合函數(shù)設(shè)有函數(shù)與函數(shù)。對(duì)于內(nèi)的每一個(gè)值，在內(nèi)有確定的值與之對(duì)應(yīng)，而如果那么，從而就有確定的值與之對(duì)應(yīng)，于是就是的函數(shù)，稱為函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，記作稱為中間變量，函數(shù)稱為外函數(shù)，函數(shù)稱為內(nèi)函數(shù)。典型例題-例1.下列圖形是函數(shù)圖象的是（ ）OOA B C DOO分析：本題考查函數(shù)的概念。對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有唯一的值于之對(duì)應(yīng)，選D。例2下列各對(duì)函數(shù)中，相同的是（

3、 ）， ， ，例3（北京）已知函數(shù)，分別由下表給出：則的值為 ；滿足的的值是 。例4（1）（08四川延考文2）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢 B C D（2）（08上海春卷3）函數(shù)的定義域是 .（3）（08安徽卷理文13）函數(shù)的定義域?yàn)?例5用長(zhǎng)為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形底邊長(zhǎng)為，求此框架?chē)傻拿娣e與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出其定義域. 例6（1）（08江西卷文3）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）A B C D（2）（06湖北文）設(shè)，則的定義域?yàn)椋?） 例7.（08山東卷文5）設(shè)函數(shù)則的值為（ ）A B C D例8. （1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式；（2）已知，求的

4、解析式；（3）已知，求的解析式；（4）已知滿足，求的解析式。函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)梳理函數(shù)單調(diào)性的概念函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)單調(diào)性的證明函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義：如果函數(shù)對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意，當(dāng)時(shí)，都有，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，都有，則在上是減函數(shù)。單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)，那么在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)。討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。典型例題-例1（00全國(guó),節(jié)選）設(shè)函數(shù)，其中.求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。例2.（1）（07遼寧文）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ） （2）（湖南卷理）已知函數(shù)若a0,則的定義

5、域是 ;若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .例3若函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） 若,則不等式的解集為 。例4(05北京東城模擬) 函數(shù)對(duì)任意的，都有，并且當(dāng)時(shí)。求證：是上的增函數(shù)； 若，解不等式。 函數(shù)的奇偶性知識(shí)梳理函數(shù)奇偶性概念函數(shù)的奇偶性 奇偶函數(shù)圖像特征奇偶函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的奇偶性的定義：設(shè)函數(shù)，如果對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)為奇函數(shù)；如果對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)。從定義可以看出，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是其具有奇偶性的必要條件；2.奇偶函數(shù)圖像的特征：是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。典型例題-例1判斷下列各函數(shù)的奇偶性： ； （6）（07上海，節(jié)選），常數(shù)例2.（1）（08全國(guó)卷）函數(shù)的圖像關(guān)于（ ）A軸對(duì)稱 B 直線對(duì)稱 C 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D 直線對(duì)稱（2）（08上海卷）若函數(shù)（常數(shù)）是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，則該函數(shù)的解析式 例3（1）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則（2） (08安徽)若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（ ）A BC D例4（1） (07江蘇)設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ） （2）（08福建卷