導(dǎo)數(shù)系列：一類(lèi)以自然指數(shù)對(duì)數(shù)為背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題解法教師版

1、 廣州無(wú)敵華整理 一類(lèi)以自然指數(shù)和對(duì)數(shù)為背景的壓軸題解法注: 本文以目前數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谝槐揪€上下的學(xué)子的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)，進(jìn)行展開(kāi)講解。根據(jù)“遺傳學(xué)規(guī)律”明年全國(guó)乙卷再次考到的可能性極大，打出來(lái)給學(xué)生將保準(zhǔn)學(xué)生橫掃此類(lèi)壓軸題！源于課本：1-1課本99頁(yè)B組1題或課本2-2第32頁(yè)B組1題的習(xí)題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖像直觀驗(yàn)證：；【探究拓展】探究1：證明不等式*變式1：設(shè)，其中若對(duì)于任意，恒成立，則參數(shù)的取值范圍是_ 變式2：設(shè)，其中，若對(duì)于任意，恒成立，則參數(shù)的取值范圍是_ 變式3：設(shè)，其中，若對(duì)于任意，恒成立，則參數(shù)的取值范圍是_ 點(diǎn)評(píng)：太巧了：增之一分則太肥，減之一分則太瘦.

2、探究2：不等式*有哪些等價(jià)變形并在坐標(biāo)系中畫(huà)圖？變形1：變形2：變形3：變形4：*變形5：變形6：歸一：我們只要通過(guò)畫(huà)圖并記住*,*即可，考試出現(xiàn)了其它變形換元轉(zhuǎn)化為這2個(gè)不等式即可。探究3：觀察：“插中”不等式（當(dāng)然是我編的名字）變形4：*變形6：*兩式相加除以2，結(jié)論：“插中”不等式*:若，則 ；若則請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫(huà)出圖像：這個(gè)圖像很漂亮，容易記住。點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)很美，插中不等式很明顯是加強(qiáng)，更加精準(zhǔn)了，在高考中經(jīng)?？嫉?，往后看.總結(jié)：*,*“插中”不等式*，以上三式都是將自然指數(shù)和對(duì)數(shù)放縮為我們更加熟悉的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)進(jìn)行放縮處理。題型一：化歸為指數(shù)型放縮例1（2010年全國(guó)）設(shè)函數(shù)。

3、（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，求的取值范圍。（提示：）解：（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（2）由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.由可得.從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.綜合得的取值范圍為.練習(xí)1：（2012年全國(guó)）已知函數(shù)，（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若求的最大值。（很簡(jiǎn)單，省略）練習(xí)2：（2013年全國(guó)）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，證明（很簡(jiǎn)單，省略）練習(xí)3：（2016年廣一模）已知函數(shù)。1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)m的值。2）當(dāng)時(shí)，證明：。（2016年廣二模也有用到）練習(xí)4：已知函數(shù).求函數(shù)的最小值；若0對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)

4、a的值；在的條件下，證明：.解：（1）由題意，由得.當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，.在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.即在處取得極小值，且為最小值，其最小值為（2）對(duì)任意的恒成立，即在上，.由（1），設(shè)，所以.由得.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在處取得極大值.因此的解為，.（3）由（2）知，因?yàn)?，所以?duì)任意實(shí)數(shù)均有，即.令 ，則.練習(xí)5：已知函數(shù)=，其中a0.（1）若對(duì)一切xR，1恒成立，求a的取值集合.（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，記直線AB的斜率為K，問(wèn)：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）若，則對(duì)一切，這與題設(shè)矛盾，又，故.而令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)

5、時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，式成立.綜上所述，的取值集合為.（2）由題意知，令則令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， .綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切xR，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為，

6、從而得出a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來(lái)進(jìn)行分析判斷.練習(xí)4：（2012年山東）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行。1）求k的值；2）求的單調(diào)區(qū)間；3）設(shè)其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意。（答案略）例2、(2011年湖北）已知函數(shù)求函數(shù)的最大值；2）設(shè)均為正數(shù)，證明：若，則（提示：）解：（1）的定義域?yàn)?，令，在上遞增，在上遞減，故函數(shù)在處取得最大值（2）由（）知當(dāng)時(shí)有即，即練習(xí)1:（2006年全國(guó)）函數(shù)，若對(duì)所有的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（很簡(jiǎn)單，省略）練習(xí)2：已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）證明： .解：（）， ,題設(shè)等價(jià)于

7、.令，則當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，是的最大值點(diǎn)， 綜上，的取值范圍是.()有（）知，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 練習(xí)3：（2014年陜西）設(shè)函數(shù)其中是的導(dǎo)函數(shù)。若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（很簡(jiǎn)單，省略）練習(xí)4：（2011浙江理22,替換構(gòu)造）已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值；求證：.解：定義域?yàn)?. 令，令 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為 的極大值為 證明：要證 即證， 即證 即證 令，由可知在上遞減，故 即，令，故 累加得， 故，得證 法二：= ，其余相同證法練習(xí)5：已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍。（3）證明：.解：(1)的定義域?yàn)椋?，+），.當(dāng)時(shí)，則在（1，+）上是增函

8、數(shù)。在（1，+）上無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則.所以當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。時(shí)，取得極大值。綜上可知，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一極值點(diǎn).(2)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，不成立.故只需考慮.由(1)知，若恒成立，只需即可，化簡(jiǎn)得：,所以的取值范圍是1，+）.(3)由(2)知，. 練習(xí)6：已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若0恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；證明：當(dāng)時(shí)，；.解：函數(shù)的定義域?yàn)橹校?當(dāng)0時(shí)，則在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).由知，當(dāng)0時(shí)，在上是增函數(shù).而，0不成立.當(dāng)時(shí)，由知，要使0恒成立，則0，解得1.由知當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，且在是減函數(shù).又，當(dāng)時(shí)，即.令則即，從而.成立.例3、（2010湖北）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.解：本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，同事考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和分類(lèi)討論的思想。，則有，解得.由知，令， 則 ，當(dāng) ， 若 ，則，是減函數(shù)，所以 ，故在上恒不成立。時(shí)， 若，故當(dāng)時(shí)，。 綜上所述，所求的取值范圍為由知：當(dāng)時(shí)，有.令，有當(dāng)時(shí)，令，有 即 ，將上述個(gè)不等式依次相加得,整理得.練習(xí)1：已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求a，b滿(mǎn)足的關(guān)系式；（2）若上恒成立，求a的取值范