二次根式綜合復(fù)習(xí)講義

1、二次根式復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念二次根式的泄義：形如皿工的式子叫二次根式，英中O叫被開(kāi)方數(shù)，只有當(dāng)。是一個(gè) 非負(fù)數(shù)時(shí)，拓才有意義.【注】二次根式的概念有兩個(gè)要點(diǎn)：一是從形式上看，應(yīng)含有二次根號(hào)：二是被開(kāi)方數(shù)的取 值范圍有限制：被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。二次根式的判定例1】下列各式1）,2）后,3）-& + 2,4）JT,5）卜爭(zhēng),6）VH,7）J/_2d + i ,其中是二次根式的是_ （填序號(hào)）.舉一反三：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A、uB、J-10C、yjci + D、+102、_ 在苗、航、J而、Jl + 3B、x3C、x4D、x$3且xH42.使代數(shù)式fT示丁有意義的X的

2、取值范圍是_3.如果代數(shù)式 yTi + L=有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（m, n）的位置在（）y/nmA、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限二次根式定義的運(yùn)用$【例3】若y二厶-5 +5- X+2009,則x+y=_舉一反三：1、若J7二1一Jl_x =（x+y）,則Xy的值為（A 一1B. 1C. 2D 32、若x、y都是實(shí)數(shù)，且丫二7刁+ 二衣+4,求xy的值3、當(dāng)“取什么值時(shí)，代數(shù)式她+1+1取值最小，并求岀這個(gè)最小值。二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分已知a是整數(shù)部分，b是 點(diǎn)的小數(shù)部分，求Q +丄的值 b + 2若的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則 y5a-b=_ 。Z +丄若

3、JT7的整數(shù)部分為X,小數(shù)部分為y,求5的值.知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)1.非負(fù)性：va(a0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).注意：此性質(zhì)可作公式記住，后而根式運(yùn)算中經(jīng)常用到.2. (/a)2=a(a0).注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù) 代數(shù)式寫成完全平方的形式：a = (V)2(a0)-a(a 0)的區(qū)別與聯(lián)系(1)、廬表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù).(2)(石尸表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范用是非負(fù)數(shù).(3)、廬和(石尸的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的.二次根式雙重非負(fù)性的運(yùn)用例4若I一2| + Jb 3 + (c_4)- =0,則d_b + c= _

4、.舉一反三：1若、斤7二可+ (川+1)2=0,則 m+n 的值為_(kāi)o號(hào)外.4.公式/a-=lal=-2、已知七y為實(shí)數(shù)，且J7二T + 3(y 2)2 =0,則x y的值為(A 3B -3 C 1D -13、已知直角三角形兩邊x、y的長(zhǎng)滿足丨x24 I + Jy2_5y + 6=0,則第三邊長(zhǎng)為4、若ah + i與佑2b + 4互為相反數(shù),則(一巧-=。公式(需)2= a(a 0)的運(yùn)用【例5】化簡(jiǎn)：|d-l| + (Ja-3)2的結(jié)果為()A、42a B、0 C、2a4 D、4舉一反三：i、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X2 3-3=_ :m4 5-4m2+4 =_x4_9 =_,x2-2/2x

5、+ 2 =_2、化簡(jiǎn)：3.已知直角三角形的兩直角邊分別為和點(diǎn)， 則斜邊長(zhǎng)為_(kāi)a(a 0) -a(a 0)的應(yīng)用【例6】已知x2,則化簡(jiǎn)JF-4X + 4的結(jié)果是A、x2B、x+2C、2D、2x舉一反三：2、根式J(3)2的值是()2已知a0,那么| Q 2a |可化簡(jiǎn)為()A aB aC 3aD 3a3若2YGY3,則J(2_a)2_J(d_3)等于()A. 5 2d B. 1 2aC 5 D.2a 14若a-3V0,則化簡(jiǎn)出2一& +9 + |4一4的結(jié)果是(A) -1(B)1(C)2a7(D)72a5化簡(jiǎn)V4X2-4X+ 1 -(A/2T3)2得()A -3B 3或3C 3D 9(A) 2

6、 (B) -4x + 4(C) -2(D) 4x-4yla2-2a + 6、當(dāng)aVI且aHO時(shí)，化簡(jiǎn) 一“U-G/+1)2- 4+(d_=y7、已知化簡(jiǎn)求值：V Y【例7如果表示a, b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)|a-b |+ J(d+/?)2的結(jié)果等于()一 Ab a oA 一2bB 2bC 一2a D 2a舉一反三：實(shí)數(shù)d在數(shù)軸上的位置如圖所示:化簡(jiǎn)：.n ,r|“-1| +J(-2)2 =_.1 0 1 2【例8】化|1-X|-A/X2-8A- + 16的結(jié)果是2x-5,則x的取值范圍是( )Ax為任意實(shí)數(shù)B lWx4 Cx21DxWl舉一反三：若代數(shù)式J(2-)2+J

7、(G4尸的值是常數(shù)2 ,則的取值范圍是(A.a 4B GW2C 2W“W4D a = 2或a = 4【例9】如果a + Va2-2a + l=l,那么a的取值范圍是( )A. 8=0 B. a=l C. 3=0 Mk. a=l D. aWl舉一反三：1.如果 ci + Jf_6a + 9=3 成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a OB.ci 3; D.ei 32、若J(X_3)2+X_3 = O,則x的取值范圍是()(A) J_a_2(B)-J-a-2(C) J -2(A)x3(B)x3(D)x0 時(shí)，匕長(zhǎng)=x知識(shí)點(diǎn)三：最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式lx最簡(jiǎn)二次根式：（1）最簡(jiǎn)二次根式的圧義：被

8、開(kāi)方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi) 得盡方的數(shù)或因式.2、同類二次根式（可合并根式）：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后.如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二 次根式，即可以合并的兩個(gè)根式。5.把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式: !45a2b【例12下列根式中能與館是合并的是（）舉一反三：1.下列各組根式中，是可以合并的根式是（）【例11】在根式2）V7+F；2） xy;4卜扭皈，最簡(jiǎn)二次根式是（）A. 1）2）舉一反三：C. 1)3)D 1)4)2、卜列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（D.y23、卜列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. J/ + 1D.yfiny4、卜列各式中哪些是最簡(jiǎn)二

9、次根式，哪些不是為什么3ab （22 2 Qu-bW b)尼A.8B. V27A/5D.B. 3)4)1、V45a, V30,2+b2）中的最簡(jiǎn)二次根A、和殞B、C、2、 在二次根式：JII：莎;石;佰中，能與筋合并的二次根式是_ 3、 如果最簡(jiǎn)二次根式 8與J17 2d能夠合并為一個(gè)二次根式，則知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算一一分母有理化1.分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。2.有理化因式： 兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘， 如果它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這 兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：1單項(xiàng)二次根式：利用 ya = a 來(lái)確定，如：與+ b , Ju -b與y/

10、ah 等分別互為有理化因式。2兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來(lái)確定。如“ +亦與-亦，苗+亦與苗-麗， Uyfx + byjayfx -bly 分別互為有理化因式。3.分母有理化的方法與步驟：1先將分子.分母化成最簡(jiǎn)二次根式：2將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根 式：3最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式?！纠?3】把下列齊式分母有理化【例14】把下列各式分母有理化【例15把下列各式分母有理化:(1)48(3)舉一反三：2 /31 %(一* 火11X =- =2+石求下列各式的值:（1）2、把下列各式分母有理化:(1)79x16 J16x81X/5-2715(4)79O2(x0,

11、y0) a/ XyfhX2.y/3塵豊一般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類:知識(shí)點(diǎn)五：二次根式計(jì)算一一二次根式的乘除1.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。/ab=fa y/b（aO, b20）2.二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。/a y/b =（a?0, b20）3.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方 根4 二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的 左邊，同時(shí)還要考慮

12、字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式.【例16化簡(jiǎn)(1)(2)a +2_Ja_2yju+ 2 +a + fh 與a-屈:総程+必靠與 m4 -治晶b-Ja? +慶知識(shí)點(diǎn)六：二次根式計(jì)算二次根式的加減需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（即【例19計(jì)算：（1）C、0 x2 B、蟲(chóng)的取值范國(guó)（1）一辰冷屆+2后_3轄;/(2) 1同類二次根式）的系數(shù) 相加減，被開(kāi)方數(shù)不變。注意：對(duì)于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡(jiǎn)二次根式, 再把同類二次根式合并.但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，二次根式的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開(kāi) 得盡的因數(shù).【例20】計(jì)算知識(shí)點(diǎn)七：二次根式

13、計(jì)算一一二次根式的混合計(jì)算與求值1、確定運(yùn)算順序;2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律：3、正確使用乘法公式：4、大多數(shù)分母有理化要及時(shí)：5、在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化：F,4、(屁+一)_7后2 + V3【例21】(1)3jx-、+(5) Jsi/-5a五+二(4/2、-71086/4【例22】1、b2-3/48 )5 (2%/3 + 3/2 v6)(2/3 3/2 + /6 )6、(3 + 2*/5) (4 + /5)(4 V5)7、(2v，6-5)l0(2V6+5)11二次根式綜合運(yùn)用Ja2-4a +4J J 一2a+11.已知：0,b0時(shí)，如果 ab,則需JT；如果ab,則ja 0,

14、Z? 0時(shí)，如果 a2b2t則d B：如果 a20)4.3、 分母有理化法通過(guò)分母有理化，利用分子的大小來(lái)比較。4、 分子有理化法 通過(guò)分子有理化，利用分母的大小來(lái)比較。05、 倒數(shù)法6、 媒介傳遞法適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。7、 作差比較法在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：a-booab；a-boa0, b0時(shí)，貝IJ： :b【例26】比較皿一加與肩一廬的大小?！纠?7】比較一與一石的大小?！纠?8】比較+3與嗣一3的大小。二次根式練習(xí)二次根式：1.若丘+丄有意義，則加的取值范圍是m +1-3.已知/X-2)2=2-X,則x的取值范圍是4.當(dāng)1SxY5H寸，+|

15、x-5| =_6.下列各式一定是二次根式的是(A J-7B j2mC. +15.把的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于.【例24】比較3亦與5笛的大小。21【例25】比較沖與沖的大小。是二次根時(shí),7.若 A = q(/+4，則頂=(A a2+4B.a2+2C (a2+2)8.若aSl ,貝ljA. (a_l)血-1)B. (D.C. (a_l)Jl_a9.能使等式、匚= -=成立的x的取值范圍是()Vx-2 772A.XH2B. x0 C.人2D.x210.去掉下列各根式內(nèi)的分母：12.已知恥為實(shí)數(shù)，且時(shí)_(b_)R = O,求 cr-b2的值。二次根式的乘除1.若/?丹 和丁5益丹都是最簡(jiǎn)二次根式，

16、則7 =,/72.下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是()A. +1B.J2x+1 C.乎D.3.已知勺0,化簡(jiǎn)二次根式兀密的正確結(jié)果為()A yyB./-y c.-y/yD. -/-y4.對(duì)于所有實(shí)數(shù)ad下列等式總能成立的是()A. (/+麗)=a+ bB -Ja2+b2=a+bC. J(/+丁 = / + bD. J(a +b)=a + b5.對(duì)于二次根式FT?,以下說(shuō)法中不正確的是()A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù)B.它是一個(gè)無(wú)理數(shù)C.它是最簡(jiǎn)二次根式D.它的最小值為36.計(jì)算：(1)屁3血(2).5y/xx3D.(2).(el)11 已知F3X+ 1=0求JX2+ 1-2的值。(3).5/(-4/)(0,

17、/?0)(4)衣麗十廡(a AA 0)8.把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi): ）斗二次根式的加減1.下面說(shuō)法正確的是（）A.被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B.渥與他是同類二次根式C.血與匡不是同類二次根式D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式2.若1YXY2,則V4-4x+7+Av2+2x4-1化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. 2x 1 B. 2x + lC. 3 D. -33.若皿+2石+和 =10,則x的值等于（）A.4B. 2C. 2D. 44.若少的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為 ，,則.x-y 的值是（A. 3巧 -3B.C. 1 D. 3（號(hào)7.化簡(jiǎn)：（i）.7?z7（2）（T倍35._已知乂=忑+近、$ =書(shū)-邁,則 x3y + xy3=_/ L 2000 / l 2(X)16.(A/3-2)(V3 + 2)=7.計(jì)算：(1).2伍+ 3咼足一護(hù)(3).(7 + 4(