第九章_空間軸對(duì)稱問(wèn)題

1、第九章 空間軸對(duì)稱問(wèn)題本章討論一下空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程和一些軸對(duì)稱問(wèn)題的基本解。對(duì)于一般空間問(wèn)題的解法我們?cè)诘谖逭乱延杏懻?，但一般空間問(wèn)題一般解（具體求解）通解討論在杜慶華等編著的“彈性理論”中有較多的論述。我們不刻意從數(shù)學(xué)上論述一般空間問(wèn)題一般解的表達(dá)式，而對(duì)于空間軸對(duì)稱問(wèn)題作一些討論和舉例。第一節(jié) 空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程1.1空間軸對(duì)稱問(wèn)題特點(diǎn)：與平面軸對(duì)稱問(wèn)題類似，空間軸對(duì)稱問(wèn)題的求解域、荷載和約束繞某一軸（z軸）對(duì)稱，導(dǎo)致如下簡(jiǎn)化，（參見(jiàn)徐芝綸（上冊(cè)）第八章第八節(jié)(P.274）。1. 域內(nèi)所有物理量（體力、面力、位移、應(yīng)力、應(yīng)變）均為r、z的函數(shù)。2荷載：體力fq=0，面力 ，位

2、移uq=0，應(yīng)力t rq=t zq=0，應(yīng)變g rq=gzq=0。3存在物理量：fr、fz、ur、w、sr、sq、sz、t rz=t zr、er、eq、ez、g rz=gzr1.2基本方程：1.平衡微分方程（兩個(gè)）： 第一 第三 2.幾何方程（四個(gè)）：， 3.變形協(xié)調(diào)方程（四個(gè)） 4.物理方程（四個(gè)）：sr=le+2Ger、sq=le+2Geq、sz=le+2Gez、t rz=Gg rz 其中 體積應(yīng)變或 , , , 5.邊界條件位移邊界： , 在Su上力的邊界：在 r=r0 , 在z=z0 , 6.按應(yīng)力解法 四個(gè)應(yīng)力分量sr、sq、sz、t rz為基本未知量。 基本方程（六個(gè)）： 兩個(gè)平衡

3、微分方程 四個(gè)用應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程 再加上力的邊界條件。如果體力為零時(shí)，基本方程為齊次方程，則可采用應(yīng)力函數(shù)解法，引入應(yīng)力函數(shù)f(r,z)，使得應(yīng)力用f(r,z)表示: 滿足第一個(gè)平衡微分方程，而第二個(gè)平衡方程及四個(gè)相容方程，共同要求 22f=4f =0 f(r,z)應(yīng)滿足的基本微分方程。 其中 7按位移法解a基本未知函數(shù)： ur和w 基本方程兩個(gè)： 并考慮適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。b. 引入Love（拉甫、勒夫）位移函數(shù)（當(dāng)無(wú)體力作用時(shí)）對(duì)于位移法的基本方程的解可由考慮體力的一個(gè)特解加上齊次方程的通解。軸對(duì)稱問(wèn)題齊次拉梅方程的通解可以引入一個(gè)Love位移函數(shù)y(r,z),使得位移由y(r,z)表示

4、： , , 代入齊次拉梅方程，第一式自然滿足，而第二式為基本方程： 4y=0 y(r,z)為雙調(diào)和方程 同時(shí)應(yīng)力分量由y(r,z)表示為 軸對(duì)稱問(wèn)題按位移求解，歸結(jié)為尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)y(r,z)，使按其導(dǎo)出位移和應(yīng)力能滿足給定的邊界條件。 比較應(yīng)力函數(shù)解法和love位移法知：f (r,z)= y (r,z)第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力（Boussinesq問(wèn)題） 半空間體，體力不計(jì)，邊界受法向集中力P作用. 軸對(duì)稱問(wèn)題P作用在坐標(biāo)原點(diǎn)上。zRrqPx yz已知，當(dāng)z=0且r 0時(shí), sz=0 , t zr= 0； 當(dāng)R 時(shí)R=(r2+z2)1/2，應(yīng)力、位移 0；當(dāng)R 0時(shí)，應(yīng)力

5、奇異。 Boussinesq采取Love函數(shù)求解，y(r,z)為重調(diào)和函數(shù)，由y(r,z)的三次微分導(dǎo)出應(yīng)力。選 y(r,z) 為r和z的正一次冪式: y(r,z) = A1R+ A2R - zln(R+z) 為雙調(diào)和函數(shù) 則 y(r,z) 自然滿足 4y=0 。代入位移、應(yīng)力計(jì)算式 位移：， 應(yīng)力： ， ， ， 下面根據(jù)邊界條件來(lái)確定A1和A2：在z=0且r 0邊界上, sz=0 自然滿足。在z=0且r 0邊界上, t zr= 0 （1-2n）A1+ A2 = 0(a)zPrrdrz0還需一個(gè)條件（包括P的）。在z= z0 0平面上，要求sz 的合力與P平衡。 將sz 表達(dá)式代入，得 而 ，

6、 P - 4pA1(1-n）- 2p A2 = 0 (b) 由式(a)、(b)解得 A1 = P/(2p) 、A2 = -（1-2n）P /（2p）代回位移、應(yīng)力表達(dá)式，見(jiàn)徐芝綸（上冊(cè)）P.297（917）、（918）式，稱為Boussinesq問(wèn)題解。Prz由P.297（917）、（918）式見(jiàn)：位移和應(yīng)力隨R 的增加而減小。在z=0平面上 ，第三節(jié) 半空間體在邊界上受法向分布力q已知條件：半空間體在邊界上受均布法向荷載q作用，在半徑為a的圓面積，尋求解答：1. z =0邊界上的沉陷 wz=0 = ? 2. r =0（對(duì)稱軸）上的應(yīng)力和位移。求解方法：采用疊加法和半空間體邊界受法向集中力P的

7、計(jì)算結(jié)果求解。zaqarqrraMs1s2sdsdyy3.1邊界上一點(diǎn)M的豎向位移w： M點(diǎn)可以在荷載圓面積之外也可在之內(nèi)。1.設(shè)M點(diǎn)為圓面積之外：當(dāng)半空間體邊界上受法向集中力P時(shí)，邊界上距P點(diǎn)為r的點(diǎn)豎向位移為 qrraMs1s2sdsdyy圓面積均布荷載q對(duì)圓外M 點(diǎn)豎向位移影響可取一個(gè)微面元，距M點(diǎn)為s，角度為 y處，dA=sdyds ，dA上q 對(duì)M點(diǎn)影響： 整體圓面積荷載對(duì)M點(diǎn)影響為 而 , y1為M點(diǎn)作為圓相切線 OM線的夾角為了簡(jiǎn)化積分將積分變量 y 轉(zhuǎn)變?yōu)?q 由圖形可見(jiàn) asinq=rsiny , siny= asinq/r兩邊微分 acosqdq = rcosydyy的取值

8、范圍：由0 y1 q 的取值范圍：0 p/2 第二類橢圓積分 第一類橢圓積分對(duì)于不同a/r可由橢圓積分表得到。2M點(diǎn)載荷在圓之外：圓內(nèi)距M點(diǎn)s處微面積q對(duì)M點(diǎn)沉陷的影響仍為Maqysdsdyrmn 整個(gè)圓面積荷載引起M點(diǎn)沉陷為： 利用 asinq=rsiny , 第二類橢圓積分 當(dāng)r= 0為圓心處沉陷：當(dāng)r= a時(shí)圓周上沉陷：3.2 在z軸r=0上的應(yīng)力和位移在z軸上的應(yīng)力和位移比同一水平面上其它點(diǎn)的應(yīng)力和位移要大。1. 應(yīng)力：由于z軸對(duì)稱軸，所以在z 軸上的應(yīng)力無(wú)剪應(yīng)力，均為主應(yīng)力： sr = sq、sz 2位移：z軸上的ur= 0，僅存在w 第四節(jié) 兩球體之間的接觸壓力接觸壓力問(wèn)題是在（機(jī)

9、械）工程、土木工程中經(jīng)常碰到的問(wèn)題，接觸問(wèn)題在1881年由德國(guó)赫茲（Heinrich Herty）首先用數(shù)學(xué)彈性力學(xué)導(dǎo)出了計(jì)算公式。4.1 接觸問(wèn)題的特點(diǎn)：1兩個(gè)彈性體互相接觸，當(dāng)無(wú)壓力作用時(shí)，為點(diǎn)接觸或線接觸。當(dāng)有壓力作用時(shí)，彈性體發(fā)生變形，點(diǎn)接觸（或線接觸）變?yōu)槊娼佑|。2彈性體變形后的接觸面為非常小的局部區(qū)域（相對(duì)于彈性體幾何尺寸）所以可看成半空間（半無(wú)限平面）體法向受局部分布力作用問(wèn)題，但這里分布力q不是均勻的，同時(shí)q也未知，接觸面的局部區(qū)域也是未知的。3不計(jì)接觸面摩擦力。4.2 兩球體之間的接觸壓力：M1rPPoz1z2O2O1M2arR2R1已知兩球體變形前在o點(diǎn)接觸，兩個(gè)坐標(biāo)系 r

10、oz1、roz2球1：E1 、n1、R1球2：E2 、n2、R2 距接觸點(diǎn)z軸為r的兩球表面上M1和 M2點(diǎn)的z坐標(biāo)分別為（M1和M2與點(diǎn)o很近） , , 則 在已知P壓力作用下，兩球在接觸點(diǎn)附近發(fā)生變形有一個(gè)接觸面，根據(jù)對(duì)稱性接觸面為以a為半徑的圓。1a為待求量，同時(shí)接觸面上有接觸壓力q（待求），由于接觸問(wèn)題是局部變形，在球體遠(yuǎn)離o點(diǎn)的任意點(diǎn)位移為剛體位移。2兩球內(nèi)距o點(diǎn)很遠(yuǎn)處的相對(duì)位移（剛體位移）為 a？下面要建立（找出）三個(gè)條件（幾何、物理、平衡方程）尋求a 、q 和a。 求解：首先根據(jù)接觸面變形（位移）來(lái)建立一個(gè)關(guān)系球1 接觸面上o點(diǎn)、M1點(diǎn)沿z1軸位移為w1(o)、w1，而w1(o)

11、=w1+ z1球2接觸面上o點(diǎn)、M2點(diǎn)沿z1 z2軸位移為w2(o)、w2，而w2(o)=w2+ z2而w1(o) +w2(o)=w1+ z1+w2+ z2= w1+w2+b r2而w1(o) +w2(o)=a兩球體距o點(diǎn)較遠(yuǎn)處兩點(diǎn)的趨近距離。 a= w1+w2+b r2變性協(xié)調(diào)關(guān)系由于接觸問(wèn)題可看成半無(wú)限體受局部垂直分布力問(wèn)題，w1和w2可以利用上一節(jié)的結(jié)果 Maqysdsdyrmnrrq0 相當(dāng)物理和幾何關(guān)系 代入 a= w1+w2+b r2 在此式中a 、q 和a未知，q 與P有關(guān)，為尋求解，赫茲假設(shè)接觸面上的分布力q的分布為以a為半徑的半球面乘q0/a，q0為接觸面中心接觸壓力的集度 赫茲通過(guò)這樣