2012廣東高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、2012年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）（2012廣東）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=（）A6+5iB65iC6+5iD65i2（5分）（2012廣東）設(shè)集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，則UM=（）AUB1，3，5C3，5，6D2，4，63（5分）（2012廣東）若向量，向量，則=（）A（2，4）B（3，4）C（6，10）D（6，10）4（5分）（2012廣東）下列函數(shù)，在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)的是（）Ay=ln（x+2）BCD5（5分）（2012廣東）已知變量x，y滿足約束

2、條件，則z=3x+y的最大值為（）A12B11C3D16（5分）（2012廣東）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A12B45C57D817（5分）（2012廣東）從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是（）ABCD8（5分）（2012廣東）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義=，若平面向量、滿足|0，與的夾角，且和都在集合中，則=（）AB1CD二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）9（5分）（2012廣東）不等式|x+2|x|1的解集為_(kāi)10（5分）（2012廣東）

3、中x3的系數(shù)為_(kāi)（用數(shù)字作答）11（5分）（2012廣東）已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1=1，a3=a224，則an=_12（5分）（2012廣東）曲線y=x3x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為_(kāi)13（5分）（2012廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為8，則輸出的s的值為_(kāi)14（5分）（2012廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1與C2的參數(shù)方程分別為（t為參數(shù)）和（為參數(shù)），則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)15（2012廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，圓O中的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，滿足ABC=30°，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與 O C

4、 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則圖PA=_三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16（12分）（2012廣東）已知函數(shù)（其中0，xR）的最小正周期為10（1）求的值；（2）設(shè)，求cos（+）的值17（13分）（2012廣東）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率直方分布圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求圖中x的值；（2）從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望18（13分）（2012廣東）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底

5、面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC平面BDE（1）證明：BD平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角BPCA的正切值19（14分）（2012廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有20（14分）（2012廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值為3（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OAB的面積最大

6、？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21（14分）（2012廣東）設(shè)a1，集合A=xR|x0，B=xR|2x23（1+a）x+6a0，D=AB（1）求集合D（用區(qū)間表示）；（2）求函數(shù)f（x）=2x33（1+a）x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn)2012年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）（2012廣東）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=（）A6+5iB65iC6+5iD65i分析：把的分子分母同時(shí)乘以i，得到，利用虛數(shù)單位的性質(zhì)，得，由此能求出結(jié)果解答：解：=

7、65i故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答2（5分）（2012廣東）設(shè)集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，則UM=（）AUB1，3，5C3，5，6D2，4，6分析：直接利用補(bǔ)集的定義求出CUM解答：解：集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，則UM=3，5，6，故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的表示方法、求集合的補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題3（5分）（2012廣東）若向量，向量，則=（）A（2，4）B（3，4）C（6，10）D（6，10）分析：由向量，向量，知，再由，能求出結(jié)果解答：解：向量，向量，=（4，7）（2，3）=（2，4）故選A點(diǎn)評(píng)：本

8、題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真解答，仔細(xì)運(yùn)算4（5分）（2012廣東）下列函數(shù)，在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)的是（）Ay=ln（x+2）BCD分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷A正確；利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷B錯(cuò)誤；利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷C正確；利用“對(duì)勾”函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷D的單調(diào)性解答：解：A，y=ln（x+2）在（2，+）上為增函數(shù)，故在（0，+）上為增函數(shù)，A正確；B，在1，+）上為減函數(shù)；排除B；C，在R上為減函數(shù)；排除C；D，在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+）上為增函數(shù)，排除D；故選 A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是它們的單調(diào)性的

9、判斷，簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題5（5分）（2012廣東）已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為（）A12B11C3D1分析：先畫出線性約束條件表示的可行域，在將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可得目標(biāo)函數(shù)的最值解答：解：畫出可行域如圖陰影部分，由得C（3，2）目標(biāo)函數(shù)z=3x+y可看做斜率為3的動(dòng)直線，其縱截距越大，z越大，由圖數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z最大=3×3+2=11；故選 B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線性規(guī)劃的思想、方法、技巧，二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知識(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬基礎(chǔ)題6（5分）（2012廣東）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（

10、）A12B45C57D81分析：由題設(shè)知，組合體上部是一個(gè)母線長(zhǎng)為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個(gè)高為5，底面半徑是3的圓柱，分別根據(jù)兩幾何體的體積公式計(jì)算出它們的體積再相加即可得到正確選項(xiàng)解答：解：由三視圖可知，此組合體上部是一個(gè)母線長(zhǎng)為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個(gè)高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5××32+×32×=57；故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖還原幾何體及求組合體的體積，解題的關(guān)鍵是熟練記憶相關(guān)公式及由三視圖得出幾何體的長(zhǎng)寬高等數(shù)據(jù)，且能根據(jù)幾何體的幾何特征選擇恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行求體積的運(yùn)算，7（5分）（2012廣東）從個(gè)位數(shù)與十位

11、數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是（）ABCD分析：先求個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)n，然后再求個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，由古典概率的求解公式可求解答：解：個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中，其個(gè)位數(shù)與十位數(shù)有一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)，共有=45記：“個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中，其個(gè)位數(shù)為0”為事件A，則A包含的結(jié)果：10，30，50，70，90共5個(gè)由古典概率的求解公式可得，P（A）=； 故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概率的求解公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用簡(jiǎn)單的排列、組合的知識(shí)求解基本事件的個(gè)數(shù)8（5分）（2012廣東）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面

12、向量和，定義=，若平面向量、滿足|0，與的夾角，且和都在集合中，則=（）AB1CD分析：由題意可得 =，同理可得 =，故有 nm 且 m、nz再由 cos2=，與的夾角（0，），可得cos2（，1），即（，1），由此求得 n=3，m=1，從而得到 = 的值解答：解：由題意可得 =同理可得 =由于|0，nm 且 m、nzcos2=再由與的夾角（0，），可得 cos2（，1），即（，1）故有 n=3，m=1，=，故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，得到 nm 且 m、nz，且（，1），是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題

13、（913題）（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）9（5分）（2012廣東）不等式|x+2|x|1的解集為分析：由題意，可先將不等式左邊變形為分段函數(shù)的形式，然后再分三段解不等式，將每一段的不等式的解集并起來(lái)即可得到所求不等式的解集解答：解：|x+2|x|=x0時(shí)，不等式|x+2|x|1無(wú)解；當(dāng)2x0時(shí)，由2x+21解得x，即有2x；當(dāng)x2，不等式|x+2|x|1恒成立，綜上知不等式|x+2|x|1的解集為；故答案為點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，其常用解題策略即將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，分段求解不等式10（5分）（2012廣東）中x3的系數(shù)為20（用數(shù)字作答）分析：由題意，可先給出二項(xiàng)式

14、的通項(xiàng)，再由通項(xiàng)確定出x3是展開(kāi)式中的第幾項(xiàng)，從而得出其系數(shù)解答：解：由題意，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是Tr+1=x123r令123r=3得r=3所以中x3的系數(shù)為=20故答案為20點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，屬于二項(xiàng)式考查中的常考題型，解答的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式11（5分）（2012廣東）已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1=1，a3=a224，則an=2n1分析：由題意，設(shè)公差為d，代入，直接解出公式d，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)即可得到答案解答：解：由于等差數(shù)列an滿足a1=1，令公差為d所以1+2d=（1+d）24，解得d=±2，又遞增的等差數(shù)列an，可得d=2所以an

15、=1+2（n1）=2n1，故答案為2n1點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是利用公式建立方程求出參數(shù)，需要熟練記憶公式12（5分）（2012廣東）曲線y=x3x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為2xy+1=0分析：先求出導(dǎo)函數(shù)，然后將x=1代入求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，最后化成一般式即可解答：解：y=3x21，令x=1得切線斜率2所以切線方程為y3=2（x1），即2xy+1=0，故答案為：2xy+1=0點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率、考查直線的點(diǎn)斜式，屬于基礎(chǔ)題13（5分）（2012廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為8，則輸出的

16、s的值為8分析：由已知中的程序框圖及已知中輸入8，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為i8，即i=2，4，6模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的s值解答：解：當(dāng)i=2，k=1時(shí)，s=2，；當(dāng)i=4，k=2時(shí)，s=（2×4）=4；當(dāng)i=6，k=3時(shí)，s=（4×6）=8；當(dāng)i=8，k=4時(shí)，不滿足條件“i8”，退出循環(huán)，則輸出的s=8，故答案為：8點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，我們常使用模擬循環(huán)的變法，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題14（5分）（2012廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1與C2的參數(shù)方程分別為（t為參數(shù)）和（為參

17、數(shù)），則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）分析：把曲線C1與C2的參數(shù)方程分別化為普通方程，解出對(duì)應(yīng)的方程組的解，即得曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1與C2的普通方程分別為 y2=x，x2+y2=2解方程組 可得 ，故曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），故答案為 （1，1）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，求兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題15（2012廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，圓O中的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，滿足ABC=30°，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與 O C 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則圖PA=分析：連接OA，根據(jù)同弧所

18、對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，得到AOC=60°因?yàn)橹本€PA與圓O相切于點(diǎn)A，且OA是半徑，得到PAO是直角三角形，最后利用三角函數(shù)在直角三角形中的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得PA=OAtan60°=解答：解：連接OA，圓O的圓周角ABC對(duì)弧AC，且ABC=30°，圓心角AOC=60°又直線PA與圓O相切于點(diǎn)A，且OA是半徑，OAPA，RtPAO中，OA=1，AOC=60°，PA=OAtan60°=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題給出圓周角的度數(shù)和圓的半徑，求圓的切線長(zhǎng)，著重考查了圓周角定理和圓的切線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共6小題，滿分8

19、0分解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16（12分）（2012廣東）已知函數(shù)（其中0，xR）的最小正周期為10（1）求的值；（2）設(shè)，求cos（+）的值分析：（1）由題意，由于已經(jīng)知道函數(shù)的周期，可直接利用公式=解出參數(shù)的值；（2）由題設(shè)條件，可先對(duì)，與進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出與兩角的函數(shù)值，再由作弦的和角公式求出cos（+）的值解答：解：（1）由題意，函數(shù)（其中0，xR）的最小正周期為10所以=，即，所以（2）因?yàn)椋謩e代入得及點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的周期公式及兩角和與差的余弦函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于三角函數(shù)中有一定綜合性的題，屬于成熟題型，計(jì)算題17（13分）（2012廣東）某班50

20、位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率直方分布圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求圖中x的值；（2）從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望分析：（1）根據(jù)所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系，可求出所求；（2）不低于8（0分）的學(xué)生有12人，9（0分）以上的學(xué)生有3人，則隨機(jī)變量的可能取值有0，1，2，然后根據(jù)古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，從而可求出數(shù)學(xué)期望解答：解：（1）由30×0.006+10×0.01+10&#

21、215;0.054+10x=1，得x=0.018（2）由題意知道：不低于8（0分）的學(xué)生有12人，9（0分）以上的學(xué)生有3人隨機(jī)變量的可能取值有0，1，2 ；點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及古典概型的概率公式和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了計(jì)算能力和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題18（13分）（2012廣東）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC平面BDE（1）證明：BD平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角BPCA的正切值考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定分析：（1）由題設(shè)條件及圖知，可先由線面垂直的性質(zhì)

22、證出PABD與PCBD，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；（2）由圖可令A(yù)C與BD的交點(diǎn)為O，連接OE，證明出BEO為二面角BPCA的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值解答：解：（1）PA平面ABCD；PABDPC平面BDE；PCBD，又PAPC=P；BD平面PAC（2）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連OEPC平面BDE；PC平面BOE；PCBEBEO為二面角BPCA的平面角BD平面PAC；BDAC；四邊形ABCD為正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3；OC=在PACOEC中，二面角BPCA的平面角的正切值為3點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角的求法及線

23、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，屬于立體幾何中的基本題型，二面角的平面角的求法過(guò)程，作，證，求三步是求二面角的通用步驟，要熟練掌握19（14分）（2012廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有分析：（1）在2Sn=an+12n+1+1中，令分別令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1，a2+5，a3成等差數(shù)列，從而可求得a1；（2）由2Sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，an+1=3an+2n，由可知an+2n為首項(xiàng)是3，3為公比的等比數(shù)列

24、，從而可求an；（3）（法一），由an=3n2n=（32）（3n1+3n2×2+3n3×22+2n1）3n1可得，累加后利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論；（法二）由an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an可得，于是當(dāng)n2時(shí)，累乘得：，從而可證得+解答：解：（1）在2Sn=an+12n+1+1中，令n=1得：2S1=a222+1，令n=2得：2S2=a323+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13；又2（a2+5）=a1+a3；解得a1=1（2）由2Sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也滿足a2=3a1

25、+21，所以an+1=3an+2n對(duì)nN*成立an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，an=3n2n；（3）（法一）an=3n2n=（32）（3n1+3n2×2+3n3×22+2n1）3n1，+1+=；（法二）an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an，當(dāng)n2時(shí)，累乘得：，+1+×+×點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列遞推式，著重考查等比數(shù)列的求和，著重考查放縮法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，屬于難題20（14分）（2012廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值為3（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析：（1）由得a2=3b2，橢圓方程為x2+3y2=3b2，求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離，利用配方法，確定函數(shù)的最大值，即可求