西城區(qū)2020屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試題(word版)

1、北京市西城區(qū)2020年高三一模試卷數(shù) 學(xué)（理科）第I卷（選擇題共40分）、選擇題：本大題共合題目要求的一項(xiàng)21.設(shè)集合A x|x8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符4x 0,集合 B n |n 2k 1, k Z,貝U AI B ()(A) 1,1(B) 1,3(C) 3, 1(D) 3, 1,1,3_x22 cos2 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x2v2cos,(為參數(shù))，則曲線cy . 2 sin是()（A）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖形（B）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形（C）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形（D）關(guān)于直線y x對(duì)稱(chēng)的圖形3 .如果f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，那么

2、下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是（）(A)y x f (x)(B)y xf(x)(C)y x2 f(x)2(D)y x f(x)uuruur4.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，向量OA = ( 1,2), OB = (2, m)若O, A, B三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則（）(A) m 4(B) m(C) m 1(D) m5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的A,S分別為0,1,則輸出的S （）(A)(B)16(C)27(D)364R6.設(shè)x1(0，2)，貝U “ a (,0) ” 是“l(fā)og 1 x x a ” 的()2(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件7

3、.設(shè)函數(shù)f x Asin x(A, 是常數(shù)，A 0,0),且函數(shù)f x的部分圖象如圖所示，則有()3支5汽7支(A) f() “力“力 436,3n .7n .5支(B)f( ) f ( ) f() 463(C)f(5) ”3 f(子)(D) f(") f( ) f(二) 3468.如圖，在棱長(zhǎng)為a(a> 0)的正四面體ABCD中，點(diǎn)B,G, D分別在棱AB, AC , AD 上，且平面BC1D1平面BCD , A為DBCD內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐AI - BC1D1的體積為V,設(shè)二x,AD對(duì)于函數(shù)V = f (x),則().,2(A)當(dāng)x = -時(shí)，函數(shù)f(x)取到取大值3一 .、，

4、1(B)函數(shù)f(x)在(,1)上是減函數(shù)21(C)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱(chēng)一 1.,(D)存在 x0 ,使信 f (x0)> Va- bcd (其中bcd為四面體ABCD的體積)3第II卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9 .在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) Zi與Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，且10 .已知等差數(shù)列4的公差d 0;記an的前n項(xiàng)和為Sn,則&的最小值為側(cè)（左）視圖正（主）視圖a33 , a 2 a412.若圓（x 2）2y21與雙曲線C2，y2 1（a 0）的漸近 a線相切，則a;雙曲線C的漸近線方程是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，被一

5、個(gè)平面截去一部分后, 何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積是 一所得幾俯視圖13 .在冬奧會(huì)志愿者活動(dòng)中，甲、乙等 5人報(bào)名參加了 A, B, C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，且甲不能參加 A, B項(xiàng)目，乙不能參加B, C項(xiàng)目，那么共有一種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）14 . 一輛賽車(chē)在一個(gè)周長(zhǎng)為 3 km的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反映了賽車(chē)在“計(jì)時(shí)賽”整個(gè)第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系.（圖1）（圖2）根據(jù)圖1,有以下四個(gè)說(shuō)法:1J在這第二圈的2.6 km到2.8 km之間，賽車(chē)速度逐漸增加;2）在整個(gè)跑道中，最長(zhǎng)的直線路程不

6、超過(guò)0.6 km；3）大約在這第二圈的 0.4 km到0.6 km之間，賽車(chē)開(kāi)始了那段最長(zhǎng)直線路程的行駛;4）在圖2的四條曲線（注：S為初始記錄數(shù)據(jù)位置）中，曲線B最能符合賽車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15 .(本小題滿分13分) “ 任在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c.設(shè)A , sinB 3sinC. 3(I)若a "，求b的值；(n )求tanC的值.16 .(本小題滿分13分)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，

7、整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40,50) , 50,60) , 60,70) , 70,80) , 80,90) , 90,100進(jìn)行分組, 假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖(如下).(I )體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱(chēng)為“體育良好” .已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，試估計(jì)高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；(n)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)?0,70)和80,90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)?0,70)的概率；(出)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為 a, b, c,且分別在70,80) , 8

8、0,90) , 90,100 三組中，其中a, b, c N .當(dāng)數(shù)據(jù)a, b, c的方差s2最小時(shí)，寫(xiě)出a, b, c的值.(結(jié)論不要 求證明)一、 11-,9."一.(汪：s (Xi x) (X2 x) L(Xn x),其中 x 為數(shù)據(jù) x1，x2,L ,xn 的平均數(shù))n17.(本小題滿分14分)如圖，四邊形 ABCD是梯形，AD/BC , BAD 90°,四邊形CGRD為矩形，已知AB BG, AD 4, AB 2, BC 1.(I )求證：bcj/ 平面 ADDi ;(n)若DDi 2,求平面ACiDi與平面ADDi所成的銳二面角的余弦值；(出)設(shè)P為線段GD上的

9、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，判斷直線BCi與直線CP能否垂直?并說(shuō)明理由18 .(本小題滿分i3分)已知函數(shù) f(x) xex aexi，且 f (i) e.(I)求a的值及f (x)的單調(diào)區(qū)間；2(n)右關(guān)于x的萬(wàn)程f (x) kx 2 (k 2)存在兩不相等個(gè)正實(shí)數(shù)根xl,證明：4| xi x2 | In e .19 .(本小題滿分i4分)已知橢圓C ： mx2 3my2 i(m 0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2石，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓C的方程和離心率；(n)設(shè)點(diǎn) A(3,0),動(dòng)點(diǎn)B在y軸上，動(dòng)點(diǎn) P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，若|BA| |BP|,求四邊形 OPAB面積的最小值.20.(本小題滿分i

10、3分)|ai bi |.設(shè)數(shù)列an和bn的項(xiàng)數(shù)均為m,則將數(shù)列an和bn的距離定義為i 1(I )給出數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離；1 an(n)設(shè)A為滿足遞推關(guān)系an 1 的所有數(shù)列an的集合，bn和Cn為A中的兩1 an個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為 m,若n 2, C 3, bn和Cn的距離小于2016,求m的最大值；(出)記S是所有7項(xiàng)數(shù)列an |1<n<7,an 0或1的集合，T S ,且T中任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3,證明：T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.北京市西城區(qū)2016年高三一模試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)高三數(shù)學(xué)（理科）2016.4一、選擇題：本大題共 8小題

11、，每小題5分，共40分.1. C2,A3. B4.B5. D6.A7. D8.A二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9. i10. 2n 91611.有yx12. 6313. 2114.注：第10, 11題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分；第14題多選、少選或錯(cuò)選均不得分三、解答題：本大題共 6小題，共80分.其他正確解答過(guò)程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分 15.（本小題滿分13分）(I)解：因?yàn)?sinB 3sin C ,由正弦定理a b csin Asin Bsin C得 b 3c.3由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA及A a 77, 322得7bcbc,22 b 2b所以b(b)

12、7,3 3解得b 3.(n)解：由A工，得B會(huì)C.332兀八所以 sin( C) 3sin C .38即理cosC -sinC 3sin C , 2211分所以-cosC -sin C所以tanc v1316.（本小題滿分13分）(I)解：由折線圖，知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有30人,所以該校高一年級(jí)學(xué)生中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有100030750 人.440(D)解：設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)?0,70） ”為事件A ,/口c3由題意，得P（A） 1 C51 130 本（出）因此至少有1人體育成績(jī)?cè)?0,70)的概率是 .10解：a,b, c的值分別是為79 , 84 , 9

13、0 ；或 79 , 85, 90.13分17 .（本小題滿分14分）(I)證明：由CC1D1D為矩形，得 CC1/DD1 ,又因?yàn)?DD1 平面ADD 1, CC1 平面ADD 1,所以CCi平面ADD 1 ,同理BC平面ADD 1 ,又因?yàn)锽C I CC1 C ,所以平面 BCC1 /平面ADD 1,又因?yàn)锽C1 平面BCC1 ,所以BC1/平面ADD1.解：由平面 ABCD 中，AD/BC, BAD 90°,得 AB BC又因?yàn)?AB BG, BCI BCi B所以AB平面BCCi,所以AB CCi,又因?yàn)樗倪呅?CCiDiD為矩形，且底面 ABCD中AB與CD相交一點(diǎn),所以CC

14、i 平面ABCD ,因?yàn)?CCiDDi ,所以DDi 平面ABCD.過(guò)D在底面ABCD中作DM AD,所以DA, DM, DD1兩兩垂直，以DA, DM, DD1分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,，G(3,2,2), Di(0,0,2),則 D(0,0,0) , A(4,0,0) , B(4, 2,0) , C(3,2,0)unrUULT所以 AG( i,2,2) , ADi ( 4,0, 2).即平面ACi Di與平面ADDi所成的銳二面角的余弦值為i0分3.2929(m)結(jié)論：直線BCi與cp不可能垂直.ii證明:設(shè) DD m(m 0)uuiruuuir,DPDCi (0,i

15、),由 B(4,2,0) , C(3,2,0),Ci(3,2,m) , D(0,0,0),uuuuuuuu得 BCi ( i,0,m) , DCilultuuur(3,2, m) , DPDCi (3,2,m)uurCD ( 3, 2,0),2, m).12分uuu uur uuirCP CD DP (33,2uuur若 BC1 CP ,貝U BC1uuuCP (33)0 ,即(m2 3)3,23所以m 30,這與1矛盾.14分所以直線BCi與CP不可能垂直.18 .(本小題滿分13分)(I)解：對(duì)f (x)求導(dǎo)，得f (x) (1x)exx 1ae ，所以 f (1) 2e a故 f(x)

16、xex ex,f (x) xex.0.(n)解：方程f(x) kx2 2,即為(xx 21)ex kx2 2 0,x(,0)0(0,)f (x)0f(x),0),單調(diào)增區(qū)間為(0,).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(當(dāng)x變化時(shí)，f (x)與f (x)的變化情況如下表所示:求導(dǎo)，得g (x) xex 2kx x(ex由 g (x)0,解得 x 0,或 x ln(2k).所以當(dāng)xx(0,ln(2 k)ln(2 k)(ln(2 k),)g (x)0(0,)變化時(shí)，g (x)與g(x)的變化情況如下表所示:g(x)/所以函數(shù)g(x)在(0,ln(2 k)單調(diào)遞減，在(ln(2k),)上單調(diào)遞增由 k

17、2 ,得 ln(2k) ln4 1.又因?yàn)間(1) k 2 0,所以 g(ln(2k) 0.不妨設(shè)Xi X2 (其中ox2為f(x) kx2 2的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根)，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(0,ln 2k)單調(diào)遞減，且g(0) 1 0, g(1) k 2 0,11分所以0 xi1.同理根據(jù)函數(shù)g(x)在(ln2k,)上單調(diào)遞增，且g(ln(2k) 0,可得 x2ln(2 k) ln 4 ,4所以 |xx21 x2 x1ln 4 1 ln -,e413分即 | x x21 ln -.19 .(本小題滿分14分)22(I)解：由題意，橢圓 C: - -y- 1,11'm 3m2 1 ,2 1所以a

18、 , b , m 3m故2a 2 J1 2而，解得m 1, m622所以橢圓C的方程為1.62因?yàn)?c Va2b2 2 ,所以離心率e . a 3分(n)解：設(shè)線段AP的中點(diǎn)為D,因?yàn)?|BA| |BP|,所以 BD AP,由題意，直線BD的斜率存在，設(shè)點(diǎn) P(%,y0)(y。0),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（Xo 3 yo且直線AP的斜率kAP -Xo 3所以直線BD的斜率為13 xokAPy0y0 3 x0Xi 310分所以直線BD的方程為：y T -0(x -°-).2yo2令 X o ,得 y & yo 9 ,則 B(o, Xo yo 9), 2yo2yo22r Xoyo2 c c 2由1 ,付 xo 6 3yo , 62211分化簡(jiǎn)，得B(o, 2yo3.2yo所以四邊形OPAB的面積SopabS OAP S OAB2231y。匚 31十112分2y； 3-4°i)2yo2|yo|>322 2|yoi32|yo|3.3.V2J2時(shí)等號(hào)成立.2所以四邊形OPAB面積的最小值為36.14分2。.（本小題滿分13分）(I)解：由題意，數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離為7.(n)解：設(shè)a p ,其中p 0 ,且p 1.ask 1由|b