(完整版)實(shí)際問題及二元一次方程組經(jīng)典例題

1、實(shí)際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 .能夠借助二元一次方程組解決簡單的實(shí)際問題，再次體會(huì)二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用2 .進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性3 .體會(huì)列方程組比列一元一次方程容易4 .進(jìn)一步培養(yǎng)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力5 .掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；重點(diǎn)：1 .經(jīng)歷和體驗(yàn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程。2 .進(jìn)一步體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。難點(diǎn)：正確找出問題中的兩個(gè)等量關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把 “未知”轉(zhuǎn)化為“已知”

2、的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.一般來說，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等.知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系3 .行程問題：（1）追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是：兩者的行程差=開始時(shí)兩者相距的路程；路程=速度”時(shí)間；速度二魁時(shí)間=睡時(shí)間. 速度（2）相遇問題：相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀， 因而也畫線段圖幫助理

3、解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和=總路程。（3）航行問題：船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣龋淮陟o水中的速度-水速=船的逆水速度；順?biāo)俣饶嫠俣?2 X水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠叫袉栴}類似。4 .工程問題：工作效率X工作時(shí)間=工作量.5 .商品銷售利潤問題：利潤率=售紇那t X I皿為利潤=售價(jià)成本（進(jìn)價(jià)）；（2）進(jìn)力1；（3）利潤=成本（進(jìn)價(jià)）X利潤率；（4）標(biāo)價(jià)=成本（進(jìn)價(jià)）X（1+利潤率）；（5）實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)X打折率；注意：“商品利潤=售價(jià)一成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價(jià)的

4、十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十）6 .儲(chǔ)蓄問題：（1）基本概念本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。（2）基本關(guān)系式利息=本金X利率X期數(shù)本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X（1 +利率X期數(shù)）利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。月利率省利率元_1稅后利息=利息X（1利息稅率）年利率=月利率x 1212。注意：免稅利息=利息7 .配套問題：解這類問題的基

5、本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。8 .增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量x（1+增長率）=增長后的量；原量x （1減少率）=減少后的量.9 .和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量=較小量十多余量，總量=倍數(shù)X倍量10 數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1（或2n-1）,偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為： 兩位數(shù)二十位數(shù)字工 10+個(gè)位數(shù)字11 濃度問題：溶液質(zhì)量X濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.12 .幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、

6、面積等計(jì)算公式13 .年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì)變的14 .優(yōu)化方案問題：在解決問題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn)，比較幾種方案得出最佳方案。知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實(shí)際問題時(shí)，一般可分為以下六個(gè)步驟：1.審題：弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2.設(shè)未知數(shù)：可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；3.找出題目中的等量關(guān)系；4.列出方程組：根據(jù)題目中能表示全部含義的等

7、量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5.解所列的方程組，并檢驗(yàn)解的正確性;6.寫出答案要點(diǎn)詮釋:(1)解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2) “設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組分析抽象求解解答步驟簡記為：問題漢一方程組-3° 解答(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；審題時(shí)，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時(shí)，不要帶單位；正確書寫速度單

8、位，避免與路程單位混淆；在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。 經(jīng)典例題透析 類型一：列二元一次方程組解決 行程問題1 .甲、乙兩地相距 160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇.相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回， 在汽車再次出發(fā)半小 時(shí)后追上了拖拉機(jī).這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米?思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意:(1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機(jī)的行程(2)有兩個(gè)等量關(guān)系：|1相向而行：汽車行駛S小時(shí)的路程+拖拉機(jī)行駛3小時(shí)的路程=160千米;同向而行：汽車行駛-b2小時(shí)的路

9、程=拖拉機(jī)行駛2小時(shí)的路程.解：設(shè)汽車的速度為每小時(shí)行K千米，拖拉機(jī)的速度為每小時(shí) 千米.根據(jù)題意，列方程組工二90< 解這個(gè)方程組，得：e丸P0（ll+1） = 165 （千米33O£1LJ）W51千米） 3 23 2答：汽車行駛了 165千米，拖拉機(jī)行駛了 85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用 的解決策略。舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們在乙出發(fā) 2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們在甲出發(fā) 3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？解：設(shè)甲、乙

10、兩人每小時(shí)分別行走 工千米、爐千米。根據(jù)題意可得： 45/ 2 5y = 3613彳+ 5尸36r- 6解得：尸工$答：甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走 3.6千米。【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用 14小時(shí)，逆流用20小時(shí)，求船在靜水中 的速度和水流速度。分析：船順流速度=靜水中的速度+水速船逆流速度=靜水中的速度水速解：設(shè)船在靜水中的速度為 x千米/時(shí)，水速為y千米/時(shí)，114（工十力士 2而p-17則取工-y） 口口，解得：答：船在靜水中的速度為17千米/時(shí)，水速3千米/時(shí)。類型二：列二元一次方程組解決 工程問題 2.一家商店要進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8

11、天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520 元；若先請甲組單獨(dú)做 6天，再請乙組單獨(dú)做 12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：（1）甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？（2）已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需 24天完成，單獨(dú)請哪組，商店所付費(fèi)用最少？思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：若請甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共 3480元。設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8 （x+y） =3520,由第二層含義可得方程

12、 6x+12y=3480.解：（1）設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付 x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，依題意得：武工+7)=3儂 網(wǎng)+12)=弘叫工一 00解得 Lx-1210答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付140元。(2)單獨(dú)請甲組做，需付款 300X 12= 3600元，單獨(dú)請乙組做，需付款 24X 140 = 3360元， 故請乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少。答：請乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少?？偨Y(jié)升華：工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量，同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總 量設(shè)為1,也可設(shè)為a,需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析。舉一反三：【變式】

13、小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由解：設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的M和尸，由題意得：r 1 f = -看7解得：* =三所以甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要10周、15周。設(shè)需要付甲、乙每周的工錢分別是0萬元，9萬元，根據(jù)題意得：幣+65 = 5.2 =-L,解得：L 1方故甲公司單獨(dú)完成需工錢：1U厘=日(萬元)；乙公司單獨(dú)完成需工錢：15b = 4 (萬元)。答：甲公司單獨(dú)完成需 6萬元,乙

14、公司單獨(dú)完成需 4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成.類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題5%x +4%* = 46i孤"歌尸必解得:元-600y = 40。3.有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為 4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤率為 4%,乙商品的利潤率為 5%共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元?思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：禾1潤=進(jìn)價(jià)X禾IJ潤率解：甲商品的進(jìn)價(jià)為 x元，乙商品的進(jìn)價(jià)為 y元，由題意得:答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600元和400元。舉一反三：【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲

15、、乙兩種蔬菜，共獲利 18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利 2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝?解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了K畝，乙種蔬菜種植了產(chǎn)畝，則：A 十？= 10,K = &,2。"叱回。0,解得b=4答：李大叔去年甲種蔬菜 種植了 6畝，乙種蔬菜種植了 4畝.【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利 6萬元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場購進(jìn)A B兩種商品各多少件；解：設(shè)購進(jìn)A種商品工件，B種商品了件，根據(jù)題意得:=

16、36000”C1330-1200）z + （1200-1000）j; = 60000.化簡得:工-200,y - 120答：該商場購進(jìn) A、B兩種商品分別為200件和120件。類型四：列二元一次方程組解決 銀行儲(chǔ)蓄問題4.小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用,現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢,一種是年利率為2.25 %的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25 %的一年定期存款，一年后可取出2042.7520%教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅）元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅=利息金額X思路點(diǎn)撥： 設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了 x元，一年定期存了 y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格:秋育信蓄1年定期臺(tái)討現(xiàn)

17、在V一年后射爐2. 2聯(lián)了十r木？.2琦君如R峪T5解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程:y - 20。0 -工1 - 1500（"口.也）"疝40,儂式-0.亦2042,乃，解得：卜答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為 1500元，存一年定期的錢為 500元.總結(jié)升華：我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了 2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利 息43.92元.

18、已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為 3.24%,問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳 利息所得稅二禾1息金額X 20%思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金X年利率X （1-20%） X年數(shù)=利息（其中，利息所得稅 =利息 金額 X20% .不扣稅時(shí)：利息=本金X年利率X年數(shù).解：設(shè)第一種儲(chǔ)蓄的年利率為xX ,第二種儲(chǔ)蓄的年利率為y,根據(jù)題意得：Z 十/= 324%h= 225%0-20狗2。0,= 43.92 ,解得：2=0.99%答：第一種儲(chǔ)蓄的年利率為 2.25%,第二種儲(chǔ)蓄的年利率為 0.99%.【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用， 在銀行同時(shí)用兩種方式共存了 4000元錢.第一種,

19、一年期整存整取，共反復(fù)存了 3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%;第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為 2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息 303.75元（不計(jì)利息稅），問小敏的 爸爸兩種存款各存入了多少兀？解：設(shè)第一種存款數(shù)為 X元，則第二種存款數(shù)為 y元，根據(jù)題意得：y - 4000-貢a - 1500,克工2.2挑"270% =303.7 翻徂. = 2500答：第一種存款數(shù)為 1500元，第二種存款數(shù)為 2500元。 類型五：列二元一次方程組解決 生產(chǎn)中的配套問題 5.某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只

20、.現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰 好配套？思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍（注意：別把2倍的關(guān)系寫反了 ）.解：設(shè)用K米布料做衣身，用 廠米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得:解得:y = 72答：用60米布料做衣身，用 72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、 衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)

21、量比例， 依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出 來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？+制盒底鐵思路點(diǎn)撥：兩個(gè)未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個(gè)相等關(guān)系是：制盒身鐵皮張數(shù) 皮張數(shù)=190;制盒身個(gè)數(shù)的 2倍=制盒底個(gè)數(shù).解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：X =110/mLy = S0 ，解'12X8 = 22答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完

22、整的盒子 .【變式2】某工廠有工人 60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。解：由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有x人，生產(chǎn)螺母的有 y人，J區(qū)十6口卜=25則：卜】必2叮，解得：L35答：生產(chǎn)螺栓的有 25人，生產(chǎn)螺母的有 35人。【變式3】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面 50個(gè)，或做桌腿300條。現(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？解：設(shè)用x立方米的

23、木料做桌面，用 y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：小解得：二2，可做50X 3= 150張方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用 2立方米的木料做桌腿，可做成 150張方桌。類型六：列二元一次方程組解決 增長率問題 6.某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值一總支出）為 200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%總支出比去年減少了 10%今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（力兀）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值一總支出和表格里的已知量和未知

24、量，可以列出兩個(gè)等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：" 2000y - 1300A-y - 200120%2：-90%y = 780 刎一，曰,解之得:答：去年的總產(chǎn)值為 2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。舉一反三：【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，由題意得：x-y = 730< T vx 2400-=200八120% 90%,解得：g 1620答：今年的總產(chǎn)值為 2000萬元，總支出為1800萬元思考：本問題還有沒有其它的設(shè)

25、法？【變式2】某城市現(xiàn)有人口 42萬，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人口增加1.1%,這樣全市人口增加1%求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點(diǎn)撥：由題意得兩個(gè)等式關(guān)系，兩個(gè)相等關(guān)系為：(1)城鎮(zhèn)人口 +農(nóng)村人口 =42萬；(2)城鎮(zhèn)人口* (1+0.8%)+ 農(nóng)村人口* ( 1 + 1.1%) =42X (1 + 1%解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為 x萬，農(nóng)村人口為y萬，由題意得：五十？ 二 42+= 42(1+1%)解得-a = 14答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口 14萬人，農(nóng)村人口為 28萬人 類型七：列二元一次方程組解決 和差倍分問題V 7. (2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題)“愛心”帳篷廠和“溫暖”

26、帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷 共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷 14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷.為此，全體職工加班加 點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù).求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)計(jì)劃前后，倍數(shù) 關(guān)系由已知量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組。解：設(shè)原計(jì)劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂，“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷 y千頂，由題意得：苴十 9(x= 5+解得：b-4所以：1.6x=1.6 :

27、5=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂，“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷 6千頂.舉一反三：【變式1】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題 )“地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議.號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六 20時(shí)30分一21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活.中國內(nèi)地去年和 今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng).解：設(shè)中國內(nèi)地去年有 x個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有y個(gè)城市參加了此項(xiàng)

28、活動(dòng).p-33,依題意得1于.京-1工，解得：V =答：去年有33個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有86個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時(shí)只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個(gè)等式，列等式要看到重點(diǎn)語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女 孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。解：設(shè)男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：=

29、y(定=4解得：答：男孩4人和女孩有3人。類型八：列二元一次方程組解決 數(shù)字問題部 8.兩個(gè)兩位數(shù)的和是 68,在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178,求這兩個(gè)兩位數(shù)。 思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為 x,較小的兩位數(shù)為 V。問題1:在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100x + y問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100y +x解：設(shè)較大的兩位數(shù)為 x,較小的兩位數(shù)為 V。依題意可得：k 十y - 687-4510°"#一

30、00°尸耳= 217巴解得：卜=23答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為 45, 23.舉一反三：【變式1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23;這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個(gè)兩位數(shù)是多少？解：設(shè)十位數(shù)為x,個(gè)位數(shù)為V,則：10x+> -3( -hy) - 23x - 513+,=%又+耽1 ,解得：答：這兩位數(shù)為56【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個(gè)兩位數(shù)？解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x,十位數(shù)字為V,根據(jù)題意得：y-x+510 耳十 1y 二!110

31、/十工） 一 9上,解得:答：這個(gè)兩位數(shù)為 72.【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為 0,其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位數(shù)字減1,個(gè)位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為 X,個(gè)位數(shù)字為y,由題意得:木+嚴(yán)9解得;答：所求三位數(shù)是 504。類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題酬尸9.現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3： 7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 ： 1,今要得到酒精與水的比為 3 : 2的酒精溶液50kg,問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，然后列出二元一次

32、方程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和=50； （2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和=混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和=混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比=混合后溶液所含純酒精與水的比。解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg. 依題意得：1 343解得二十三廠二£乂50z = 20y - 30答：甲取20kg,乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10x kg和5y kg ,則甲種酒精溶液含水 7x kg ,乙種酒精溶液含水 y kg ,根據(jù)題意得

33、:10工 +5y = 50273十 _ 乂50所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg,乙取30kg總結(jié)升華：此題的第（1）個(gè)相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個(gè)相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時(shí)就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千 篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù)。舉一反三：【變式1】要配濃度是45%勺鹽水12千克，現(xiàn)有10%勺鹽水與85%勺鹽水，這兩種鹽水各需多少？思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵是找到配制溶液前后

34、保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個(gè)等量關(guān)系,等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。解：設(shè)含鹽10%勺鹽水有x千克，含鹽85%勺鹽水有y千克，依題中的兩個(gè)相等關(guān)系得：10%x + 85%y =45%xl2 x + y = 12答：需要10%勺鹽水6.4千克與85%勺鹽水5.6千克【變式2】一種35%勺新農(nóng)藥，如稀釋到 1.75%時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%勺農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？解：設(shè)需要用x千克濃度為35%勺農(nóng)藥加水y千克，根據(jù)題意得：a-by -SOO為二40.35%工工=1."。,解之得：好

35、76。答：需要用40千克濃度為35%勺農(nóng)藥加水760千克。類型十：列二元一次方程組解決 幾何問題AMm人I 、 ,I 、八I V 10.如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少?思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個(gè)小長方形的長為x,寬為v,就可以列出關(guān)于 x、y的二元一次方程組。解：設(shè)長方形地磚的長 xcm,寬ycm,由題意得：五十Jx - 45解得，2x = j十"2y=15答：每塊長方形地磚的長為 45cn 寬為15cm3總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性

36、質(zhì)中，解答這類問題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個(gè)可用的等量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個(gè)等量關(guān)系是長方形的長剪掉 3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上 3厘米。解：設(shè)長方形的長為 x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：2工+21y = 48G =解得：卜-3二丁+3二9所以正方形的邊長為：9+3=12厘米正方形的面積為：12x12 =144厘米。v2長方

37、形的面積為：15x 9=135厘米答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米°總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個(gè)等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長方形的長和寬，本題就簡單多了，所以列方程解應(yīng)用 題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵?！咀兪?】一塊矩形草坪的長比寬的 2倍多10m它的周長是132m,則長和寬分別為多少？解：設(shè)草坪的長為 y m寬為x m,依題意得：y 二九+10J+加132,解得：號(hào)56142答：草坪的長為 m m,寬為3類型十一：列二元一次方程組解決 年齡問題 11.今年父親的年齡是兒子的 5倍，6年后父親的年齡是

38、兒子的 3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年 齡各是多少？思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“ 6年后”這幾個(gè)字的含義，即 6年后父子倆都長了 6歲。今年父親 的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的 3倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：卜二5,解得： 彳+8=W（7 + 6）答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲?？偨Y(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減小）了，其他人也一樣增大或 減小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）。舉一反三：【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李

39、的年齡.思路點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成 爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。解：設(shè)今年小李的年齡為x歲，則爺爺?shù)哪挲g為 y歲。根據(jù)題意得：工=產(chǎn)工=12I M ,解得："答：今年小李的年齡為 12歲。類型十二：列二元一次方程組解決 一一優(yōu)化方案問題： 12.某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行 .受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；方案二：盡可能多的對蔬菜進(jìn)行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多？為什么？思路點(diǎn)撥：如何對蔬菜進(jìn)行加