第十一章 曲線積分與曲面積分

1、第十一章 曲線積分與曲面積分§11.1 對(duì)弧長(zhǎng)曲線的積分一、 判斷題1若f(x)在（-）內(nèi)連續(xù)，則也是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。 （ ）2設(shè)曲線L的方程為x=在上連續(xù)可導(dǎo)則 （ ）二、 填空題1.將，其中L為曲線x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(化為定積分的結(jié)果是 。 2.= ，其中L為連接（1，0）和（0，1）兩點(diǎn)的直線段。三、 選擇題1=（ ），其中L為圓周（A） （B） （C） （D）2=（ ），L為拋物線上的弧段。（A） （B） （C） （D）四、 計(jì)算，其中C為連接點(diǎn)（0，0）、（1，0）、（0，1）的閉折線。五、 計(jì)算，其中L為六、 計(jì)算，L為上半圓

2、周： 七、 計(jì)算，其中L為圓周，直線y=x 和y=0在第一象限內(nèi)圍成扇形的邊界。八、 求半徑為a，中心角為的均勻圓?。?1）的重心。§11.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、判斷題1定積分也是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。 （ ）2，其中L為圓周按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周。 （ ）二、填空題 1= ，其中是從點(diǎn)A（1，2，3）到點(diǎn)B（0，0，0）的直線段AB。2化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分結(jié)果是 其中L為沿從點(diǎn)（0，0）到（1，1）的一段。三、選擇題1 設(shè)曲線L是由A（a,0） 到O（0，0）的上半圓周，則（ ）（A）0 （B） （C） （D）2 設(shè)L為，方向按t 增大的方向，則=（ ）（A） （B）（C） （

3、D）四、計(jì)算I=，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，1）1OA為直線段y=x 2.OA為拋物線段3OA為y=0,x=1構(gòu)成的折線段。 4.OA為x=0,y=1的折線段。五、計(jì)算，L是從A（1，0）沿到B（-1，0）的圓弧。六、計(jì)算，L為圓周（a>0）取逆時(shí)針方向。七、設(shè)方向依oy軸負(fù)方向，且大小等于作用點(diǎn)的橫坐標(biāo)平方的力構(gòu)成一力場(chǎng)，求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿拋物線，從點(diǎn)A（1，0）移到B（0，1）時(shí)力場(chǎng)所做的功。九、 把（L為上從A（-1，-1）到B（1，1）的弧段）化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。§11.3 格林公式及其應(yīng)用一、 判斷題1閉區(qū)域D的邊界按逆時(shí)針即為正向。 （ ）2設(shè)P、Q在閉區(qū)

4、域D上滿足格林公式的條件，L是D的外正向邊界曲線，則 （ ）3對(duì)單一積分或不能用格林公式。 （ ）4.設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,P(x,y),Q(x,y)上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則（a） ( )(b) ( )(c) ( )二、 填空題1 設(shè)C是圓周的正向，則 2 設(shè)f(u)在）上連續(xù)可導(dǎo)，沿連接點(diǎn)A（3，）和B（1，2）的直線段AB的曲線積分= 3 設(shè)有二元函數(shù)u(x,y),已知u(1,1)=0,且du=(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy,則= 且u(x,y)= 4 設(shè)是由點(diǎn)（1，1，1）到點(diǎn)（2，3，3）的直線段，則= 三、 選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)（x

5、>0），對(duì)x>0的任意閉曲線C有且f(1)=2,則f(x)=( )(A) (B) (C)x3 (D)2.設(shè)F(x,y)可微，如果曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則F(x,y)應(yīng)滿足（ ）（A） （B）（C） （D）2.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可微且f(0)=-2,曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則f(x)=（ ）（A） （B）（C）-2cosx （D）3.曲線積分在不與X軸相交的區(qū)域上與路徑無(wú)關(guān)，則=（ ）（A） （B） （C）任意值 （D）04如果是某一函數(shù)u(x,y)的二階微分，則a、b滿足條件u(1,1)=0的u(x,y)為（ ）（A）a=1,b=-1,u(x,y)= (B)a=-1,b=1, u(x,y

6、)=(B)a=-1,b=-1, u(x,y)= (D) a=-1,b=-1, u(x,y)=5.L是圓域D：的正向圓周，則（ ）（A） （B）0 （C） （D）四、 求變力將質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的正向轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功。五、 利用格林公式計(jì)算。1為正向圓周2L為點(diǎn)A（a,0）到點(diǎn)（0，0）的上半圓周六、 計(jì)算，C為正向圓周七、 驗(yàn)證曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并求其值。八、 選取n，使在XOY平面上除去X的負(fù)半軸和原點(diǎn)以外的開區(qū)域G內(nèi)的某個(gè)函數(shù)u(x,y)的全微分，并求u(x,y).§11.4 對(duì)面積的曲面積分一、 判斷1二重積分也可看成是在平面片D上的第一類曲面積分。 （ ）2設(shè)連續(xù)曲面片，則的面積為

7、A=，這與用二重積分求面積不一樣。 （ ）二、 填空題1 設(shè)是圓錐面被圓柱面所截的下部分，則= 2 設(shè)是球面：，則曲面積分= 三、 選擇題1 設(shè)為在XY平面上方的曲面，則=（ ）（A） （B）（C） （D）2 設(shè)有一分布非均勻的曲面 ，其面密度為，則曲面對(duì)X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（ ）（A） （B）（C） （D）3 設(shè)為球面，則=（ ）（A） （B） （C） （D）四、 計(jì)算下列第一型曲面積分。1，其中為平面在第一卦限的部分。2，為球面上（的部分。3，是柱面 于平面Z=0和Z=h(h>0)之間的部分。4，為錐面與平面Z=1所圍成的區(qū)域的邊界曲面。五、 求球面在柱面內(nèi)部的表面積。六、 求旋轉(zhuǎn)拋物面

8、被平面Z=2所截的部分的質(zhì)心坐標(biāo)，假設(shè)其上各點(diǎn)的面密度為該點(diǎn)到Z軸的距離的平方。§11.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、 判斷題1 設(shè)為在第一卦限部分，則的面積為A=其中分別為在各坐標(biāo)面上投影區(qū)域。 （ ）2因?yàn)椋閤+y+z=1上側(cè)），所以為第一類曲線積分。 3，為的外側(cè)。 （ ）二、 填空題1= ，為柱面被平面Z=1和Z=4所截得的在第一卦限內(nèi)的部分。2設(shè)為平面3x+2y+z=6在第一卦限的部分的上側(cè) ，將化為對(duì)面積的曲面積分的結(jié)果為 。三、 選擇題1 設(shè)流速場(chǎng)，則流過球面的流量值=（ ）（A）0 （B） （C） （D）12 設(shè)曲面為Z=0，方向向下，D為平面區(qū)域：，則=（ ）（A）1

9、 （B） （C）- （D）03 設(shè)為Z=0（）的上 ，則=（ ）（A） （B）（D） （D）0四、 計(jì)算下列第二型曲面積分。1，是平面x+y+z=2在第一卦限部分的外側(cè)。2,柱面被平面z=1和z=0所截得部分的外側(cè)。3，為錐面 平面z=1和z=2所圍成的立體表面的外側(cè)。五、求流速場(chǎng)穿過曲面與平面z=1所圍成的立體表面的流量。六、已知f(x,y,z)連續(xù)，是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外側(cè)， 計(jì)算§11.6 高斯公式與斯托克斯公式 散度與旋度一、 斷題 1設(shè)是球面的外側(cè)，為法矢的方向角。V是所圍成的立體，則= （ ）2空間立體的體積V=這是為的邊界曲面之外側(cè)。 （ ）3梯度和旋度

10、為Z，散度是向量。 （ ）二、填空題1 設(shè)空間區(qū)域是由曲面與平面z=0圍成，其中a為正整數(shù)，記的表面外側(cè)為s，的體積為v，則 。2 設(shè)則= 。3 設(shè)，則= = 。二、 選擇題1設(shè)f(u)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是曲面與所圍成立體表面之外側(cè)，則（ ）=（ ）（A）16 （B）-16 （C）-8 （D）因f(u)未知，故無(wú)法確定。2設(shè)為球面的外側(cè)，則+（ ）（A）0 （B） （C） （D）3設(shè)是球面的外側(cè)，則=（ ）（A）0 （B） （C） （D）三、 計(jì)算，是被z=0所截部分的外側(cè)。五、 計(jì)算，其中f(u)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是球面的外側(cè)。六、 算下列曲面積分。1為的下側(cè)。2其中S是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲

11、面，它的法向量與y軸的正向的夾角恒大于。3，S為其法向量與軸正向的夾角為銳角。七、 求的散度和旋度。八、利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分。1，其中為圓周，x+y+z=a,從X軸正向看去，這圓周是逆時(shí)針方向。2，其中為x+y+z=1在第一卦限部分的三角形周期，從Y軸正向看去方向是順時(shí)針的。九、 流體在空間流動(dòng)，流體的密度u處處相同（設(shè)u=1）已知流速，求流體在單位時(shí)間內(nèi)流過曲面：的流量（流向外側(cè)）和沿曲線L：，z=1的環(huán)流量（從z軸正向看去是逆時(shí)針方向。）第十一章自測(cè)題一、 填空題1設(shè)L是XOY平面上沿順時(shí)針方向繞行的閉曲線，且，則L所圍成平面區(qū)域D的面積等于 。2（）是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，則a,b的關(guān)系為 。3設(shè)L是圓周，取順時(shí)針方向，則與的大小關(guān)系是 。4設(shè)P(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域V上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又是V的光滑邊界曲面之外側(cè)，由Gauss公式= 。5設(shè)是球面的外側(cè)，則= 。二、 選擇題1已知為某個(gè)函數(shù)的全微分，則a等于（ ）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）22設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且=0，則=（ ）（A） （B） （C） （D）13 設(shè)S是平面x+y+z=4被柱面截出的有限部分，則的值為（ ）（A）0 （B） （C） （D）三、計(jì)算1計(jì)算，L為（0