5.4平面向量的應用

1、1知識梳理妾點講解蘇突破1.向量在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理a/b? a= b? xiy2X2yi=0,其中 a = (xi, yi), b= (x2, y2), b豐0垂直冋題數(shù)量積的運算性質(zhì)a 丄 b? a b = 0? X1X2+ 力里=0,其中 a = (xi, yi), b= (x2, y2),且 a, b 為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義a bcos0=眉而(0為向量 a, b 的夾角)，其中 a, b 為非 零向量|a|=V? = p x2+ y2,其中 a = (x, y), a 為非零向量長度

2、問題數(shù)量積的定義用向量方法解決平面幾何問題的步驟：設向量運算還原平面幾何問題一向量問題一二解決向量問題一 丄解決幾何問題.2 .平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和_可以用向量的知識來解決.物理學中的功是一個標量，是力F 與位移 s 的數(shù)量積，即 W= F 芋|F|s|cos0(B為 F 與 s的夾角).3.平面向量與其他數(shù)學知識的交匯平面向量作為一種運算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合.當 平面向量5.4平面向量應用舉例基礎知識自主學習給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知

3、數(shù)的關系式在此基礎上，可以求解有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或 垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“V”或“X”) (1)若 AB/AC，則 A, B, C 三點共線.(V)向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量.(X)(3)若 ab 0，貝 U a 和 b 的夾角為銳角，若 abv 0,貝 U a 和 b 的夾角為鈍角.(X )在 ABC 中，若 AB BC=6x100 xcos 60=300(J).5 平面上有三個點 A( 2,y),B0

4、, % ,C(x,y)，若AB丄 BC,則動點 C 的軌跡方程為 _答案y2=8X(XM0)解析 由題意得 AB = 2, 2 , BC = x,又AB丄 BC, AB BC= 0,即 2, 2x, 2 = 0，化簡得 y2=8X(XM0).題型分類深度剖析題型一向量在平面幾何中的應用例 1 已知O 是平面上的一定點，A, B, C 是平面上不共線的三個動點，若動點 P 滿足 OP =OA+ XAB+AC),入 (0,+a)，則點 P 的軌跡-定通過 ABC 的(填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”).答案重心解析 由原等式，得 OP OA=XAB+ AC)，即 AP=W+AC),根據(jù)平行四邊

5、形法則，知 AB + AC 是厶ABC 的中線 AD(D 為 BC 的中點)所對應向量AD的 2 倍，所以點 P 的軌跡必過 ABC 的重心.引申探究的_答案內(nèi)心 解析 由條件，得 OP OA=入詈+ 背,即 AP =入譽+-AC ,而號和-AC 分別表示平行|AB| |AC|AB| |AC| |AB| |AC|于 AB,AC 的單位向量，故 =+ = 平分/BAC,即 AP 平分/BAC,所以點 P 的軌跡必過ABC |AB| |AC|的內(nèi)心.思維升華 解決向量與平面幾何綜合問題，可先利用基向量或坐標系建立向量與平面圖形的聯(lián)系，然后通過向量運算研究幾何元素之間的關系.AB AC在本例中，若動

6、點 P 滿足 OP = OA+入- +-|AB| |AC|，氏(0, +a),則點 P 的軌跡一定通過ABC銀蹤訓練 1在平行四邊形 ABCD 中，AD = 1 , / BAD = 60 E 為 CD 的中點.若 AC BE =1，貝UAB=_.平面四邊形ABCD中，AB+CD= 0,(AB AD)AC= o,則四邊形ABCD的形狀是_ .1答案 (1)2菱形解析 在平行四邊形 ABCD 中，取 AB 的中點 F，則 BE = FD , / BE = FD =AD-AB, 又AC=AD+AB,T T T T T1T AC BE= (AD + AB) A( qAB)-T1 TTTT1 TO=AD

7、2 2AD AB+ AD AB qAB2=|AD|2+ 2|AD|AB|cos 60 2|AB|2=1 + 蘇無2|AB|2=1.1T TTTi二 2|AB| |AB|=0,又 |AB|M0,/ |AB|=AB +CD= o?AB= CD= DC?平面四邊形ABCD是平行四邊形，(AB AD)AC= DBAC=o?DB丄 AC,所以平行四邊形ABCD是菱形.題型二向量在解析幾何中的應用例 2 (1)已知向量6A= (k,12), O)B= (4,5), O)C= (10, k)，且 A、B、C 三點共線，當 k0 時,若 k 為直線的斜率，則過點(2, 1)的直線方程為 _ .設 0 為坐標原

8、點，C 為圓(x 2)2+ y2= 3 的圓心，且圓上有一點 M(x, y)滿足 OHM CM = 0, 則y=.x答案(1)2x + y 3= 0(2) 3解析/AB=OB OA = (4 k, 7),BC=OC0B = (6, k 5)，且 AB/ BC,-(4k)(k5)+6X7=0,解得 k= 2 或 k= 11.由 k2 + 1，故兩圓相離.如圖所示，設直線 CM 和圓 M 交于 H , G 兩點，則 PE PF 最小值是 HE HF , HC = CM 1 = 5 1 = 4, HE = pHC2 CE2= p 16 4 = ,1 COS/EHF=cos 2/CHE=1-2sin2

9、/CHE= 1HE HF=|HE| HF |cos/EHF=2翻X3X 1=6.題型三向量的綜合應用sin / CHE =CE =CH =例 3 (1)已知 x, y 滿足 x + yw2, 若OA= (x,1), OB = (2, y),且 OA OB 的最大值是最小x a,值的 8 倍，則實數(shù) a 的值是_函數(shù) y= sin(+在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N 分別是最高點、最低點，O 為坐標原點，且 OM ON = 0,則函數(shù) f(x)的最小正周期是 _1答案(2)3解析因為 OA = (x,1), OB= (2, y),所以 OA(OB= 2x+ y,令 z= 2x+ y,依題意，不

10、等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，觀察圖象可知，當目標函數(shù) z= 2x+ y 過點 C(1,1)時，Zmax= 2X1 + 1 = 3,目標函數(shù) z= 2x、 1+y過點 F(a, a)時，zmin= 2a + a= 3a,所以 3= 8x3a,解得 a=j81/T T11由圖象可知，M2, 1 ,N(XN,1),所以 OM ON = 2, 1XN, - 1) = 2XN 1 = 0,解得1XN=2，所以函數(shù) f(x)的最小正周期是 2X2 2 = 3.思維升華利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標運算進行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化.録蹤訓練 3

11、 在平面直角坐標系中，O 是坐標原點，兩定點 A, B 滿足|OA|=|OB|= OA OB = 2,則點集P|OP=OAF/OB川+ |眉 1,人 吐 R所表示的區(qū)域面積是 _ .答案 4 ,；3解析 由 |OA|=|OB|= OA OB=2,知OA, OB=n3當 0,說 0,入 +尸 1 時，在 OAB 中，取 OC =XOA過點 C 作 CD / OB 交 AB 于點 D，作 DE / OA 交 OB 于點 E,顯然 OD=XOAFCD.由于 ODB=AO，CDB=22 CD=(1-OB , OD =入 OAF (1 OB =入 O 件 /OB= OP ,入 +尸 1 時，點 P 在線

12、段 AB 上,存0, 說 0, H 產(chǎn) 1 時，點 P 必在 OAB 內(nèi)（包括邊界）.考慮川+ I 1 的其他情形，點 P 構(gòu)成的集合恰好是以 AB 為一邊，以OA,OB為對角線一半 的矩形，,1n其面積為 S= 4SOAB= 4X2 2X2sin 3= 4 .3.23審題路線團系列三審圖形抓特點n典例 （2015 太原一模）已知 A, B, C, D 是函數(shù) y= sin（x+妨w0, OvX2 一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，A -n, 0 , B 為 y 軸上的點，C 為圖象上的最低點，E 為該審題路線圖E 為函數(shù)圖象的對稱作出點 C 的對稱點 中心為圖象最低點兩點對稱*A( 0)

13、I-AF=： TJr- *#一2sin( cox+ 0,w0 ,川在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，N 分別是這段圖象的最高點和最低點，且(5M ON=0(0 為坐標原點)，則6.已知在 ABC 中，AB= a,AC= b, a V0,SAABC=乎,|a|= 3, |b|= 5,則/ BAC =答案12n解析n由題意知 M(12 , A) , N(又OM ON=1nx令-A2=0,- A=丄冗.7n祛-A),M,A=答案 150解析/ABAC 0),則 PA= (a,3), AM = (x a, y), MQ = ( x, b-y),由 PAAM= 0,得 a(x a)+ 3y= 0由AM= |M

14、Q，得1整理得 y= x3(x 0).3_cos2x 2sin xcos x 1 Ita n xcos2x sin Ix=|I-si n2x+ cos2x(2)f(x)= 2(a + b) b = Isin 2x+ ：+1.由正弦定理誌=壯，得sin A辱,所以A=：，或A=節(jié)因為 ba,所以 A=：.n匚.n1f(x) + 4cos IA + 6 = Isin Ix+ 4 |.3(xa,y)= 2(x,3by)= 2x,32y b ,3x a=尹,xa=233y=2y b 0, y 0,b=3.把 a= 2 代入,得- 2xx+ 2+ 3y= 0,所以動點 M 的軌跡方程為y=4X2W0).

15、10.已知向量 a= sin x,34 , b = (cos x, 1).(1)當 a/ b 時，求 cos2x sin 2x 的值;- 6nb = 2, sin B= 3，求 f(x) + 4cos 2A +舌x解(1)因為 a / b,3所以【cos x+sin x= o,3所以tan x=-4.設函數(shù) f(x) = 2(a+ b) b,已知在 ABC 中,內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c.若 a= . 3,n0, 3 的取值范圍.1 + tan2x 5nn, n11n因為 x o, 3，所以 2x+4,刁 2，F(xiàn)12 + 2 寸 t2* + 2：2t彳=8(t0),當且

16、僅當 t2=右 2t= 2，即 t= 1 時等號成立，所以 c+ ta+ jb 的最小值 為 2 2.1 112. 已知|a|= 2|b|z0,且關于 x 的函數(shù) f(x)= x3+ lalx2+ a bx 在 R 上有極值，則向量 a 與 b的夾角的范圍是_.n答案n，n解析設 a 與 b 的夾角為0. f(x) = 1x3+ 2|a|x2+ a bx. f (x)= x2+ |a|x + a b.函數(shù) f(x)在 R 上有極值，方程 x2+ |a|x+ a b = 0 有兩個不同的實數(shù)根,a2即= |a|2 4a b 0, a bv ,又/ |a|=2|b|z0,a2n又/00, n, 0

17、3, n.13._已知向量 O)A= (3, 4), OB= (6, 3), OC = (5 m, 3 m),若/ ABC 為銳角，則 實數(shù) m 的取值范圍是.二 cos0=a b 4 = 1|a|b|Vaf= 2,即 cos0v12,311答案(4，2)u(2，+m)解析 由已知得AB= OB-OA = (3,1),/C=OC-OA=(2 m,1 m).若 AB / AC,則有 3(1 m) = 2 m,1解得 m= *由題設知，BA= ( 3, 1), BC = ( 1 m, m)./ ABC 為銳角，/ E3A BC= 3+ 3m+ m0, 可得 m 4.由題意知，當 m= *時，AB

18、/ AC.311故當/ABC 為銳角時，實數(shù) m 的取值范圍是(一 4, 2)U(2，+m).14._在梯形 ABCD 中，AB = 2DC , |BC|= 6, P 為梯形 ABCD 所在平面上一點， 且滿足 AP+ BP + 4DP = 0,DA CB = |DA| DP|, Q 為邊 AD 上的一個動點，則|PQ|的最小值為 _ .答案埒解析 如圖，取 AB 的中點 M，由 AP+EBP + 4DP = 0 得 PM = 2Dp , P 為線段DM上靠近點D的三等分點，由題意知，DACB=DA DM=|DABBB122| DM|cos/ ADM = |DA| DP|,所以 cos/ ADM = 3，貝 U sin/ ADM =, 所以|PQ|的最小值為 2sin/ ADM =15.已知平面上一定點 C(2,0)和直線 l : x= 8, P 為該平面上一動點，作-B1-B-B1-B且(PC+ PQ)P(PQ)= 0.(1)求動點P的軌跡方程；若 EF 為圓 N: x2+ (y 1)2= 1 的任意一條直徑，求 PE PF 的最值.解(1)設 P(x, y)，則 Q(8, y).PQ 丄 I，垂足為 Q,B1B -B1-B由