2012高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第六講解析幾何 第二節(jié)圓錐曲線 文

1、第二節(jié) 圓錐曲線 圓錐曲線是高考命題的熱點,也是難點.縱觀近幾年的高考試題,對圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等的考查多以選擇填空題的形式出現(xiàn),而圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓錐曲線與平面向量、三角形、直線等結(jié)合時,多以綜合解答題的形式考查,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求 了解圓錐曲線的實際背景；掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單幾何性質(zhì)；了解拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單幾何性質(zhì)；了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；掌握數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的思想方法.題型一 圓錐曲線的定義及應(yīng)用 例 已知點為橢圓的左焦點,是此橢

2、圓上的動點,是一定點,則的最大值和最小值分別為. 已知雙曲線的虛軸長為,離心率為,、分別是它的左、右焦點,若過的直線與雙曲線的左支交于、兩點,且是與的等差中項,則. 點撥：題可利用橢圓定義、三角形的三邊間關(guān)系及不等式性質(zhì)求最值；題是圓錐曲線與數(shù)列性質(zhì)的綜合題,可根據(jù)條件先求出雙曲線的半實軸長的值,再應(yīng)用雙曲線的定義與等差中項的知識求的值. 解：設(shè)橢圓右焦點為,則,.又 (當(dāng)、共線時等號成立).又,.故的最大值為,最小值為. 依題意有,解得.、在雙曲線的左支上,.又,.,即. 易錯點：在本例的兩個小題中,正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要,否則求解思路受阻；忽視雙曲線定義中的兩焦半徑的大小關(guān)系容易出

3、現(xiàn)解題錯誤；由、三點共線求出的最值也是值得注意的問題. 變式與引申1.已知為拋物線上任一動點,記點到軸的距離為,對于給定的點,的最小值為( ). A. B. C. D.2.設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點,過的直線與相交于、兩點,且是與的等差中項,則.題型二 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 已知拋物線：經(jīng)過橢圓：的兩個焦點.圖 求橢圓的離心率； 設(shè),又,為與不在軸上的兩個交點,若的重心在拋物線上,求和的方程. 點撥：問題：將的焦點坐標(biāo)代入的方程,得出的關(guān)系式,進而求出的離心率；問題：利用問題的答案,聯(lián)立、的方程先得出、坐標(biāo),再利用的重心在拋物線上,求、的方程. 解：拋物線經(jīng)過橢圓的兩個焦點,即,橢圓的離心

4、率. 由可知,橢圓的方程為,聯(lián)立拋物線的方程,得,解得或(舍去),即,的重心坐標(biāo)為.重心在上,得.拋物線的方程為,橢圓的方程為. 易錯點：忘記用第小問的答案；記錯重心坐標(biāo)公式；聯(lián)立、的方程后,計算錯、坐標(biāo). 變式與引申3.求經(jīng)過兩點和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.4.已知橢圓與直線相交于、兩點,是的中點,若,的斜率為,求橢圓的方程.題型三 圓錐曲線的幾何性質(zhì)圖 例 如圖,已知為橢圓的左焦點,過點作斜率為(為半焦距)的直線交橢圓于點、兩點. 若直線的傾斜角為,求證：(為橢圓的離心率)； 若,且,求橢圓的離心率的取值范圍. 點撥：這是一道過橢圓焦點的直線與橢圓性質(zhì)的有關(guān)問題,依據(jù)題給條件,運用三角公式、斜率與

5、傾斜角的關(guān)系以及橢圓離心率知識可使問題獲證；對于則運用平幾性質(zhì)、焦半徑公式及題給條件建立含離心率的不等式,進而求出的取值范圍. 解法：,即,又,故. 解法：依題意直線的分別為,點的坐標(biāo)為,故. 解：,.將直線代入橢圓,整理得,.,解不等式,得,故橢圓的離心率的取值范圍為. 易錯點：問題中忽視斜率的正負,會導(dǎo)致的符號出錯；問題中不適時聯(lián)想平幾性質(zhì)，解題思路將受阻. 變式與引申5.給定拋物線：,過點斜率為的直線與交于,兩點. ()設(shè)線段的中點在直線上,求的值； ()設(shè),求的取值范圍.題型四 以圓錐曲線為載體的探索性問題 例 已知橢圓：的離心率為,過右焦點的直線與相交于、兩點.當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,坐標(biāo)原點

6、到的距離為. 求、的值； 上是否存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立？若存在,求出所有的點的坐標(biāo)與的方程.若不存在,說明理由. 點撥：問題可先寫出的方程,再利用點到的距離和橢圓的離心率求出、的值；問題是存在性探索問題,可先探索命題成立的充要條件,將向量坐標(biāo)化,再綜合運用題給條件,逐步推出滿足題意的是否存在.但需考慮轉(zhuǎn)動時斜率不存在情形. 解：設(shè),當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,其方程為,點到的距離為, .由,得,. 上存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立.由知的方程為 .設(shè),. 當(dāng)不垂直軸時,設(shè)的方程為.上的點使成立的充要條件是 的坐標(biāo)為,且,即 .又、在上, 將代入 ,整理得, 于是 ,.代入解得, 此時

7、,于是,即.因此,當(dāng)時, 的方程為；當(dāng)時,的方程為. 當(dāng)垂直于軸時,由知,上不存在點,使成立. 綜上,上存在點使成立,此時的方程為.在、之間),為坐標(biāo)原點. 若,求的面積； 對于任意的動直線,是否存在常數(shù)，總有？圖若存在,求出的值；若不存在,請說明理由.本節(jié)主要考查： 知識點有圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)(焦點、離心率、焦點三角形,焦半徑等)以及這些知識的綜合應(yīng)用； 以平面向量、三角形、導(dǎo)數(shù)為背景的圓錐曲線的方程問題、參數(shù)范圍問題、最值問題、定值問題等相關(guān)的綜合問題； 圓錐曲線定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、點差法、設(shè)而不求的整體思想以及坐標(biāo)法和“幾何問題代數(shù)化” 等解析幾何的基本方法

8、； 數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力.點評： 圓錐曲線是解析幾何的重點,也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,同時又是高考的熱點和壓軸點之一,主要考查圓錐曲線的定義(如例)與性質(zhì)(如例)、求圓錐曲線方程(如例)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、以圓錐曲線為載體的探索性問題(如例)等. 圓錐曲線的定義,揭示了圓錐曲線存在的條件性質(zhì)、幾何特征與焦點、離心率相關(guān)的問題,恰當(dāng)利用圓錐曲線定義和數(shù)形結(jié)合思想解題,可避免繁瑣的推理與運算. 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：定型確定是橢圓、拋物線、或雙曲線；定位判斷焦點的位置；定量建立基本量、的關(guān)系式,并求其值；定式據(jù)、的值寫出圓錐曲

9、線方程. 圓錐曲線的性質(zhì)如范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、焦半徑、焦點三角形、通徑等都是高考的重點熱點.此類問題,它源于課本,又有拓寬引申、高于課本,是高考試題的題源之一,應(yīng)引起重視,注意掌握好這一類問題的求解方法與策略.如對于求離心率的大小或范圍問題,只需列出關(guān)于基本量、的一個方程(求大小)或找到關(guān)于基本量、間的不等關(guān)系(求范圍)即可. 求參數(shù)取值范圍是圓錐曲線中的一種常見問題,主要有兩種求解方法：一是根據(jù)題給條件建立含參數(shù)的等式后,再分離參數(shù)求其值域；另一是正確列出含參數(shù)的不等式,進而求之.其列不等式的思路有：運用判別式或；點在圓錐曲線內(nèi)部(一側(cè))或外部(另一側(cè))；利用圓錐曲線的幾何意義

10、(如橢圓中等)；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊(注意三點共線的情況). 解有關(guān)圓錐曲線與向量結(jié)合的問題時,通性通法是向量坐標(biāo)化,將一幾何問題變成純代數(shù)問題. 探索性問題是將數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的,它要求學(xué)生具有觀察分析問題的能力、具有創(chuàng)造性地運用所學(xué)知識和方法解決問題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設(shè)滿足題意,即從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā),然后通過歸納,逐步探索待求結(jié)論.習(xí)題6-2 .已知橢圓中心在原點,左、右焦點、在軸上,、是橢圓的長、短軸端點,是橢圓上一點,且軸,則此橢圓的離心率是( ). A. B. C. D.2.過拋物線的焦點F作直線，交拋物線于A、B兩點，交其

11、準(zhǔn)線于C點，若，則直線的斜率為_.已知定點,定直線：,不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的倍.設(shè)點的軌跡為,過點的直線交于、兩點，直線、分別交于點、. 求的方程； 試判斷以線段為直徑的圓是否過點,并說明理由. .如圖,已知直線：與拋物線：交于、兩點,為坐標(biāo)原點,. 求直線和拋物線的方程； 若拋物線上一動點從到運動時,求面積的最大值.【答案】變式與引申1. C提示：如圖6-2-1,點到軸的距離比到準(zhǔn)線的距離(即)少,.而點在拋物線外,的最小值為.2. 提示：由橢圓定義知,又，,.3. 解法一：當(dāng)焦點在軸上時,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,依題意有,解得.當(dāng)焦點在軸上時,同理解得,不合,舍去. 綜上所

12、求橢圓的方程為.解法二：設(shè)所求橢圓方程為.依題意有,解得.故所求橢圓的方程為.4. 解法一：設(shè),代入橢圓方程得,相減得.,.由,得.,.又,.將代入,解得,.故橢圓方程為.解法二：由,得.設(shè),則,.,. 設(shè),則,代入,得,.故橢圓方程為.5. 解：()過點斜率為的直線為,將代入方程，得. 設(shè),則有,.線段的中點在直線上,即,得(此時式的判別式大于零).()由,得,即. 由,得.,由、得,易知,.,又,即,得,解得或,故的取值范圍是.6. 解：由題意,直線的方程為.設(shè)點,由,得,則,.設(shè)點,則.由、三點共線得.由得點到軸距離與到直線：距離相等,即,.把,代入,得,即,解得.故存在常數(shù),總有.習(xí)題6-2 . B. 提示：設(shè)橢圓的方程為,則,.由軸,得,即,解得,故橢圓的離心率.選B. 2. 提示：過點B向準(zhǔn)線作垂線,垂足為M，可知，所以直線的斜率為. 解：設(shè),則,化簡得. 當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)的方程為,與雙曲線聯(lián)立消去得.由題意知且.設(shè),則,.,的方程為,點的坐標(biāo)為,同理可得,因此. 當(dāng)直線與軸垂直時,其方程為