一階微分方程奇解的兩個判別式

1、1,問題的提出對于一個一階微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,則此奇解一定滿足兩個判別式,即P -判別式和C -判別式。定理一1設(shè)函數(shù)F(x,y,p對(x,y,pG是連續(xù)的,而且對y 和p有連續(xù)的偏微商F y 和F p ,若函數(shù)y=(x,(xJ是微分方程F(x,y,y的一個奇解,并且,則奇解y=(x滿足一個稱之為P-判別式的聯(lián)立方 程定理二1設(shè)微分方程有通積分V(x,y,C=0,又設(shè)(積分曲線族V(x,y,C=0有包絡(luò)為:y=(x,(xJ,則奇解y=(x滿足如下C- 判別式。定理一和定理二是奇解的必要條件,也就是說,用P-判別式和C-判別式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解

2、,也不一定是奇解。但在求一階微分方程的奇解時,通常會采用這兩種判別式,只要所求解是微分方程的解并且滿足一定的條件(用P - 判別式求出的解滿足;用C-判別式求出的解滿足非 蛻化條件,則此解就是奇解。既然P-判別式和C-判別式均是求奇解的方法,那么是不是這兩個判別是對所有的一階微分方程求奇解都有效呢?2,幾個例子利用P-判別式和C-判別式對一些一階微分方程進(jìn)行求解的運算,看看會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果。例1、求y=2xy -y 2的奇解。解:令y=p,利用 P-判別式消去P 得y=x 2,將y=x 2代入原方程不是方程的解,所以原方程無奇解。例2 、求的奇解。 解:方程的通解為,C-判別式得不到任何曲線

3、一階微分方程奇解的兩個判別式TwoJudgmentofSingularSolutionaboutFirstOrderDifferentialEquation路暢1智婕2(1.西安工業(yè)學(xué)院數(shù)理系710032;2.蘭州商學(xué)院信息工程學(xué)院730020摘要:一階微分方程擁有含有一個任意常數(shù)的通解,另外可能還有個別不含于通解的特解,即奇解,利用P-判別法和C-判別法可以求出奇解,而這兩種判別法是否適用于求每一個一階微分方程的奇解?此文中舉了幾個例子來說明這個問題。關(guān)鍵詞:一階微分方程;奇解;P -判別式;C -判別式Abstract:F irsto rderd ifferentiale quationh

4、 asa g enerals olutionw hichc ontainsa na rbitraryc onstant,b uts ometimesi th ass pecials olutiont hati ss ingulars olution,w hichc anb es olved bytheP-judgmentmethodandC-judgmentmethod.Whilewhetherthetwojudgmentscanbeappliedtogeteverysingularsolutiontothefirstorderdifferentialequation?Thispaper in

5、tendst oi llustratet hisp roblemw iths everale xamples.Keyw ords:singulars olution,P -judgment,C -judgment但y=0不是方程的解,所以方程無奇解。例1、例2充分體現(xiàn)了P-判別式和C-判別式是奇解的必要條件。例3 、求的奇解。解:令y=p,P- 判別式,消去p ,得y 2=1,即y=±1,因為y=±1為原方程的解,且方程的通解為y=sin(x+c所以,y=±1是奇解(滿足例4 、求的奇解。 解:方程的通解為,從上面的例題,我們可以發(fā)現(xiàn)如果要利用P-判別式來求奇解,

6、直接可以從方程出發(fā),而如果要利用C-判別式來求奇解,必須先知道方程的通解,然后從通解出發(fā)。如果知道方程的通解,則既可以利用P-判別式又可以利用C-判別式,而P-判別式看似更為簡單一些。例5 、求 的奇解。法二,方程的通解為Y =C x +C 2 ,既然某些一階微分方程的奇解既可以用P-判別式來求又可以用C-判別式來求,那么能否將P-判別式和C-判別式聯(lián)合來求奇解呢?例6 、求的奇解。解:令y =p ,例6介紹了求奇解的另一種方法,即聯(lián)合P-判別式和C-判別式,從P-判別式得到解(x,y=0和從C-判別式得到的解(x,y=0中,尋得公共的單因式,令其為零,一般就是奇解。在例6中,由P -判別式得

7、 到,由C -判別式得到y(tǒng) -x +4/27=0,它們共同的單因式為y -x +4/27=0,令其為零,即y =x -4/27是奇解。例7 、求 的奇解。所以y=0是奇解;(下轉(zhuǎn)第211頁百川,有容乃大。營造有利于新思想萌芽的環(huán)境土壤對能否培養(yǎng)出創(chuàng)新型的人才至關(guān)重要。從本質(zhì)上講,創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力培養(yǎng)是一項創(chuàng)造性的活動,其行為具有一定非尋常性。對 于這種非尋常性的思維,應(yīng)該鼓勵;或許按照這種思路發(fā)展不一定能得到預(yù)期的結(jié)果,其實這并不重要,重要的是在這樣一個有自由開放之風(fēng)和兼容并包之氛圍中,沒有壓抑和譏諷,發(fā)散性的思想火花能得到充分爆發(fā),持續(xù)下去,創(chuàng)新性的成功只是遲早而已的事。2.要積極創(chuàng)新具有

8、學(xué)科特點的教育模式。在對大學(xué)教學(xué)管理過程中,改變對教師集中過多、統(tǒng)得過死的現(xiàn)象,避免教師勞動成為單調(diào)重復(fù)的行為,使教師的教學(xué)活動真正成為名副其實的創(chuàng)造性勞動。大學(xué)教師不同于中小學(xué)教師,他們所教授課程的特點千差萬別,統(tǒng)一規(guī)定的教育模式勢必影響甚至限制教學(xué)方法的任何創(chuàng)新。應(yīng)鼓勵教師按照該學(xué)科的特點,由教師自主決定課程的講授、實踐和考核方式,給教師更多的自主權(quán)。這樣不僅能推動教師教學(xué)創(chuàng)新,而且學(xué)生也能從教師的創(chuàng)新方法中汲取營養(yǎng)和得到 啟發(fā)。3.要積極建立教師創(chuàng)新配套的激勵機制。加強對教師創(chuàng)新意識及能力的科學(xué)評價及考核,建立起一種激勵機制,不斷地激勵、刺激教師,把他們的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力充分地發(fā)揮出來

9、。目前,由于我們對教師創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力認(rèn)識不足,因此,在對教師的實 際考核中,沒有一套科學(xué)的評價標(biāo)準(zhǔn)及指標(biāo)體系,沒有一套科學(xué)的評價工具,基本上處于定性的模糊的評價階段,人為的主觀隨意性較強。但社會的飛速發(fā)展要求我們對教師的評價,要適應(yīng)社會發(fā)展對教育的新要求。因此,評價標(biāo)準(zhǔn)、評價工具及手續(xù)必須更新。對教師創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的要求必須建立在激勵機制的基礎(chǔ)上。如對積極開展科研和創(chuàng)造性教學(xué)的教師進(jìn)行大力宣傳和表彰,并對其創(chuàng)造事跡和創(chuàng)造成果進(jìn)行重獎,同時鼓勵教師積極走出去請進(jìn)來進(jìn)行廣泛領(lǐng)域的學(xué)術(shù)交流與合作,并保障其活動經(jīng)費;以及把教師晉級加薪與進(jìn)修、學(xué)術(shù)交流和獲得的各項創(chuàng)新成果掛鉤。這些激勵都能起到很

10、好的促進(jìn)作用?？傊?時代呼喚創(chuàng)新人才的培養(yǎng),創(chuàng)新人才的培養(yǎng)呼喚創(chuàng)新教育。真正意義上的創(chuàng)新教育必須要有一支具有很強創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的教師隊伍,尤其是承擔(dān)高等教育和職業(yè)教育的大學(xué)教師隊伍。教育機構(gòu)和教育管理機構(gòu),在制訂各項制度時應(yīng)更為人性化,為教師增強創(chuàng)新意識與能力提供必要的環(huán)境和條件,積極鼓勵創(chuàng)新,這些是增強大學(xué)教師創(chuàng)新意識與能力的客觀條件。作為人民教師,肩負(fù)振興民族教育的重任,不僅要有無上的光榮感,更要有強烈的責(zé)任感、使命感,不斷提高自身素質(zhì),勇于探索、努力創(chuàng)新,為振興教育,推進(jìn)素質(zhì)教育打下堅實地基礎(chǔ),承擔(dān)起知識和技術(shù)創(chuàng)新以及創(chuàng)新人才培養(yǎng)的偉大歷史使命。參考文獻(xiàn):1吳麗萍.增強主體意識培養(yǎng)創(chuàng)

11、新能力J.青海教育論壇.2004年6月2惠淑英,徐貴友.師繼續(xù)教育應(yīng)注重教師創(chuàng)造素質(zhì)的培養(yǎng)J.中國教育和科研.2003年7月3朱永新,楊樹兵.創(chuàng)新教育與教育創(chuàng)新J.江蘇教育研究.99年5月4高淑賢.面向未來.培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的師資隊伍J.2000年10月(第4期(上接第207頁另一方面,令dy/dx=p ,P -判別式,則P -判別式失效。由例題可知,當(dāng)微分方程的一階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)為一次時,會造成P -判別式失效。(例如:ap+x-y=0(a 0,則Fp (x,y,p=a 0,此時只能利用C-判別式來求奇解。同理,當(dāng)通解中常數(shù)C 的次數(shù)為一次時,則C -判別式失效。例8、求的奇解。解:此方程的存在區(qū)域為去心正方形|x|1,|y|1,x 2+y 20由此可見,當(dāng)C-判別式失效時,P-判別式必然失效,但由例7知,P-判別式失效時,C-判別式不一定失效。從以上的幾個例子中,在利用兩個判別式求一階微分方程的奇解時,會出現(xiàn)以下幾種情況:P-判別式和C-判別式均可用來求奇解;P-判別式與C-判別式聯(lián)合可求方程的奇解;當(dāng)一階微分方程的一階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)為一次時,P-判別式不可求奇解,但C