史上最全最好固體物理復(fù)習(xí)資料

1、v1.0可編輯可修改第一章晶體的結(jié)構(gòu)a）晶體的共性：i. 長程有序：晶體中的原子按一定規(guī)則排列ii. 自限性：晶體自發(fā)地形成封閉幾何多面體的特性，晶面夾角守恒定律iii. 各向異性：晶體的物理性質(zhì)是各向異性的，是區(qū)別晶體與非晶體 的中要特征。b） 密堆積：i. 正方堆積：最簡單的堆積方式ii. 體心立方堆積：iii. 立方堆積和六角堆積：配位數(shù)為12c） 配位數(shù)和致密度：i. 配位數(shù)：一個原子球與最近鄰的相切原子的個數(shù)，如配位數(shù)為12即與1個原子求與相鄰的12個原子相切。ii. 致密度：晶胞中所包含的原子體積與晶胞體積的比值。d）布喇菲空間點陣原胞和晶胞i. 布喇菲點陣：對實際晶體結(jié)構(gòu)的抽象成

2、無數(shù)相同的點的分布， 把這些點構(gòu)成的總體稱為布喇菲點陣。ii. 原胞：晶體中體積最小的重復(fù)單元稱為原胞， 他們并不是唯一的，但是體積總是相等的。iii. 晶胞（布喇菲原胞）：晶體中體積不一定是最小的，但是能夠反映出晶體對稱 的特征的重復(fù)單元稱為晶胞。iv. 原胞基矢：原胞重復(fù)單元的邊長稱為原胞基矢，以a1、a2、a3表示。v. 晶胞基矢：晶胞重復(fù)單元的邊長稱為晶胞基矢，以a、b、c表示。e）立方晶系：i. 簡立方：晶胞和原胞是統(tǒng)一的，對應(yīng)一個結(jié)點。ii. 體心立方：原胞體積 V= a1 - （a2*a3） / 2 = aA3 / 2, a是晶胞邊長，又稱晶格常數(shù)。一個體心立方晶胞對應(yīng)兩個格點。

3、iii. 面心立方：原胞體積 V=a1 - ( a2*a3 ) = aA3 / 4 ;為晶胞體積的1/4, 一個面心立方晶胞對應(yīng) 4個格點。iv. NaCl結(jié)構(gòu)：簡立方結(jié)構(gòu)，一個原胞對應(yīng)一個基元，包含一個鈉離子一個氯離 子。v. 金剛石結(jié)構(gòu)：構(gòu)成面心立方結(jié)構(gòu)，vi. 簡單晶格：基元包含一個原子的晶格，又稱布喇菲格子。vii. 復(fù)式晶格：基元包含兩個或者以上的原子的晶格。f) 晶列、晶面指數(shù)：i. 晶列的特征：1.取向；2.格點的周期。ii. 原胞基矢的晶列指數(shù)：設(shè) R:1閉+ I羽？ + 13a3,其中11 , 12, 13互質(zhì)。 那么稱Cihl為晶列指數(shù)。晶列指數(shù)的周期為，| R。iii.

4、晶胞基矢的晶列指數(shù)：設(shè) R = rnai r噂？ 1 pam,其中m、n、p互質(zhì)。那么稱 mnp稱為晶列指數(shù)。iv. 晶面：所有的格點都分布在相互平行的一平面族上，每一個平面族都有格點分布，稱這樣的平面為晶面。v. 晶面特征：1.方位；2.晶面的間距。vi. 晶面指數(shù)：設(shè)基矢末端落在距離遠(yuǎn)點h1d、h2d, h3d的晶面上，則基矢的與法向量的方向余弦的比值有：hi h2 h3cos (al, n) cos n) cos (a3h n) = 由于晶體機(jī)構(gòu)確定，則晶體常數(shù)也確定了，因此只要h1、h2、h3確定下來，就能確定整個晶面的方位，故把(h1h2h3)稱為晶面指數(shù)。這里應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的一個物理意義

5、是，基矢a1, a2, a3被分別被平均為 h1, h2, h3份。參考P14 頁的圖。vii. 米勒指數(shù)：在晶面指數(shù)中，利用晶胞基矢計算出來的晶面指數(shù)稱為米勒指數(shù)，常計為(hkl)。對于立方晶體晶列指數(shù)hkl 與晶面指數(shù)(hkl)正交。g)倒格空間:i. 倒格基矢：倒格基矢具有與正格基矢倒逆的量綱，以 bl、b2、b3表示。ii. 倒格矢：倒格矢是倒格基矢的線性組合，一般用Kh表示。由倒格基矢平移組成的格子稱為倒格子，倒格子構(gòu)成原胞稱為倒格原胞。iii. 倒格子和正格子的性質(zhì)：1 .正格原胞的體積與倒格原胞的體積之積等于（2兀43;2 .正格子與倒格子互為對方倒格子。3 . 倒格矢Kh =

6、hlbl + h2b2 +h3b3 與正格子晶面族 （h1h2h3）正交。4 .倒格矢Kh的模與晶面族（h1h2h3的間距d卜佻如3成正比。2n出他=Mh）晶體對稱性：i. 對稱操作：一個晶體在某一個變換后，晶格在空間的分布保持不變，這一變換稱為對稱變換。ii. 空間群：若包括平移，有 230種對稱類型。點群：不包括平移，有32鐘宏觀對稱類型。iii. 正交變換：在對稱操作變換中，晶體兩點間距離保持不變的變換。正交變換的變換矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣 AT即為A的逆矩陣A-1 ,即AT = A-1類型有：1 .轉(zhuǎn)動：使晶體沿x軸轉(zhuǎn)。角度，變換矩陣為100A =。cos 8 -sing,0 s i n 9

7、gqs 6 J2 .中心反演：從（x,y,z）- （-x,-y,-z）的變換，變換矩陣為：A= ? o3 . 鏡像操作：以x=0的平面為晶面，將任一點從（x,y,z）- （-x,y,z）,變換矩陣為：-Co 0A =010,0 0 ijiv. 晶列的周期：值相鄰的結(jié)點之間的距離，并不是指晶列距離。晶列的旋轉(zhuǎn)操作限制： 受晶列周期的限制，晶體只允許按照一定的角度進(jìn)行選擇，分別是選擇：n = 1、2、3、4、6這些角度，晶體的周期性不允 許有5度的旋轉(zhuǎn)角。v. n度旋轉(zhuǎn)角：其中的 n為1、2、3、4、6。vi. n度旋轉(zhuǎn)反演角：表示經(jīng)過 n度旋轉(zhuǎn)之后再反演，通常用 2, 3x或石表示。其中1常被稱

8、為i表示，2用m表示。vii. 測量立方晶體介電常數(shù)：垂直于x軸或者y軸或者z軸切下一薄片晶體，在晶體主表面鍍上電極，測量出他們的電容，即可求出介電常數(shù)。i) 晶體結(jié)構(gòu)的分類：i. 七大晶系：立方晶系，六角晶系，四方晶系，三角晶系，正交晶系，單斜晶系，三斜晶系。ii. 十四鐘布喇菲格子晶胞：1.簡單三斜、2.簡單單斜、3.底心單斜、4.簡單正交、5.底心正交、6.體心正交、7.面心正交、8.六角、9.菱面三角、10.簡單四方、11.體心四方、12.簡單立方、13.體心立方、14.面心立方。j) 晶體X光衍射：i. Sii. Siii. S第二章晶體的結(jié)合-價電子的相互作用決定了原子間相互作用的

9、性質(zhì)a) 原子的電負(fù)性：i. 核外電子分布原則：遵循泡利不相容原理，能量最低原理和洪特規(guī)則。1 .泡利不相容原理：包括自旋在內(nèi)，不可能存在量子態(tài)全同的兩個電子。2 .能力最低原理：在任何穩(wěn)定的體系中，其能力最低。3 .洪特規(guī)則：電子隨著能量由低到高依次進(jìn)入軌道并先單一自旋平行地占據(jù)盡量多的等價軌道。ii. 電離能：使原子失去一個電子所需要的能量。iii. 電子親和能：一個中性原子獲得一個電子稱為負(fù)離子所釋放的能量。iv. 電負(fù)性：用來度量原子吸引電子的能力。v. 電負(fù)性的特征：1.周期表從上往下，元素的電負(fù)性逐漸減小。2. 一個周期內(nèi)重金屬的電負(fù)性差別較小。vi. 金屬性：易于失去電子的傾向稱

10、為金屬性；易于獲得電子的傾向稱為非金屬性。b）晶體的結(jié)合類型：共價結(jié)合、離子結(jié)合、金屬結(jié)合、分子結(jié)合、氫鍵結(jié)合。i. 共價結(jié)合：兩個電負(fù)性較大的原子可以各出一個電子，形成電子共享的形式，它們的自旋是相反的， 稱為配對原子，而配對方式稱為共價鍵。 特點：硬度高， 熔點高，熱膨脹系數(shù)小，導(dǎo)電能力差。如金剛石、C Si。ii. 離子結(jié)合：一邊電負(fù)性小，一邊電負(fù)性大，因此相互吸引結(jié)合的方式，稱為離子鍵。結(jié)合動力為正負(fù)離子之間的庫侖力，特點：硬度高，熔點高，熱膨脹系 數(shù)小，導(dǎo)電T差。如 NaCloiii. 金屬結(jié)合：特點：導(dǎo)電性，導(dǎo)熱性良好。如：Au、Agoiv. 分子結(jié)合：結(jié)合力為范德瓦爾斯力，極性分

11、子之間的結(jié)合是庫侖力；極性與非極性的結(jié)合也是庫侖力；非極性分子之間的結(jié)合是電偶極矩的一種相互作用。如氫氣。v. 氫鍵結(jié)合：氫原子電負(fù)性很大，先誘導(dǎo)電負(fù)性大的原子形成共價鍵結(jié)合，后來由于氫核與負(fù)電中心不重合，由產(chǎn)生極化現(xiàn)象，此時具有正點的氫鍵的一端和通過庫侖力與另一個電負(fù)性較大的原子結(jié)合。表示為：A-H-B ;冰是典型的氫鍵晶體。c）結(jié)合力及結(jié)合能i. 結(jié)合力的共性：隨著距離的增加，排斥勢比結(jié)合勢更快地減少，即排斥勢是短程效應(yīng)。ii. 原子之間的相互作用力：吸引力是由庫倫引力引起的；排斥力有庫倫斥力和泡利不相容原理引起而定?？梢钥闯?，當(dāng)原子相距很遠(yuǎn)的時候，相互作用力為零；當(dāng)原子逐漸靠近時，原子間

12、出現(xiàn)引力；當(dāng)r = rm的時候，吸引力達(dá)到最大，接著吸引力開始減少，當(dāng)r = r0的時候排斥力與吸引力相等，合力為 0,對應(yīng)勢能最低點。iii. 分子解體的臨界距離：即 rm,因為從這個點之后吸引力隨傳播距離而減少。iv. 結(jié)合能：自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量，或者把晶體拆散成一個個自由粒子所提供的能量。粒子的結(jié)合能=原子動能+原子間相互作用勢能。當(dāng)溫度在0K時，原子動能約為 0,故結(jié)合能=原子間相互作用的勢能。d）分子力結(jié)合：三種分子吸引勢都與（-6）成反比。i. 極性分子結(jié)合：極性分子之間存在著永久偶極矩每一個極性分子就是一個電偶極子，因此產(chǎn)生相互作用力。ii. 非極性分子結(jié)合：非

13、極性分子間的相互作用時瞬間偶極矩與瞬間感應(yīng)矩的作用。iii. 極性分子和非極性分子的結(jié)合：非極性分子的電子云容易被極性分子的偶機(jī)電場所極化從而產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極矩。e) 共價結(jié)合：i. 理論基礎(chǔ)：只有當(dāng)電子的自旋相反時兩個氫原子才結(jié)合成穩(wěn)定的分子。ii. 共價鍵定義：自旋相反的兩電子稱為配對原子，稱配對的電子結(jié)構(gòu)為共價鍵。這種共享配對電子的結(jié)合方式稱為 共價結(jié)合。f) 離子結(jié)合：離子晶體的結(jié)合能主要來自庫倫能，排斥能僅是庫倫能絕對值的1/ n。離子的庫倫作用只與r的一次方成反比。第三章晶格振動與晶體熱學(xué)性質(zhì)：a)晶格振動：晶體中的原子每時每刻都在其平衡位置附近做微振動。它決定了晶體的宏觀熱學(xué)性質(zhì)。b

14、)第二章、第三章和第五章的聯(lián)系：1 .離子實質(zhì)量比電子大很多，那么電子運動速度比離子實快很多，離子實可以看作為靜止在平衡位置，研究電子在離子實的勢場的運動規(guī)律。使用固體電子論。11 .當(dāng)考慮離子實的運動時，電子運動很快，能跟上離子實的運動，相當(dāng)于中性分子，做微小運動。用 晶格振動理論。111 .考慮以上兩者的相互作用時，用 能帶理論。112 一維晶格的相互作用力：113 n個原子和第n+1個原子的互作用力：干二-B 伍 / 1 - wju是位移，3是常數(shù)，稱為彈性恢復(fù)力系數(shù)，3 大于0時是向右的吸引力，向左是小于 0的排斥力。114 恩一卡門條件：在實際原子鏈的兩端接上了全同的原子鏈之后，由于

15、 電子之間的相互作用力主要取決于近鄰，所以除兩端極少原子的受力與實際情況不符合以外，其他絕大多數(shù)的原子的運動并不受假想原子鏈的影 響。115 波：在任意時刻，原子的位移有一定的周期分布，也就是原子的位移構(gòu)成了波，這種波稱為格波。4.格波角頻率:22顯然：qa / 2 = m兀 時，w的值并不會變化，出現(xiàn)周期性，即 q = 2n兀/2時0不會變化，且n為負(fù)數(shù)時，也成立，那么可以稱w具有反演對稱性。設(shè)格波傳播速度為 v,則傳播速度由v = w / q ,以及q = 2兀/入 得到：故波傳播的速度是波長的函數(shù)，波長不同格波傳播速度不同，故把 w和q 的關(guān)系成為色散關(guān)系。由伯恩卡門條件有：周期勢場，即

16、第N個原子的位移與第n個原子相等。2TT I n Na代入-兀/ a q 兀/ a 周期條件有：-N /2 l 0 時，sin(qa / 2) qa / 2;則有：5. 截止頻率：當(dāng)q = +-(兀/ a) 時，w的頻率稱為截止頻率，此時w為最大值：v.二維復(fù)式格子：研究質(zhì)量為m和M的兩種原子的相互作用。1. 一維復(fù)式格子的格波解：對格波相互作用力的影響利用波動方程可以解得：（0 1 4 6 2 M3 今 （0 1 R B 益一應(yīng)）-（0 1 卜噂丫巧+ 02 - mu2）有：16e坤魚，、泮1n(Pi +魚尸故說明二維復(fù)式格子存在著兩種格波，一個頻率較高，一個頻率較低，但兩者仍然具有空間反演

17、性和周期性。即w(q+2jt / a) = w(q)以及w(-q) = w(q)。由波恩-卡門邊界條件：即 U2(n * h)=Ufii 。得到：qNa = 2nl即波矢的數(shù)目等于晶體原胞的數(shù)目。由于一個波矢對應(yīng)二維復(fù)式格子格波的兩個頻率，故格波模式總數(shù)為2N。而2N是總原子的數(shù)目，即 晶格振動的模式數(shù)目等于原子自由度的總和。2.聲學(xué)波和光學(xué)波：當(dāng) q - 0 時，較低頻率的格波和波束可以化為：如一J(+憑)。% 一，一十(四十)2 (fli +fi) (m +Af)L 薪顯然這里Va是常數(shù)，而波束為常數(shù)是彈性波的特點，而長聲學(xué)波就是彈性波。故稱wA為聲學(xué)波。如圖：IE 3.4 一維雙原子晶格

18、的頻譜二維復(fù)式格子的格波的Wo波段的最低頻率都比 Wa最高頻率都要大，因為為這種格波一般工作在光波頻率范圍，因此稱為光學(xué)波。3 .兩種格波的振幅之比:對于聲學(xué)波：當(dāng) q-0 , Wa-0 ,即 B/A-1。對于光學(xué)波：B Bl +凡 fA仇+區(qū)當(dāng) q-0 , AM + Bm = 0 。4 .聲學(xué)波和光學(xué)波的物理意義：對于長聲學(xué)波，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運動，因此長聲學(xué)波代表了質(zhì)心的運動。對于長光學(xué)波， 原胞中不同的原子作相對振動，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，保持質(zhì)心不動。光學(xué)波對應(yīng)的是 原胞內(nèi)原子的相互作用，聲學(xué)波是原胞間作用。5 . 網(wǎng)上找的理解： 在長波極限下(q趨近

19、0):6 .(1)對于光學(xué)波 w+,有大小原子振幅比等于負(fù)的小大原子的質(zhì)量比(B/A=-m/M)即Am+BM=(W以光學(xué)波在長波極限下，描述的是原胞(大小原子)質(zhì)心不動，大小原子相對于質(zhì)心的振動，由于是負(fù)號，所以大小原子振幅方向相反，就像一個大人和一個小孩玩蹺蹺板一樣，你上我下，你下我上?！斑@就是你所問的描述的兩個原子的運動！ ！ ”7 .(2)對于聲學(xué)波 w-,有大小原子振幅比等于 +1,即振幅大小和方向都相同。所以大小原子可以看成是一個整體，就像一個大人抱著一個小孩一起掛在一根彈簧下，一起做上下振動。就是原胞的質(zhì)心在震動啦！“這就是你所問的一個原胞的振動，其實就是兩個原子振動方向大小相同，

20、看做是一個啦！c) 三維晶格振動：考慮由n種原子構(gòu)成的晶體，每一種原子的個數(shù)都為N1、N2、N3,則總數(shù)為N=N1N2N3那么波矢數(shù)也為 No而一個波矢 對應(yīng)的聲學(xué)波的數(shù)目為3,表示沿三個即基矢的方向的振動；光學(xué)波的數(shù)目為（3n-3）,表示n種原子之間的內(nèi)部的相互振動；那么總的波的模式數(shù)位：N*（3n-3） + N*3 = 3nN 。故證明下面兩個特點：特點（必背）：1.晶格的波矢數(shù)目等于原子總數(shù)N=N1N2N32.晶體的格波的模式數(shù)等于晶體中所有原子數(shù)的自由度之和3nNo簡正振動模式、簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目的關(guān)系：1 .簡正振動模式：為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析

21、討論晶格振動時，將原子間互作用力的泰勒級數(shù)中的非線形項忽略掉的近似稱為簡諧近似。在簡諧近似下，由N個原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個獨立的諧振子的振動。每個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式，它對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動，它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式。原子的振動，或者說格波振動通常是這3N個簡正振動模式的線形迭加。2 .簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目：簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目 是一回事，這個數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和，即等于3N。3 .晶格振動能與聲子： 頻率為wi的諧振子的振動能為：那么這些諧振子的能量的集合就是晶體的晶格振動

22、能。聲子：顯然晶格振動能是離散的， 分成每一份的。如果假設(shè)一種粒子, 它具有6箱的能量，那么可以把這種粒子作為研究晶格振動能的量子， 被稱為聲子，這是一種準(zhǔn)粒子。如果把仿照光子的定義，那么可以得出聲子的動量為Aq,稱為準(zhǔn)動量。但聲子是虛設(shè)的粒子，因此并沒有真正攜帶真實的動量，因此 聲子并沒有攜帶真實動量。4 .影響振動能高低的因素：a）聲子的數(shù)目多少；b）能量大的聲子數(shù)目多。5 .頻率為w的平均聲子數(shù)：1 J oh*/kpT _ 1因此，只有當(dāng)T 0 K時，才會出現(xiàn)聲子。當(dāng) T 0 K 時，kEI心）二7hwd）晶格振動譜的實驗測定方法：i. 光子散射；ii. 中子散射；e）長波近似：指q 0

23、時的近似方式。1. 長聲學(xué)波分析：1 .長聲學(xué)波：在長波近似的條件下，化作：儂（m + .W） （/il +用）振幅關(guān)系：A就最后得到帶入波動微分方程得到:ci tiBiB工d H , d a? +自）知一 to2其中：_ 麗“+佻）2.結(jié)論：微觀波動方程與宏觀彈性波方程具有相同的形式，也就是說 長聲學(xué)波就是彈性波。ii.長光學(xué)波分析：類比于極化波1 .長光學(xué)波的原因：由于正負(fù)離子相對振動而形成的，當(dāng)波長很長的時 候，兩截面之間相隔了很多原子平面，整個晶體被這些節(jié)面分割成很 多薄層，由于正負(fù)電子的位移方向相反，因此在每個薄層處出現(xiàn)極化 電池，整個晶體被分層極化，因此離子晶體中的長光學(xué)波可以看作

24、為 極化波。2 .長光學(xué)波的LST關(guān)系：a） 表述：Wlx. G二 wto e m：相對靜電介電常數(shù)。E E：高頻測得的相對介電常數(shù)。b）特征：i. 因為 m E如，故wLO wTQ即光學(xué)縱波頻率比光學(xué)橫 波頻率要高。這是由于離子的位移引起極化電場，電場的方 向是阻礙電子位移的，即宏觀電場對離子位移起到了一個排 斥力的作用，相當(dāng)于彈簧振子系統(tǒng)中彈簧變硬，有效的恢復(fù) 力系數(shù)變大，是縱波頻率升高。ii. 有一些晶體在某一溫度下，其介電常數(shù) J會突然變得很大，即,-8,即產(chǎn)生自發(fā)極化。由于e-8,但是實際上原子具有一定的質(zhì)量，因此 wLO不可能趨向無窮大，而E 又是 常數(shù)，因此只能 wTO-Q因為荊

25、x 0。那么 0 TO, 即恢復(fù)力系數(shù)消失，因此離子回不到原來的位置，到達(dá)新的 平衡位置，即晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生改變。在這個新的結(jié)構(gòu)中，正負(fù) 離子存在固定位移偶極矩，即產(chǎn)生自發(fā)極化。iii. 由于長光學(xué)橫波可以和電磁場耦合，因此把長光學(xué)波橫波聲子稱為電磁聲子。長光學(xué)波縱波聲子稱為 極化聲子。f) 晶格振動熱容理論:晶體比熱的實驗規(guī)則：1 .在高溫時，晶體的比熱為3N。，kB為玻爾茲曼常量，N為晶體原子個2 .在低溫時，晶體比熱按尸趨向零。ii. 絕緣體：跟溫度有關(guān)的內(nèi)能是 晶格振動能。金屬：與溫度有關(guān)的內(nèi)能有兩部分：1.晶格振動能；2.價電子熱動能iii. 定容熱容定義：CvET V E 為晶體平均內(nèi)

26、能。CVc；CvCva是晶格振動比熱，Cve是晶體電子比熱。一般情況下，晶格振動比熱遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電子比熱，因此只討論晶格振動比熱。iv. 愛因斯坦模型：1 .假設(shè)前提：晶體中所有原子都以相同的頻率做振動，即認(rèn)為3N個諧振子是全同的。2 .推導(dǎo)：由于每個聲子的能量為 hw, w頻率種類的n種，粒子數(shù)為3N, 那么晶體的晶格熱振動能為：代入:有:Cv - 3Nke-0F/T2_ e伍維7-1)其中愛因斯坦溫度 定義:因此愛因斯坦溫度反饋的是頻率的因子。E在100K300K的范圍。3 .高溫近似：有： T OeoCv = 3Nk&低溫近似：有：的“ 1。0V 二 3Nk） % 一 日M4 .低溫近似誤差

27、大的原因：在低溫時，低頻聲子居多，頻率低的振 動對熱容量貢獻(xiàn)更大，因此在低溫下，晶體的比熱主要由長聲學(xué) 波決定的。而愛因斯坦把所有的格波都視為高頻的光學(xué)波，自然 導(dǎo)致了在甚低溫時的愛因斯坦模型跟實驗誤差較大。v.德拜模型：1 .基本思想：晶體視為連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波。（長聲學(xué)波）， 并在甚低溫時忽略掉長光學(xué)波的貢獻(xiàn)。2 .模式密度：一支格波的模式密度為：VqQJ2也）二。3 3Vg為晶體的體積。對于彈性波，有三個格波，分別是一支縱波和兩支橫波，故總模式密度為:D(w)二3 .截止頻率慍（德拜頻率忡）：。N 、 惋” =（6,）Y4 .德拜溫度：D - k日濃度高的、聲速大的固體德拜溫度高；

28、一般在200K400K5 .高溫近似：Cv = 3Nkj低溫近似：6 .測量德拜溫度的方法有二：a）實驗確定聲速，由德拜頻率的計算公式和德拜溫度的定義確 定德拜溫度。b）測出材料的熱容量，由低溫近似的熱容量公式計算出德拜溫 度。7 .德拜模型的缺陷：a）忽略了各向異性。b）忽略了光學(xué)支的振動。第四章晶體電子能帶理論a)布洛赫波函數(shù)i. 布洛赫定理：1 .晶體中電子的波函數(shù)是按品格周期調(diào)幅的平面波。2 .它的數(shù)學(xué)形式是： i k r k r e Uk rUk r Uk rRn其中k是電子的波矢，R是電子的格矢。ii. 布洛赫定理的條件：1 .假設(shè)每個電子的運動看成獨立地在一個等效勢場中的運動。2

29、 .由于品格的周期性，因此晶體中的等效勢場V(r),滿足周期性的條件，即：V(R) = V( r + R )iii. 布洛赫定理的證明：1 .證明哈密頓函數(shù)也是周期性的，即：H(r) = H( r + R )2 .證明平移操作算符 T(R)f( r) = f( r+R)與 哈密頓算符H(r)是對易的。即：T(R)H(r)f( r) = H( r+R)f( r+R) = H( r)T( R)f( r)那么T(R)和H(r)具有共同的本征函數(shù)f(r)。3 .根據(jù)T和H的本征函數(shù)的特征，解出本質(zhì)值 人的表達(dá)式。最后有：k具有波矢的意義(參Wk(r + R)= elk Ripk(r)可以看出平面波函數(shù)

30、滿足上式，這里的考題)。k是倒格基矢構(gòu)成的波矢。4 .證明振幅的周期性：Wk(r): eik - ruk(r)由上式得到：Uk(r) = uk(r + R)iv. 簡約布里淵區(qū)：1 .證明和Wk + K()描述的是同一個電子態(tài)。即：2 .同一個電子態(tài)應(yīng)該具有同一個能量：即E(k) = E( k+K)故一個能量本征值E(k)對應(yīng)了無數(shù)個本征函數(shù)Wk/K(r),因此 把波矢的取值限制在一個倒格原胞區(qū)間內(nèi)，那么就稱這一個區(qū)域 稱為簡約布里淵區(qū)。3 . 一個波矢的體積為：b1 (b2Kb3)_ Q 1 _ Qn) 3故波矢密度為：p = VC / (2九)A3 ；由于每一個波矢占有的體積為 ：，但是由

31、于N數(shù)目很大，因此每一個波矢占有的體積很小，因此可以在簡約布里淵區(qū)看成 準(zhǔn)連 續(xù)。b)近自由電子近似：i. 把V(x)展開成傅立葉級數(shù)：丫二.”一*，由市場周期性條件V(x) = V(x+a),得到入n= yri,可以得到零級能量和零級波函數(shù)，ii. 特征：根據(jù)近自由電子近似得到的勢場表達(dá)式，當(dāng)k二nn /甘，散 射波很強(qiáng)，當(dāng)k遠(yuǎn)離nn / a時，散射波很弱，此時波函數(shù)主要由平 面波決定的，能量主要為0級能量，類似于自由電子。c） 一維品格的布拉格反射：i. 根據(jù)上節(jié)所說的k二nn / $發(fā)生激烈的散射，設(shè)k為前進(jìn)波，則-k為后退波，那么由于每個格點的 波程差相差為波長的整數(shù)倍，因 此各散射波

32、之間出現(xiàn)相干的現(xiàn)象，導(dǎo)致出現(xiàn)強(qiáng)烈的散射波。ii. 當(dāng)電子遭受最強(qiáng)的散射的時候，電子會出現(xiàn)兩個能態(tài)，兩個能級的差值為：& E = 2|Vn|iii. 禁帶寬度：由于這個能級導(dǎo)致的能量間隙稱。出現(xiàn)的地方為士處。iv. 一個能帶最多容納2N個電子；序號小的能態(tài)密度大，序號大的能態(tài) 密度最大。d）平面波方法：求解三維勢場i. 在布里淵區(qū)邊界的能態(tài)分布：（hk）2,E += * M（Kn）|2m（hk）2,E-=-|V（Kn）|2mA E = 2|V （Kn）|ii. 特點：當(dāng)電子波矢落在布里淵區(qū)邊界上時，電子將遭受與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族的強(qiáng)烈散射。e）布里淵區(qū)（畫圖）：1. 布里淵區(qū)分別有1 .最鄰近點（0,1）、（0,-