帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡欣賞

1、帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡 欣賞作者:日期:帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的軌跡欣賞1 .一朵梅花例1.如圖所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行 于軸線的四條狹縫a、b、c和d,外筒的外半徑為r,在圓筒之外的足夠大區(qū)域中 有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強(qiáng)度的大小為 B。在兩極間加上電壓，使兩 圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。 一質(zhì)量為m、帶電量為+ q的粒子，從緊 靠內(nèi)筒且正對狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運(yùn)動之 后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S,貝ffi電極之間的電壓 U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力， 置在真空中）X整個裝X解析:bXX如圖所示，設(shè)粒子進(jìn)入磁場區(qū)的速

2、度大小為V,根據(jù)動能定理,qU =設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R,由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有:=?Ra到d必經(jīng)過4圓周，所以由上面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從半徑R必定等于筒的外半徑r,即R=r .由以上各式解得2ni感受美：該粒子運(yùn)動的軌跡構(gòu)成了一朵“四只花辨”的鮮艷的油菜花 拓展1 :該圓筒上平行于軸線均勻分布的若是“六條 時，粒子經(jīng)過一段運(yùn)動后也能回到原出發(fā)點(diǎn)。X感受美：該運(yùn)動軌跡構(gòu)成了“六只花辨”的怒放的梅花拓展2 :f 22U虹2m該圓筒上平行于軸線均勻分布的若是2tan-nUXAKXAX耳KXK耳KH狹縫”，當(dāng)電壓只X XXXXrXAX A條狹縫”，qB2r26m當(dāng)電壓時，粒

3、子經(jīng)過一段運(yùn)動后也能回到原出發(fā)點(diǎn)，并且粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑 R r tan 感受美:粒子的運(yùn)動軌跡構(gòu)成了一朵“ n只花辨”盛開的鮮花。拓展3:若圓筒上只在a處有平行于軸線的狹縫，并且粒子與圓筒外壁發(fā)生了 次無能量損失和電量損失的碰撞后恰能回到原出發(fā)點(diǎn) 并且粒子運(yùn)動的半徑R r tann 1感受美：該運(yùn)動軌跡也構(gòu)成了一朵“n只花辨” 開的鮮花（右圖為五次碰撞的情形）。，則加速電壓- n2_2 2 2qB2r'tann 12mX2.座拱橋”例2 .如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面的勻強(qiáng)磁場， 在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E，質(zhì)量為 子從坐標(biāo)原點(diǎn)0沿著y軸正方向射出，射

4、出之后，第三次到達(dá)x軸時，它與0點(diǎn)的 距離為L求此時粒子射出時的速度和運(yùn)動的總路程（重力不計(jì)）磁感應(yīng)強(qiáng)度為m,電量為一q的粒B,解析：畫出粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，形成拱橋”圖形。R丄4由題知粒子軌道半徑所以由牛頓定律知粒子運(yùn)動速率為對粒子進(jìn)入電場后沿y軸負(fù)方向做減速運(yùn)動的最大路程 動能定理知：Xy丄-I所以粒子運(yùn)動的總路程為3、一個電風(fēng)扇例3、據(jù)有關(guān)資料介紹，受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)裝置中有極高的溫度，沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動將其束縛在某個區(qū)域 內(nèi)，現(xiàn)按下面的簡化條件來討論這個問題，如圖所示，有一個環(huán)形區(qū)域，其截面內(nèi)F2=1.0m，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，已知因而帶電

5、粒子將磁感應(yīng)強(qiáng)度B= 1. 0 T被束縛粒子的荷質(zhì)比為(1) 若中空區(qū)域中的帶電粒子沿環(huán)的半徑方向射入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度(2) 若中空區(qū)域中的帶電粒子以(1)中的最大速度V0.半徑方向射入磁場，求帶電粒子從進(jìn)入磁場開始到第一次 回到該點(diǎn)所需要的時間tV0沿圓環(huán)解析:設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的最大半徑為r,>-l軌跡如圖，由幾何關(guān)系得辰亍兮“S芒 貝J 耳=越！=匕l(fā)cT聽 ，& = aman寸=3/上口加=抄 故帶電粒子逬入磁場繞圓e轉(zhuǎn)過3600 (1800600)lxE15=240。又回到中空部分.粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，故粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一次回

6、到P點(diǎn)時F粒子在磁場中運(yùn)動時間r_ 亠 利 V,粒子在中空部分運(yùn)動時間為粒子運(yùn)動的總時間為*.24"耳-X：=上二S X ./人X/ X4、一朵葵花例4.據(jù)有關(guān)資料介紹，受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)裝置中有級高的溫度，因而帶電粒子 將沒有通常意義上的容器可裝，托卡馬克裝置是一種利用磁約束來實(shí)現(xiàn)受控核聚 變的環(huán)形容器，由磁場將高溫、高密等離子體約束在有限的范圍內(nèi) 簡化條件來討論這個問題，如圖所示,有一個環(huán)形區(qū)域，其截 面內(nèi)半徑為Ri = a,外半徑為R2= (V21 )a，環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂 直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁 感應(yīng)強(qiáng)度為Bo被磁場圍住的中心區(qū)域?yàn)榉磻?yīng)區(qū)， 反應(yīng)區(qū)內(nèi) 質(zhì)量為m,電量為q的帶電粒子

7、，若帶電粒子由反應(yīng)區(qū)沿 各個不同射入磁場區(qū)域，不計(jì)帶電粒子重力和運(yùn)動過程中的 相互作用，則;1、要求所有帶電粒子均不能穿過磁場外界，允許帶電粒子it，現(xiàn)按下面的如圖，由衛(wèi)yi每次進(jìn)入磁場轉(zhuǎn)過圓心角為戈2活。運(yùn)動時間為在反應(yīng)區(qū)內(nèi)運(yùn)動一次J =退=速度的最大值？m多大？2、若一帶電粒子以上述最大速度從邊界上某點(diǎn)沿圓環(huán)半徑方向垂直射入磁場, 求帶電粒子從進(jìn)入磁場開始到第一次回到出發(fā)點(diǎn)所用的時間t.解.(1由圓周切線方向進(jìn)入磁場的粒子最易穿越磁場. 臨界時有J -空寧 得十竿二型*(2)血$=二=£-1說1則 tan 20 二！仏10*密 1石(十 lb和忌時間為=站二舐二+ ='

8、Bff%5、一枚銅錢例5、如圖所示為圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里，邊 界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。 0點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各個方向射出速率均 為V的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半經(jīng)是圓形磁場區(qū)域半徑 的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為 m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力。1、推導(dǎo)帶電粒子在磁場空間作圓周運(yùn)動的軌道半徑 ；2、求帶電粒子通過磁場空間的最大偏角；3、沿磁場邊界放置絕緣彈性擋板，使粒子與擋板碰撞后以原速率彈回，且其電 荷量保持不變。若從0點(diǎn)沿X軸正方向射入磁場的粒子速度的已減小為v/ 2, 求該粒子第一次回到0點(diǎn)經(jīng)歷的時間。訂嚴(yán)f */ X X

9、' "XXX X I .X X X X ； '、嚴(yán)"解帶電粒子在磁場后，受洛侖磁力作 用，由牛頓第二定律得；Sgr = mrBq(2)設(shè)粒子飛出和進(jìn)入磁場的速度方向夾 角為則 血空=上X是粒子在磁場中軌 跡的兩端點(diǎn)的直ft距離，X最大值為2R O 對應(yīng)的就是的最大值。且2R=r所以八。/ I sill空豈=蘭=土免g = 60。2 r 2/ XjX XjX x oX X(3)當(dāng)粒子速度減小為匸 圓周運(yùn)動的半徑為丿 故粒子轉(zhuǎn)過四分之一圓 邊界相撞回，由對稱性知，粒子經(jīng)過四個這樣的 過程第一次回到0點(diǎn).亦即經(jīng)歷時間為一個周期 粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期/

10、= 所以從O點(diǎn)沿X軸正方向射出的 粒子第一次回到0點(diǎn)經(jīng)歷的時間 是 2也 其軌跡為一枚銅錢Bq時，粒子在磁場中作對應(yīng)圓心角為9(r時與Xy Bg6、一滴水珠例6如圖所示，真空中分布著有界的勻強(qiáng)電場 和兩個均垂直于紙面，但方向相反的勻強(qiáng)磁場，電 場的寬度為L,電場強(qiáng)度為E,磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度都 為B,且右邊磁場范圍足夠大.一帶正電粒子質(zhì)量 為m,電荷量為q，從A點(diǎn)由靜止釋放經(jīng)電場加速 后進(jìn)入磁場，穿過中間磁場進(jìn)入右邊磁場后能按某一路徑再返回A點(diǎn)而重復(fù)上述過程，不計(jì)粒子重力，i了求：(1) 粒子進(jìn)入磁場的速率V ;(2) 中間磁場的寬度d(3) 求粒子從A點(diǎn)出發(fā)到第一次回到 A點(diǎn)所經(jīng)歷的時間t。解(

11、1)由動能定理，有：盹二*川 得粒子進(jìn)入磁場的速度為"厚(2)粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓耶云動，半徑都是R,或加：:且:由幾何關(guān)系可知=302；喘則：中間磁場寬度N = Re3Q°=亠,J&nEgL在電場中，"仝簷=2倍在中間磁場中運(yùn)動時間 在右側(cè)磁場中運(yùn)動時間 則粒子第一次回到0點(diǎn)的所用時間為 叫_斗_5丿Ift:；7、一個美麗的吸頂燈罩例7.如圖所示，兩個同心圓是磁場的理想邊界，內(nèi)圓半徑為R,磁場方向垂直于紙面向里，內(nèi)外圓之間環(huán)形區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度為感應(yīng)強(qiáng)度為B/ 3。t=0時一個質(zhì)量為m,帶-q電量的離子(不計(jì)重力)，從內(nèi)圓上的 A點(diǎn)沿半徑方向飛進(jìn)環(huán)形磁場，

12、剛好沒有飛出磁場。(1)求離子速度大小(2 )離子自A點(diǎn)射出后在兩個磁場間不斷地飛進(jìn)飛出，從t=0開始經(jīng)過多長時間第一次回到A點(diǎn)？從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn),離子在內(nèi)圓磁場中運(yùn)動的時間共為多少？R外圓半徑為B,內(nèi)圓的磁由圖中幾何關(guān)系得：弟戲-尸1尸=川+時得：3扮小1r *r1J 1M*文、coS3X XXKX/a-廠廠-T、依題意在外磁場軌跡與外圓相切，如圖 由牛頓第二定律：m V 2r仁qv B2分岳BRV-由以上各式得：2分、離子從A出發(fā)經(jīng)C、D第一次回到A 軌跡如圖，在內(nèi)圓的磁場區(qū)域：mv2 /r 2 =qV B/3可得:匕讖卄血 /分 j1F 2冊"6麗=周期：由幾何

13、關(guān)系可知：分p =n /在外磁場區(qū)域的周期：由幾何關(guān)系可知：a =4n3/ * *1、 1離子-C十A的時間:心尹訐 * *2 、從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn),離子在內(nèi)圓磁場中共運(yùn)動6次，時間為t2: * 2得: *1XXKXXXX XXXXXXXM.例8、如圖所示，半徑分別為a b的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電場和 磁場，中心0處固定一個半徑很?。珊雎裕┑慕饘偾颍谛A空間內(nèi)存 在沿半徑向內(nèi)的輻向電場，小圓周與金屬球間電勢差為U,兩圓之 間的空間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，設(shè)有一個帶負(fù)電的粒子從金屬球表面沿+x軸方向以很小的初速度逸出，粒子質(zhì)量為m,電量為q,(不計(jì)粒 子重力，忽略

14、粒子初速度)求：(1) 粒子到達(dá)小圓周上時的速度為多大？(2) 粒子以(1)中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場中，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過某一臨界值時， 粒子將不能到達(dá)大圓周，求此最小值B。(3) 若磁感應(yīng)強(qiáng)度取(2)中最小值，且b=( + 1)a，要粒子恰好第一次沿逸出 方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過多少次回旋？并求粒子在磁場中運(yùn)動的 時間。(設(shè)粒子與金屬球正碰后電量不變且能以原速率原路返回)解；(1)粒子在電場中加速，根據(jù)動定律得：肚J加X厚rV群(2) 粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力周運(yùn)做勻速圓動，, 廠=般一 則有要使粒子不能到達(dá)大圓周，其量大的圓半徑為軌跡圓與 大圓周相切，如圖，則有護(hù)二了 =所以一

15、匚二聯(lián)立解得5二亠醫(yī)£亠-Q Y J'(3) 圖中taii0=二各T 即8=45°a jg則粒子在磁場中轉(zhuǎn)i±<p=270 ,然后沿半徑X ； 進(jìn)入電場減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場加 速原路返回磁場，如此重復(fù)恰好經(jīng)過4個回旋 后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn). 因?yàn)镴去粒子在磁場中運(yùn)動時間為8、一沿拋物線(或直線)上升的氣泡2mBoq(1) 1 s末粒子速度的大小和方向；(2) 1s2s內(nèi)，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑和周期； 畫出04 s內(nèi)粒子的運(yùn)動軌跡示意圖(要求：體現(xiàn)粒子運(yùn)動特點(diǎn)) (4 )(2n 1)s2ns(n =1,2 ,3, )

16、 n內(nèi)粒子運(yùn)動至最高點(diǎn)的位置坐標(biāo)。例9、如圖所示，在xoy的平面內(nèi)加有空間分布均勻、大小隨時間周期性變化的 電場和磁場，變化規(guī)律如乙圖所示(規(guī)定豎直向上為電場強(qiáng)度的正方向， 垂直紙 面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向)。在t=0時刻,質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒 子自坐標(biāo)原點(diǎn)0處以？o=2m/s的速度沿x軸正方向水平射出。已知電場強(qiáng)度， 磁感應(yīng)度 _2 m ，不計(jì)粒子重力。求：E0123456必Stt -«t0 12 34 56 穴S乙(1)在0Is內(nèi)，粒子在電場力作用下，帶電粒子在X 方向上做勻速運(yùn)動V, =voY方向做勻加速運(yùn)動計(jì)臥1S末粒子的速度b =占+；V'1與水平方向的

17、夾角偽則湎4二7代入數(shù)據(jù)解得Vj = 2j2tnfs a-45。(2) 在1525內(nèi)，粒子在磁場中做圓周羋動, 山牛頓第二定律"殲字得恥診m粒子做圓周運(yùn)動的周期仁簽w(3) 粒子運(yùn)動軌跡如圖所示(4分)亠;7莎；(4) (2n-l ) S末粒子的坐標(biāo)為x = vn = 2ftm2 W1 此時粒子的速度為甘H = J話+(屛Sbtan = = 三 a場 %帶電粒子在(2n-l)卜2ns5=123)內(nèi)做圓周運(yùn)動的軌跡如圖所示 半輕戌三坯三更i m 最高點(diǎn)G的位置坐標(biāo)為泄矢如34F = y + & (1+ 8洱=/ + 丄(+ 】+1)JT9、一幅窗簾或一塊磁磚例1 0、如圖所示：

18、由光滑絕緣壁圍成的正方形(邊長為a)勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感強(qiáng)度為B,質(zhì)量為m、電量為q的正粒子垂直于 磁場方向和邊界從下邊界正中央的 A孔射入該磁場中，粒子碰撞時 無能量和電量損失，不計(jì)粒子重力和碰撞時間，粒子運(yùn)動半徑小 于a,要使粒子仍能從A孔射出，求粒子的入射速度和粒子在磁場 中的運(yùn)動時間？解析；設(shè)粒子運(yùn)動半衿為R,則 運(yùn)動周期J著粒f能從A孔射岀，則粒子的運(yùn)動軌跡有兩種典型:C1)圖7所示情形 則丄=4商1-2.3L2J求得粒子的入射速度瓷 逼場中的運(yùn)動時間感受美：其粒子運(yùn)動的軌跡給成了一幅美麗的窗簾円10、一串“葡萄”例1 1如圖（甲）所示，兩塊水平放置的平行金屬板，板長L=1.4m,板距

19、d= 30 cm。 兩板間有B=1 .25T,垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場。 在兩板上加如圖（乙）所示的 脈沖電壓。在t=0時，質(zhì)量m =2X10 -1 5kg，電量為q=1 X 10-10（的正離子，以速 度為4X 1 3m/s從兩板中間水平射入。試求:粒子在板間做什么運(yùn)動？畫出其軌 跡。(z)X X XX1LilIhl<I*I（甲）01Z3 4 山八解析在第一個10%內(nèi)，電場，磁場同時存在，離子受電場力，洛侖茲力分別為F=flE=5 X 10-d做勻速圓周運(yùn)動，r=帀 ，不會碰板，時間T=泡 無電場時離子轉(zhuǎn)滿一角7 故軌跡如圖所示，形成'葡萄串”圖形7N,方向由左手定則知向上，粒

20、子做勻速直線運(yùn)動 位移s=yt=0.4m.第二加0七內(nèi)，只有磁場，離子 十一L=6-4X10-2m<44=1X10-S,即正巧在L易知以后重復(fù)上述運(yùn)動，11、一顆“心臟”例1 2如圖所示,以ab為分界面的兩個勻強(qiáng)磁場，方向均垂直于紙面向里，其磁感 應(yīng)強(qiáng)度B匸2 B2,現(xiàn)有一質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子，從O點(diǎn)沿圖示方向以速 度V進(jìn)入Bi中，經(jīng)過時間t=_粒子重新回到O點(diǎn)（重力不計(jì)）f.解析粒子重新回到0點(diǎn)時其運(yùn)動軌道如圖所示， 形成一”心臟"圖形.由圖可知，粒子在中運(yùn) 動時間 宀守 粒子在Bi中的運(yùn)動時間為-生=所以粒子運(yùn)動的總時間* 亠 B.q B.q B.q:-Jflxxx

21、x:xxxxXXXXXXH X X p 刁 X X X XXXXXXnBlbBg1 2、一只漂亮的蝴蝶例13如圖(a)所示，在xOy平面上-H<y< H的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子, 從x軸的負(fù)半軸的遠(yuǎn)處以相同的速率V 0沿x軸正向平行地向y軸射來.試設(shè)計(jì) 一個磁場區(qū)域，使得(1)所有電子都能在磁場力作用下通過原點(diǎn) O;(2)這一片電子最后擴(kuò)展到-2H<y <2H范圍內(nèi),繼續(xù)沿x軸正向平行地以相同 e、質(zhì)量為m，不考慮電子間的相互的速率V0向遠(yuǎn)處射出.已知電子的電量為作用.一g-陽 3甘<a)(bj>113'專%X1;1Zps刖磁場方向=垂直紙面向里垂直紙面向夕I孽，賞心磁松耒小:IB2=mv/eH B4=mv/2eH |悅目！1!1HI1 3、一個古樸的窗口L,D到豎直面MN的距離DQ為L/n。設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度 0 m/s2)例14、