利用曲面積分和體積分計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ppt課件

1、利用曲面積分和利用曲面積分和體積分計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)體積分計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量均勻圓盤轉(zhuǎn)軸垂直盤面過(guò)圓心均勻圓盤轉(zhuǎn)軸垂直盤面過(guò)圓心2dJr dm=dmdSs=dSrddr=22rdSr dr rdss=兩邊進(jìn)展積分兩邊進(jìn)展積分22300RSrdSr drdpss=蝌蝌4411242JRRspps=鬃=2mRsp=Q212Jm R=均勻圓環(huán)均勻圓環(huán)(轉(zhuǎn)軸垂直環(huán)面過(guò)圓心轉(zhuǎn)軸垂直環(huán)面過(guò)圓心)2dJr dm=dmdSs=dSrddr=22rdSr dr rdss=兩邊進(jìn)展積分兩邊進(jìn)展積分212230RRSrdSr drdpss=蝌蝌44211() 24JRRsp=-222221121()()2JRRRRsp=-+2

2、221()mRRsp=-Q22121()2Jm RR=+可以看到：可以看到：均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與均勻圓環(huán)的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與均勻圓環(huán)的不同之處僅僅在于積分上下限的不不同之處僅僅在于積分上下限的不同同均勻圓盤直徑為轉(zhuǎn)軸均勻圓盤直徑為轉(zhuǎn)軸2dJr dm=dmdSs=si nrR=dSR ddR=222si nrdSRR ddRss=鬃232si nrdSR dRdss= 兩邊進(jìn)展積分兩邊進(jìn)展積分223200si nRSrdSR dRdpss=蝌蝌 224011cos242SrdSRdpss-=蝌2240011(cos22 )82JRddpps=-蝌4221144JRRRspsp=鬃2mRsp=Q

3、214Jm R=均勻圓環(huán)直徑為轉(zhuǎn)軸均勻圓環(huán)直徑為轉(zhuǎn)軸2dJr dm=dmdSs=si nrR=dSR ddR=222si nrdSRR ddRss=鬃232si nrdSR dRdss= 兩邊進(jìn)展積分兩邊進(jìn)展積分2122320si nRRSrdSR dRdpss=蝌蝌 24421011cos2()42JRRdps-=-2442101()(8JRRdps=-201cos22 )2dp-44211()4JRRsp=-222221121()()4JRRRRsp=-+2221()mRRsp=-Q22121()4Jm RR=+均勻薄球殼曲面積分均勻薄球殼曲面積分22dJr dmrdSs=si nrR=d

4、SrdR d=222si nsi nr dSRRdR d=鬃 224300si nSrdSRddppss=蝌蝌 4202si n( cos )JRdpsp=鬃-4202(cos) cosJRdpps= 兩邊進(jìn)展積分兩邊進(jìn)展積分4202coscosJRdpps=0cos dp-412 ( 11)( 11)3JRps=- -483JRps=24mRsp=Q22222433JRRm Rsp=鬃由于質(zhì)量的面密度由于質(zhì)量的面密度僅僅在薄球殼僅僅在薄球殼時(shí)才有意義，所以對(duì)于厚球殼不能時(shí)才有意義，所以對(duì)于厚球殼不能用上面的方法進(jìn)展計(jì)算。用上面的方法進(jìn)展計(jì)算。均勻球體體積分均勻球體體積分 對(duì)于均勻球體，我們有

5、兩種取微元的方法： 一、把球體沿垂直直徑的方向切成薄片，再將薄片沿徑向和橫向切分為微小質(zhì)量元。dVrddr dhj=鬃:r薄板上質(zhì)量元的徑矢長(zhǎng)度:dj質(zhì)量元在薄板上的橫向角度微元:dr質(zhì)量元占據(jù)的徑矢長(zhǎng)度微元:dh質(zhì)量元所在薄板的厚度2dJr dm=dmdVr=dVrddr dhj=鬃22rdVrrddr dhrrj=鬃兩邊進(jìn)展積分兩邊進(jìn)展積分22300RrRVr dVr dr dhdprrj-=鬃蝌蝌蝌30rr dr是一個(gè)積分上限函數(shù)24124RRVrdVr dhrrp-=蝌蝌22rRh=-Q222 21()2RRVrdVRhdhrpr-=-蝌蝌42241(2)2RRRRRRJR dhR h

6、 dhh dhpr-=-+蝌555142(2)235JRRRpr=-+5328241553JRRRprrp=鬃343mRrp=Q225Jm R=第一種方法的本質(zhì)是在柱坐標(biāo)系下對(duì)球體求體積分二、把球體剝離成為一層一層的薄球殼，再把球殼沿緯線平面平面和經(jīng)線面切分為質(zhì)量微元。dVrdR ddRj=鬃:r質(zhì)量微元到轉(zhuǎn)軸的徑矢長(zhǎng)度:d質(zhì)量微元沿緯度平面占據(jù)的微小角度:R質(zhì)量微元到球心的徑矢長(zhǎng)度:dj質(zhì)量微元在經(jīng)度平面上占據(jù)的微小角度:dR質(zhì)量微元在到球心的徑矢方向占據(jù)的微小角度2dJr dm=dmdVr=dVrdR ddRj=鬃222si nsi nr dVRRdR ddR=鬃 si nrR=兩邊進(jìn)展積

7、分兩邊進(jìn)展積分2234000si nRVrdVddR dRpprr=鬃蝌蝌蝌 52012si n( cos )5JRdprp=鬃5202(cos) cos5JRdprp= 52002(coscoscos )5JRddpprp=蝌 521 ( 11)( 11)53JRrp=- -5328241553JRRRrprp=鬃343mRrp=Q225Jm R=第二種方法的本質(zhì)是在球坐標(biāo)系下對(duì)球體求體積分。另外，我們還可以在笛卡爾坐標(biāo)系下求體積分，但是在笛卡爾坐標(biāo)系下對(duì)球體求體積分計(jì)算非常費(fèi)事。例如以z軸為轉(zhuǎn)軸dVdx dy dz=鬃222()r dmxy dx dy dzr=+鬃對(duì)于均勻的厚球殼，我們也

8、可以采取類似第二對(duì)于均勻的厚球殼，我們也可以采取類似第二種求均勻球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。兩者的不同之種求均勻球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。兩者的不同之處僅僅在于積分上下限的選取。處僅僅在于積分上下限的選取。可以看到體積分轉(zhuǎn)化為三重積分后的方式非常復(fù)雜，難以計(jì)算。22222222222RRzRyzRRzRyzVr dm-=蝌蝌蝌22()xy dx dy dzr+鬃2dJr dm=dmdVr=dVrdR ddRj=鬃222si nsi nr dVRRdR ddR=鬃 si nrR=兩邊進(jìn)展積分兩邊進(jìn)展積分21223400si nRRVrdVddR dRpprr=鬃蝌蝌蝌 55221012()si n( cos )5JRRdprp=鬃-5522102()(cos) cos5JRRdprp=- 5522102()coscos5JRRdprp=-（0cos )dp-552121() ( 11)( 11)53JRRrp=- -55218()15JRRrp=-33213=4 ()mmVRRrp=-5521332183()15 4 ()mJRRRRpp=鬃-552133212 ()5()m RRJRR-=-55213321()()RRRR-至于等式中等于什么，鄙人也不知道。這玩意誰(shuí)會(huì)誰(shuí)去弄吧但是我們可以用求極限的方法得到薄球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式。553302 ()l i m5 ()RmRRRRRR+-