全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總

1、全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)角平分 線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看 線段垂直平分 線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)線段和差不等式，移 到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線三角形中有中線，延長(zhǎng)中線 等中線。、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平 分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一

2、般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考 慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1，/ AOCh BOC如取OE=OF并連 接DE DF,則有 OEDAA OFD從而為我們證明線 段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 .如圖12，AB/CD，BE平分/ BCD CE 平分/ BCD點(diǎn)E在AD上,求證：BC=AB+CD例 2.已知：如圖 1-3，AB=2ACZ BAD=/ CAD DA=DB 求證 DC! AC例3

3、.已知：如圖14，在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還 要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分 問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短 的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？練習(xí)1. 已知在 ABC中，AD平分/ BAC / B=2/C,求證：AB+BD=AC2. 已知：在A ABC 中，/ CAB=/ B，AE 平分/ CAB 交 BC 于 E、 AB=2AC求證：AE=2CE3. 已知：在A ABC中，AB>AC,A為/ BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)求證：BM-CM>

4、AB-AC4.已知：D是A ABC的/BAC勺外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DBDC 求證：BD+CD>AB+AC（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。圖2-1例 1 .如圖 2-1，已知 AB>AD, Z BACM FAC,CD=BC 求證：/ ADCZ B=180分析：可由C向Z BAD的兩邊作垂線。近而證Z ADC與 Z B之和為平角。例J2 .如圖 2-2，ABC 中，Z A=90 , AB=ACZ ABDZ CBD求證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作DEL BC于E,則AD=DE=CE則構(gòu)造

5、出 全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題， 中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3.已知如圖2-3， ABC的角平分線BM CN相交于點(diǎn) P。求證：Z BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。分析：連接AP,證AP平分Z BAC即可，也就是證P到ABAC的距離相等。練習(xí)：1 .如圖 24 Z AOPZ BOP=15，PC/OA PDLO女口果 PC=4 貝 U PD=()A4B3C2 D12.已知在Za ABC 中、/ C=90 , AD 平分/ CAB CD=1 .5,DB=25求 AC。3.已知：如圖 2-5, / BACK CAD,AB>AP np+ar1AE=2 （AB+AD .求證：/

6、 D+Z B=180。4. 已知：如圖26,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn),F為BCB圖2-5上的點(diǎn)，Z FAEZ DAE 求證：AF=AD+CF5. 已知：如圖 2-7，在 RtA ABC 中，Z ACB=90 ,CD ± AB,垂足為 D, A圖2-7E平分Z CAB交CD于F,過(guò)F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH圖3-2（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形， 垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質(zhì)與等腰三 角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分

7、線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相 交）。例 1 .已知：如圖 3-1 , Z BADZ DAC AB>AC,Ct!AD 于 D, H 是 BC 中點(diǎn)。1求證：DHh （AB-AC2分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問(wèn)題可證例 2 .已知：如圖 3-2 , AB=ACZ BAC=90 , AD 為 Z ABC的平分線，CE! BE.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3 .已知：如圖3-3在A ABC中，AD AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線，過(guò)n 圖 3-3 JL AF,從頂點(diǎn)B作

8、BFAD交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M>求證：AM二ME分析：由AD AE是/ BAC內(nèi)外角平分線，可得EA F.而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 .已知：如圖3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD1延長(zhǎng)線于M求證：AM= (AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作a AB1D關(guān)于AD的對(duì)稱 AED然后只需證DM=EC另外人由求證的結(jié)果AMI= (AB+AC，即2AM=AB+AC也可嘗試作 ACM關(guān)于CM的對(duì)稱 FCM然后只需證DF=CF即可練習(xí)：BAC的平分1. 已知：在AABC中，AB=5

9、AC=3D是BC中點(diǎn)，AE是/線，且CELAE于E,連接DE,求DE2. 已知BE、BF分別是 ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFLBF1于F, AE1 BE于E,連接EF分別交AB AC于M N,求證MN= BC（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而 也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1例 4 如圖 , AB>AC, / 仁/2,求證：AB- AC>BDCD例 5 如圖，BC>BA BD 平分/ ABC 且

10、AD=CD 求證：/ A+Z C=18Q如圖,AB/ CD AE DE 分別平分 Z BAD 各 Z ADE 求證：AD=AB+GDDC練習(xí)：1 .已知，如圖，/ C=2/A, AC=2BC求證： ABC是直角三角形2 .已知：如圖 , AB=2AC/ 仁/2, DA=DB 求證：DCLAC3 .已知CE人。是A ABC的角平分線，/ B=60。,求證：AC=AE+CD4 .已知：如圖在 ABC中，/ A=90。，AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證:BC=AB+AD由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段

11、之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1'截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于 另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段 等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三 邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可 連接兩 點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三 角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖: D、EABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊

12、延長(zhǎng)分別交AB AC于M N,在A AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE；在Za BDM 中，MB+MD>B (2)在Za CEN 中，CN+NE>CE ( 3)由(1) + ( 2) + ( 3)得:MzCDE NAM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G在Za ABF和 GFCffiA GDE 中有：AB+AF>BD+DG+G三角形兩邊之和大于第三邊）D E圖1 2(1)GF+FOGE+CW 上)(2)DG+GE>D0 同上)(3)由(

13、1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+>EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角 形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定 理：例J如：如圖2-1 :已知D ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDC> / BAC。分析：因?yàn)? BDC與/ BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位 置；證法一：延長(zhǎng)B

14、D交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDC®八EDC勺外角， / BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC BDC2 BAC證法二：連接AD并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/ 8口5是4 ABD的夕卜角，/ BDF2 BAD 同理，/ CDF* CAD BDF+/ CDF* BAD* CAD 即：/ BDC* BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角 位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,B D圖3 1如：例如：如圖3-1 ：已知AD ABC的中線，且*仁* 2* 3= * 4,求證：B

15、E+CF>EF。分析要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定 理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知* 1二* 2，/ 3=Z 4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN, FN，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC在A DBE?3NDE 中：DN=D （輔助線作法）“/仁/2 （已知）- ED=E （公共邊） DBEAA NDE （ SASBE=NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在么EFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CF>EF注意：當(dāng)證題有

16、角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 :在 ABC中,AB>AC/仁/ 2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC分析:要證:AB-AOPB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 AB-AC，故可 在AB上截取AN等于AC，得ABAC=BN再連接PN貝U PC=PN又在 PNB中, PB-PNvBN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在AAPN和/1APC中A

17、N=AC （輔助線作法）/仁Z2 （已知）AP=AP （公共邊）ZAPN幻APC （SAS），/PC=PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）T在ZBPN中，有PB-PNvBN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PCvAB-AC證明：（補(bǔ)短法）犬、延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM,C在 MBP 和/AMP 中B無(wú)二6 1 MF AB=AM （輔助線作法）/仁Z2 （已知）AP=AP （公共邊）z.zABPAzAMP （SAS）-PB二PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又 . 在ZPCM中有：CM>PM-PC （三角形兩邊之差小于第三邊）AB-AOPB-PC。例J1 如AC平分 / BAD CEL

18、AR 且/B+/D=180 ,求證：AE=AD+BE求證：/ ADC# B=18G0例I 2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/ BAD, CE±AB于E,例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC A=108, BD平分ABC求證：BC=AB+DC例4如圖，已知RtA ABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分線，DMLAB1于 M,且 AM=MB 求證：CD=2 DB【夯實(shí)基礎(chǔ)】例J ： ABC中，AD是BAC的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作DE_LAB于E，作DF_LAC于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長(zhǎng)中線AD【方法精講

19、】常用輔助線添加方法一一倍長(zhǎng)中線方式1:延長(zhǎng)AD到E, 使 DE=AD , 連接BE方式2:間接倍長(zhǎng)【經(jīng)典例題】E彳乍CFJ_AD于F, 作BE1AD的延K線于連接BE延長(zhǎng) MCgiJ N, 使 DN=MD 連接CDN例1 ： A ABC中, AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長(zhǎng)中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊DE交BC于F,且例2：已知在 ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DF=EF，求證：BD=CE方法1：過(guò)D作DG/ AE交BC于G,證明 DG1A CEF方法2：過(guò)E作EG/ AB交BC的延長(zhǎng)線于G,證明AEFG”i方法3：過(guò)D作DG_L

20、BC于G,過(guò)E作EFUBC的延長(zhǎng)線于H證明 A BDGAA ECH例3 :已知在a ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC 于 F,求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng)AD至G,連接BG,證明ABDGACDA三角形BEG是等腰三角形例4 ：已知：如圖，在 ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC過(guò)D作DF BA 交 AE 于點(diǎn) F, DF=AC.求證：AE平分BAC提示：方法1:倍長(zhǎng)AE至G,連結(jié)DG方法2：倍長(zhǎng)FE至H，連結(jié)CH例 5：已知 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是A ABD 的 中線，求證：/ C= / BAE提示：倍長(zhǎng)A

21、E至F,連結(jié)DF證明 A ABEAA FDE( SAS 進(jìn)而證明 A ADFAA ADC(SAS【融會(huì)貫通】1在四邊形ABCD中，AB DC, E為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE= / EAF , AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)AE、DF交于G證明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FC2、如圖, AD為ABC的中線，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.求第14題圖證：BECFEF提示：方法1在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG證明 BDEAA GDE DCFAA DGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三

22、角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長(zhǎng)ED至H，連結(jié)CH、FH證明 FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖， ABC中， C=90 , CM AB于M , AT平分BAC交CM于D,交BC于T,過(guò)D作DE/AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過(guò)T作TN_LAB于N證明 A BTNAA ECD1 .如圖，AB/ CD AE DE 分另lj平分/ BAD 各 Z ADE 求證：AD=AB+GD2 .如圖， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是過(guò)A的一條直線，且B, C在AE的異側(cè)，BD1 AE 于 D, CELAE 于 E。求證：BD=DE+CE四、由中點(diǎn)想

23、到的輔助線口訣:三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角 形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三 角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形±即如圖1，人口是 ABC的中線，貝U Saabd=sace=j Saabc （因?yàn)?ABD與 ACD是等底同高的）例1 .如圖2, A ABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD至（JE,使DE=ADDF是ADCE的中線。已知A ABC的面積為2,求：A CDF的面積。

24、解：因?yàn)锳D是A ABC的中線，所以saac= Saab=, X 2=1，又因CD是 A AC E的中線，故 Sacd=Saac=1 1因DF是A CDE的中線，所以sacdeSacde=X仁.。（二八由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2 如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD E、F分另（J是BCAD的中點(diǎn)，BACD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G耳求證：/ BGEM CHE證明：連結(jié)BD并取BD的中點(diǎn)為M連結(jié)ME MF ME是 BCD勺中位線， ME CD / MEFM CHE MF是 ABD的中位線， MF AB / MFEM BGE AB=CD 二 ME=MF / MEFM MFE從而/ B

25、GEM CHE圖3（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3 .圖4，已知 ABC中，AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) AD 至 U E,使 DE=AD 貝 U AE=2AD=£2=4。在 ACD和 EBD中， AD=EDZ ADCM EDB CD=BD ACDAA EBD 二 AC=BE從而 BE=AC=3在 A ABE 中，因 AW+BE=42+32=25=AB，故/ E=90。， BDJr ； J =廠=.，故 BC=2BD=2 j °例4.如圖5,已知 ABC中，AD是/BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證： ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)

26、AD至（E,使DE=AD仿例3可證： BEDAA CAD故 EB=ACZ E=Z2,又/仁/2, 7 仁/ E,AB=EB從而AB=AC即口 A ABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,已知梯形ABCD中，AB/DC, ACJLBC, ADLBD,求證：AC=BD證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE CE貝U DE CE分別為Rt A ABD Rt A ABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB,因此/ CDEM DCE AB/DC , / CDEM 1,/DCEN2,/仁/2 ,在A ADE和A BCE中， vDE=CE/1=Z2, AE=BE-A ADEA BCE二AD=

27、BC從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7, A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90, BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE證明：延長(zhǎng)BA CE交于點(diǎn)F,在A BEF和A BEC中，v/ 仁/ 2 , BE=BE / BEF=/ BEC=90 , A BEFAA BEC EF=EC 從而 CF=2CE又/ 1+/ F=/ 3+/ F=90。,故/ 1 = / 3。在 ABDDA ACF 中，I / 仁/ 3, AB=AC / BAD2 CAF=90 , ABDAA AC

28、F 二 BD=CF 二 BD=2CE注：此例中BE是等腰/A BCF的底邊CF的中線。（六）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形例一：如圖4-1 ：BE+CF>ABC的中線，且/ 1 = / 2，/ 3=/4，求證:EF。證明：廷長(zhǎng)ED至M使DM=D，連接CM MR在ABDEffiACDM 中，<BD=C （中點(diǎn)定義）“ /仁/5 （對(duì)頂角相等）fED=M （輔助線作法） BDEAA CDM （ SAS又 / 仁/ 2 5 / 3=/ 4 （已知）/ 1 + / 2+/ 3+/ 4=180&#

29、176; （平角的定義）即：/ EDF=90/FDM/ EDF=90在A EDFmMDF 中ED=M （輔助線作法）/ EDF/ FDM （已證）"DF=DF （公共邊）A EDFAA MDF （ SAS EF=MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在 CMF中，CF+CM>Mf三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全 等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1 :ABC的中線，求證：AB+AC>2AD分析：要證 AB+AC>2AD 由圖想至1J ： AB+BD

30、>AD,AC+CD>A®以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2A左邊比要證結(jié)論多BD+CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD連接BE,CEABC的中線（已知） BD=C （中線定義）在A ACDfAA EBD 中BD=C （已證）/仁/2 （對(duì)頂角相等）AD=ED輔助線作法） ACDAA EBD （ SASBE=CA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）一在 ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AO2AD練習(xí)：1如圖，AB=6 AC=8 D為BC的中

31、點(diǎn)，求AD的取值范圍2 如圖，AB=CD E 為 BC 的中點(diǎn)，/ BACK BCA 求證：AD=2AEEC3 如圖，AB=ACAD=AEM 為 BE 中點(diǎn)，/ BACK DAE=90。求證：AML DC4,已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD5.已知:如圖AD為ABQ3勺中線，AE呻求證:BF=ACBDC1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折” 2）遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：B D三角形，利用的思

32、維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的 思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理 或逆定理.4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等， 或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明 這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn) 的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答.（一

33、）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3貝忡線AD的取值范圍是B D C2：如圖， ABC中，E、F分別在ABAC上，DEIDF, D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/ BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以ABC的兩邊AB AC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰RtACE，BAD CAE 90,連接DE, M N分別是BG DE的中點(diǎn)探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是?線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是（2）將圖中的等

34、腰Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（OvV90）后,如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理山.（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1 .如圖，ABC 中，AB=2AC AD 平分 BAG，且 AD=BD 求證：CDLACAD2：如圖，AC/ BD, EA,EB 分另tj平分/ CAB,/ DBA CD 過(guò)點(diǎn) E,求證;AB= AC+BD3：如圖,已知在VABC內(nèi),BAC 60Cc分別在BC CA上，并且AP, BQ分別是BAC , ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC> BA,AD=CD, BD平分ABC，求證:AC 180。5:如圖在 ABC

35、中,ABAC, / 1=Z 2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-AC> PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）如圖在四邊形/中49宗成莊是仍上一個(gè)翻點(diǎn)仝筒鐵卜處打配的關(guān)系井;夬明你的結(jié)誑,I.)解:例題講解:一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形如圖中，若/ ABC=2/ C,如果作BD平分/ ABC，則 DBC是等腰三角形；如圖中，若/ ABC=2 / C,如果延長(zhǎng)線CB到D，使BD二BA，連結(jié)AD，則 ADC是等腰 三角形；如圖中，若/ B=2/ ACB，如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作/ ACD=Z

36、 ACB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則 DBC是等腰三角形1 如圖， ABC 中，AB = AC, BD_LAC 交 AC 于 D.求證：/2、如圖 , ABC 中，/ ACB = 2/ B, BC = 2AC.求證：/ A = 90、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形如圖中，若AD平分/ BAG , AD/ ECJIJA ACE是等腰三角形；如圖中,如圖S彈分/如圖中DE/則/ ADE是等腰三角形;AD平分/， CE AC,則/ ACE是等腰三角形; 啜出，EF AD,則AAGE是等腰三角形，AB,D F3、如圖，/ ABC中，A

37、B=AC,在AC上取點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作EF_LBC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,垂足為點(diǎn)F.求證：.AE=AP.4、如圖，/ ABC中, 求證：EF / AB.AD 平分/ BAG, E、F 分另在 BD、AD 上，且 DE = CD,B F ,三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形若AD 平分/ BAG , AD±DC，則 AEC是等腰三角形D圖1BD交BF的延長(zhǎng)線5、如圖 2,已知等腰 RtA ABC 中 , AB= AC,/ BAG = 90 ° BF 平分/ ABC , CD ±E于 D。求證：BF =

38、 2CD.四：其他方法總結(jié)1截長(zhǎng)補(bǔ)短法6、如圖，已知：正方形ABCD中，/ BAC的平分線交BC于E,求證： AB+BE=AC .2倍長(zhǎng)中線法題中條件若有中線，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。7、如圖(7) AD是A ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF .求證：AC=BF8、已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰且角三角 形，如圖，求證EF=2ADb3 .平行線法(或平移法)若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt ，有時(shí)可作出斜邊的中線.9、A ABC 中，/ BAC=60。，/ C=400 AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q, 求證：AB+BP=BQ+AQ .P說(shuō)明：本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD ,構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”.A圖本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：如圖（1），過(guò)。作OD/ BC交AC于D，則 ADO。/ABO來(lái)解決.A如圖(2),過(guò)。作DE/ BC交AB于D，交AC于E,則A ADO ©A AQO , ABO AEO 來(lái)解決. 如圖（3）,過(guò)P作PD/ BQ交AB的延長(zhǎng)線于口，則4 APDAPC來(lái)解決. 如圖（4）,過(guò)P作PD / BQ交AC于D，則a A