數(shù)學(xué)物理方程 第一章典型方程和定解條件

1、精選ppt數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系數(shù)理不分家數(shù)理不分家 數(shù)學(xué)物理方程：數(shù)學(xué)物理方程：數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門分支學(xué)科中出現(xiàn)的一些偏微分方程分支學(xué)科中出現(xiàn)的一些偏微分方程(有時也包括積分方程、微分方程等有時也包括積分方程、微分方程等)，它們反映了物理量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)它們反映了物理量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。例如聲學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等等之間的制約關(guān)系。例如聲學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等等方面的基本方

2、程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的研究對象。方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的研究對象。用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象 特殊函數(shù)特殊函數(shù)在求解某些類型的數(shù)理方程時，采用分離變量法所得到的方程的解在求解某些類型的數(shù)理方程時，采用分離變量法所得到的方程的解是某種特殊函數(shù)，例如貝塞爾是某種特殊函數(shù)，例如貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德函數(shù)、勒讓德(Legendre)函函數(shù)等。其中有些特殊函數(shù)我們在數(shù)等。其中有些特殊函數(shù)我們在“微積分微積分”課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)并且研究課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)并且研究過其性質(zhì)。在本課程中，我們只討論它們在數(shù)理方程中的應(yīng)用問題。過其性質(zhì)。在本課程中，我們只討論它們在

3、數(shù)理方程中的應(yīng)用問題。精選ppt 課程的內(nèi)容：課程的內(nèi)容：三類方程、 四種求解方法、 二個特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動方程、熱傳導(dǎo)傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 參考書目：參考書目：*數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼著，人民教育出版社，梁昆淼著，人民教育出版社*數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，邵惠民著，科學(xué)出版社，邵惠民著，科學(xué)出版社*數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程, 戴嘉尊著，東南大學(xué)出版社戴嘉尊著，東南大學(xué)出版社精選ppt數(shù)學(xué)物理方程發(fā)展歷史簡介數(shù)學(xué)物理方程發(fā)展歷史簡介偏微分方程誕生于偏微分方程誕生于18世紀(jì)，世紀(jì)，19、20世紀(jì)是其迅速發(fā)展時期世紀(jì)是其迅速發(fā)展時期

4、： 17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后，人們開始把力學(xué)中的一些問題和規(guī)律世紀(jì)微積分產(chǎn)生后，人們開始把力學(xué)中的一些問題和規(guī)律歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。1747年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家達(dá)朗貝爾將弦振動問題歸結(jié)為如下形式的偏微分方程并探討了達(dá)朗貝爾將弦振動問題歸結(jié)為如下形式的偏微分方程并探討了它的解法：它的解法：22222( , )( , )u x tu x tatx( ( 弦振動弦振動方程方程 ) ( ( 波動波動方程方程 ) 1752年歐拉在論文中首先出現(xiàn)位勢方程，后來因?yàn)槔绽隁W拉在論文中首先出現(xiàn)位勢方程，后來因?yàn)槔绽顾?Laplace)的出色工作，稱

5、為的出色工作，稱為Laplace方程：方程：2222220uuuxyz( Laplace( Laplace方程方程 )( ( 位勢（位勢（Possion）方程）方程 )精選ppt 19世紀(jì)打開偏微分方程研究熱烈局面的第一人是傅立葉世紀(jì)打開偏微分方程研究熱烈局面的第一人是傅立葉(Fourier)，當(dāng)時工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要，當(dāng)時工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要確定物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度如何隨時間變化。確定物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度如何隨時間變化。Fourier對這種對這種熱流動問題頗感興趣，熱流動問題頗感興趣，1807年向巴黎科學(xué)院提交用數(shù)學(xué)研究年向巴黎科學(xué)院提交用數(shù)學(xué)研究熱傳導(dǎo)的論文

6、并創(chuàng)立了分離變量法：熱傳導(dǎo)的論文并創(chuàng)立了分離變量法：222( , )( , )u x tu x tatx( ( 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程方程 )精選ppt一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)定解條件的推導(dǎo)二、二、 定解條件的推導(dǎo)定解條件的推導(dǎo)三、三、 定解問題的概念定解問題的概念精選ppt一、一、 基本方程的建立基本方程的建立例例1、均勻弦的微小橫振動、均勻弦的微小橫振動假設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線方向拉緊，只受弦假設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線方向拉緊，只受弦本身的張力和重力影響。如下圖所示，我們研究弦作微小橫向本身的張力和重

7、力影響。如下圖所示，我們研究弦作微小橫向運(yùn)動時，弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律運(yùn)動時，弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。精選ppt簡化假設(shè)： gds M M ds x T u xdx x T (1)柔軟：弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向；柔軟：弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向； 細(xì)：與張力相比可略去重力細(xì)：與張力相比可略去重力,弦的截面直徑與長度相比可忽略，弦視為曲線弦的截面直徑與長度相比可忽略，弦視為曲線 均勻：質(zhì)量是均勻的，線密度為常數(shù)。均勻：質(zhì)量是均勻的，線密度為常數(shù)。 (2)橫振動：振動發(fā)生在同一平面內(nèi)。若弦的平衡位置為橫振動：振動發(fā)生在同一平面內(nèi)。若弦的平衡位置為x軸，橫向是指軸，橫向是指 弦上各點(diǎn)在同一

8、平面內(nèi)垂直于弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于x軸的方向運(yùn)動；軸的方向運(yùn)動； 微?。何⑿。?振幅極小，振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。張力與水平方向的夾角很小。精選ppt24cos112!4!cos1 gds M M ds x T u xdx x T 牛頓運(yùn)動定律：sinsinTTgdsma橫向：coscos0TT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：則TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx精選ppt(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu

9、x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：精選ppt2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx 一維波動方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：（弦振動方程）（弦振動方程）精選ppt Fds M M ds x T u xdx x T ( , ),

10、F x t如果弦在振動方向上還受一外力作用，設(shè)單位長度所受的外力為則仿照前面的推導(dǎo)，有2222 uuTdxFdxdxxt2222 uuTFxt22222 , ,uuaftxTaTFfF其中為振動在弦上的傳播速度， 為線密度， 為單位弦長在振動方向上所張力為受的外力。一維非齊次波動方程一維非齊次波動方程弦的受迫振動弦的受迫振動精選ppt(1) (1) 首先確定所要研究的物理量首先確定所要研究的物理量(,)ux t(2) (2) 根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用( (抓住主要抓住主要影響，忽略次要影響影響，忽略次要影響) )，這種相互作用在一個短時間

11、段里如何，這種相互作用在一個短時間段里如何影響物理量影響物理量u數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：(3) (3) 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡化整理就得到數(shù)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡化整理就得到數(shù)學(xué)物理方程。學(xué)物理方程。精選ppt例例2、桿的縱振動、桿的縱振動考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長方向作微小振動，假設(shè)在垂直桿長方考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長方向作微小振動，假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動情況（位移）完全相同。向的任一截面上各點(diǎn)的振動情況（位移）完全相同。( , )xxtu x t 如圖，取桿長方向?yàn)?軸方向，垂直于桿長方向的各截面均用平行位置 標(biāo)記；在任一時刻

12、 ，此截面相對于平衡位置的位移為, x xx在桿中隔離一小段(d ),分析受力情況( , )(, ).xP x t SxdxP xdx t SPx截面 ：受到彈(應(yīng))力; 截面：受到彈力,為單位面積所受的彈力，沿 軸方向牛頓運(yùn)動定律：22 (, )( , ) .udmP xdx tP x t St精選ppt22 (, )( , ) .udmP xdx tP x t St22, dmdx SuPtx，則若桿的密度為 (, )( , )( , ),( ,)()()( , ).uxdxu xdx tu x tduu x tdxxuux xdxdxxxu x txx點(diǎn)處的位移 因此小段的伸長 壓縮 為

13、，相對伸長 壓縮 為，即 點(diǎn)處的應(yīng)變?yōu)橛諬ookeEYoung,uPxuPEx若略去垂直桿長方向的變形，根據(jù)定律，彈(應(yīng))力 與應(yīng)變成正比：為桿的模量,故2222,uExut22222,.uuEaatx（其中）精選ppt例例3 3、熱傳導(dǎo)方程、熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。問題問題：在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體， 研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。簡化假設(shè)：均勻：物體的密度為常數(shù)各向同性： 物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)所要研究的物理量： 溫度 ),(tzyxu精選ppt熱場MSSVn傅里葉實(shí)驗(yàn)定律：在dt時間內(nèi)沿法線方向通過dS流入

14、V的熱量為：dd duQkS tn211dS dttSuQktn dScos( , )cos( , )cos( , )dSSuuuukkn xn yn zSnxyzk0為熱傳導(dǎo)系數(shù)，與介質(zhì)材料有關(guān)。從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 高斯公式2222222VVuuukdVkudVxyz212dttVkudV t 精選ppt熱場MSSVn流入的熱量：tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(122流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 溫度發(fā)生變化需要的熱量為VttucVttdd21 21ddttVtVtuc能量守恒定律能量守恒定律2

15、1QQ 22112d dd dttttVVuku V tcV tt tucuk22ukutc22au（齊次）熱傳導(dǎo)方程精選ppt2ukuFct22cF,kakcFfcuauft其中溫度傳導(dǎo)系數(shù) , 熱傳導(dǎo)系數(shù)， 比熱， 密度熱源功率密度， 熱源密度 。 2221112d dd dd dttttttVVVuku V tF V tcV tt F x,y,z,t如果介質(zhì)內(nèi)部有熱源，設(shè)單位時間內(nèi)單位體積介質(zhì)中產(chǎn)生的熱量為，由能量守恒定律有非齊次熱傳導(dǎo)方程精選ppt2( , , , )uDuf x y z tt擴(kuò)散方程 ( , , , )( , , , )u x y z tDf x y z t其中的代表

16、分子濃度， 是擴(kuò)散率，是單位時間內(nèi)在單位體積中該分子的產(chǎn)率。穩(wěn)定問題在一定條件下，物體的溫度達(dá)到穩(wěn)定，即不隨時間變化時，則溫度分布滿足2Fufk Poisson)位勢(方程0,f 特別，如果 則20u Laplace 方程精選ppt 三種典型的數(shù)學(xué)物理方程三種典型的數(shù)學(xué)物理方程精選ppt同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài) 的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上 的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)精選ppt初始時刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條

17、件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件 描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時間變量無關(guān)，不提初始條件A、 弦振動方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)初位移初速度精選ppt2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、 弦振動方程的邊界條件弦振動方程的邊界條件(1)固定端：振動過程中端點(diǎn) (x=a) 保持不動，其邊界條件為：|0 x au( , )0u a t sin00 x auTTx或：(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。0 x aux(3)彈性支承端：在在x=a端受

18、到彈性系數(shù)為端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧支承的彈簧支承Hook0e,x ax ax auuuxaTkux表示彈性支承的應(yīng)變，由定設(shè)彈性支律知：弦在處張力應(yīng)等承原來的位置則于，即x ax auTkux 或0,/x auuTxk 第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件精選pptB、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(以S表示某物體V 的邊界)(1) 邊界S上的溫度為已知函數(shù)f(x,y,z,t)|suf(f是定義在邊界S上的函數(shù))(2) 絕熱狀態(tài)(即在S上的熱量流速為零)或流速已知 0()ssuufnn 或 (3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)物體單位表面積與周圍介質(zhì)交單位時間內(nèi)物體單

19、位表面積與周圍介質(zhì)交換的熱量，同物體表面溫度與周圍介質(zhì)溫度差成正比。換的熱量，同物體表面溫度與周圍介質(zhì)溫度差成正比。11()d ddQk uuS t熱交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度1k1ud dukS tn 11,SSkuuunk 第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件精選ppt邊界條件邊界條件第一類邊界條件|suf給出邊界上各點(diǎn)的函數(shù)值: sufn給出邊界上各點(diǎn)函數(shù)的法向微分值: Suufn給出邊界上各點(diǎn)的函數(shù)值與法向微分值之間的線性關(guān)系: 第二類邊界條件第三類邊界條件注意：無論哪類邊界條件，只要數(shù)學(xué)表達(dá)式中右端項(xiàng)為零， 我們就稱其為齊次邊界條件，反之，稱非齊次的。精選ppt三、定解問題的概

20、念三、定解問題的概念1 1、定解問題、定解問題把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個定解問題。(1) 初值問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。2222200, -, 0,( ), -, ( ), -ttuuax ttxuxxuxxt 22222000, 0, 0,0, 0, 0,( ), ( ), 0.xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt精選ppt1,10,( )lxxlkkf x長為 的均勻細(xì)桿 側(cè)面絕緣。端溫度恒為零度端桿的

21、熱量自由散發(fā)到周圍溫度是零度的介質(zhì)中去（已知熱傳導(dǎo)系數(shù)為 ，熱交換系數(shù)為 ）。桿的初始溫度分布為。試寫出此例、定解問題：222100, 0, 0,0, 0, 0,()( ), 0. xx ltuuaxl ttxkuuutxkuf xxl其中精選ppt,2le長為的均勻 細(xì)桿 一端固定，另一端延桿的軸線方向被拉長 而靜止，突然放手任其振動。試寫出此定例 、解問題：22222000, 0, 0,0, 0, 0, =0, 0. xx lttuuaxl ttxuutxeuuxxllt精選ppt2、定解問題的檢驗(yàn)定解問題的檢驗(yàn) 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：定解問題的解是否只有一個；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應(yīng) 的微小變動。如果定解問題如果定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解存在唯一且穩(wěn)定的解，則稱問題是，則稱問題是適定的。適定的。3 3、偏微分方程的解、偏微分方程的解 古典解：如