數(shù)學(xué)物理方程 第一章典型方程和定解條件

1、精選ppt數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系數(shù)理不分家數(shù)理不分家 數(shù)學(xué)物理方程：數(shù)學(xué)物理方程：數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門分支學(xué)科中出現(xiàn)的一些偏微分方程分支學(xué)科中出現(xiàn)的一些偏微分方程(有時(shí)也包括積分方程、微分方程等有時(shí)也包括積分方程、微分方程等)，它們反映了物理量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)它們反映了物理量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。例如聲學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等等之間的制約關(guān)系。例如聲學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等等方面的基本方

2、程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的研究對(duì)象。方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的研究對(duì)象。用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象 特殊函數(shù)特殊函數(shù)在求解某些類型的數(shù)理方程時(shí)，采用分離變量法所得到的方程的解在求解某些類型的數(shù)理方程時(shí)，采用分離變量法所得到的方程的解是某種特殊函數(shù)，例如貝塞爾是某種特殊函數(shù)，例如貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德函數(shù)、勒讓德(Legendre)函函數(shù)等。其中有些特殊函數(shù)我們?cè)跀?shù)等。其中有些特殊函數(shù)我們?cè)凇拔⒎e分微積分”課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)并且研究課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)并且研究過其性質(zhì)。在本課程中，我們只討論它們?cè)跀?shù)理方程中的應(yīng)用問題。過其性質(zhì)。在本課程中，我們只討論它們?cè)?/p>

3、數(shù)理方程中的應(yīng)用問題。精選ppt 課程的內(nèi)容：課程的內(nèi)容：三類方程、 四種求解方法、 二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 參考書目：參考書目：*數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼著，人民教育出版社，梁昆淼著，人民教育出版社*數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，邵惠民著，科學(xué)出版社，邵惠民著，科學(xué)出版社*數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程, 戴嘉尊著，東南大學(xué)出版社戴嘉尊著，東南大學(xué)出版社精選ppt數(shù)學(xué)物理方程發(fā)展歷史簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)物理方程發(fā)展歷史簡(jiǎn)介偏微分方程誕生于偏微分方程誕生于18世紀(jì)，世紀(jì)，19、20世紀(jì)是其迅速發(fā)展時(shí)期世紀(jì)是其迅速發(fā)展時(shí)期

4、： 17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后，人們開始把力學(xué)中的一些問題和規(guī)律世紀(jì)微積分產(chǎn)生后，人們開始把力學(xué)中的一些問題和規(guī)律歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。1747年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家達(dá)朗貝爾將弦振動(dòng)問題歸結(jié)為如下形式的偏微分方程并探討了達(dá)朗貝爾將弦振動(dòng)問題歸結(jié)為如下形式的偏微分方程并探討了它的解法：它的解法：22222( , )( , )u x tu x tatx( ( 弦振動(dòng)弦振動(dòng)方程方程 ) ( ( 波動(dòng)波動(dòng)方程方程 ) 1752年歐拉在論文中首先出現(xiàn)位勢(shì)方程，后來因?yàn)槔绽隁W拉在論文中首先出現(xiàn)位勢(shì)方程，后來因?yàn)槔绽顾?Laplace)的出色工作，稱

5、為的出色工作，稱為L(zhǎng)aplace方程：方程：2222220uuuxyz( Laplace( Laplace方程方程 )( ( 位勢(shì)（位勢(shì)（Possion）方程）方程 )精選ppt 19世紀(jì)打開偏微分方程研究熱烈局面的第一人是傅立葉世紀(jì)打開偏微分方程研究熱烈局面的第一人是傅立葉(Fourier)，當(dāng)時(shí)工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要，當(dāng)時(shí)工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要確定物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度如何隨時(shí)間變化。確定物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度如何隨時(shí)間變化。Fourier對(duì)這種對(duì)這種熱流動(dòng)問題頗感興趣，熱流動(dòng)問題頗感興趣，1807年向巴黎科學(xué)院提交用數(shù)學(xué)研究年向巴黎科學(xué)院提交用數(shù)學(xué)研究熱傳導(dǎo)的論文

6、并創(chuàng)立了分離變量法：熱傳導(dǎo)的論文并創(chuàng)立了分離變量法：222( , )( , )u x tu x tatx( ( 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程方程 )精選ppt一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)定解條件的推導(dǎo)二、二、 定解條件的推導(dǎo)定解條件的推導(dǎo)三、三、 定解問題的概念定解問題的概念精選ppt一、一、 基本方程的建立基本方程的建立例例1、均勻弦的微小橫振動(dòng)、均勻弦的微小橫振動(dòng)假設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線方向拉緊，只受弦假設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線方向拉緊，只受弦本身的張力和重力影響。如下圖所示，我們研究弦作微小橫向本身的張力和重

7、力影響。如下圖所示，我們研究弦作微小橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。精選ppt簡(jiǎn)化假設(shè)： gds M M ds x T u xdx x T (1)柔軟：弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向；柔軟：弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向； 細(xì)：與張力相比可略去重力細(xì)：與張力相比可略去重力,弦的截面直徑與長(zhǎng)度相比可忽略，弦視為曲線弦的截面直徑與長(zhǎng)度相比可忽略，弦視為曲線 均勻：質(zhì)量是均勻的，線密度為常數(shù)。均勻：質(zhì)量是均勻的，線密度為常數(shù)。 (2)橫振動(dòng)：振動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)。若弦的平衡位置為橫振動(dòng)：振動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)。若弦的平衡位置為x軸，橫向是指軸，橫向是指 弦上各點(diǎn)在同一

8、平面內(nèi)垂直于弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)；軸的方向運(yùn)動(dòng)； 微小：微?。?振幅極小，振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。張力與水平方向的夾角很小。精選ppt24cos112!4!cos1 gds M M ds x T u xdx x T 牛頓運(yùn)動(dòng)定律：sinsinTTgdsma橫向：coscos0TT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：則TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx精選ppt(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu

9、x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：精選ppt2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx 一維波動(dòng)方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：（弦振動(dòng)方程）（弦振動(dòng)方程）精選ppt Fds M M ds x T u xdx x T ( , ),

10、F x t如果弦在振動(dòng)方向上還受一外力作用，設(shè)單位長(zhǎng)度所受的外力為則仿照前面的推導(dǎo)，有2222 uuTdxFdxdxxt2222 uuTFxt22222 , ,uuaftxTaTFfF其中為振動(dòng)在弦上的傳播速度， 為線密度， 為單位弦長(zhǎng)在振動(dòng)方向上所張力為受的外力。一維非齊次波動(dòng)方程一維非齊次波動(dòng)方程弦的受迫振動(dòng)弦的受迫振動(dòng)精選ppt(1) (1) 首先確定所要研究的物理量首先確定所要研究的物理量(,)ux t(2) (2) 根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用( (抓住主要抓住主要影響，忽略次要影響影響，忽略次要影響) )，這種相互作用在一個(gè)短時(shí)間

11、段里如何，這種相互作用在一個(gè)短時(shí)間段里如何影響物理量影響物理量u數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：(3) (3) 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡(jiǎn)化整理就得到數(shù)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡(jiǎn)化整理就得到數(shù)學(xué)物理方程。學(xué)物理方程。精選ppt例例2、桿的縱振動(dòng)、桿的縱振動(dòng)考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)方向作微小振動(dòng)，假設(shè)在垂直桿長(zhǎng)方考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)方向作微小振動(dòng)，假設(shè)在垂直桿長(zhǎng)方向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況（位移）完全相同。向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況（位移）完全相同。( , )xxtu x t 如圖，取桿長(zhǎng)方向?yàn)?軸方向，垂直于桿長(zhǎng)方向的各截面均用平行位置 標(biāo)記；在任一時(shí)刻

12、 ，此截面相對(duì)于平衡位置的位移為, x xx在桿中隔離一小段(d ),分析受力情況( , )(, ).xP x t SxdxP xdx t SPx截面 ：受到彈(應(yīng))力; 截面：受到彈力,為單位面積所受的彈力，沿 軸方向牛頓運(yùn)動(dòng)定律：22 (, )( , ) .udmP xdx tP x t St精選ppt22 (, )( , ) .udmP xdx tP x t St22, dmdx SuPtx，則若桿的密度為 (, )( , )( , ),( ,)()()( , ).uxdxu xdx tu x tduu x tdxxuux xdxdxxxu x txx點(diǎn)處的位移 因此小段的伸長(zhǎng) 壓縮 為

13、，相對(duì)伸長(zhǎng) 壓縮 為，即 點(diǎn)處的應(yīng)變?yōu)橛諬ookeEYoung,uPxuPEx若略去垂直桿長(zhǎng)方向的變形，根據(jù)定律，彈(應(yīng))力 與應(yīng)變成正比：為桿的模量,故2222,uExut22222,.uuEaatx（其中）精選ppt例例3 3、熱傳導(dǎo)方程、熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。問題問題：在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體， 研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。簡(jiǎn)化假設(shè)：均勻：物體的密度為常數(shù)各向同性： 物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)所要研究的物理量： 溫度 ),(tzyxu精選ppt熱場(chǎng)MSSVn傅里葉實(shí)驗(yàn)定律：在dt時(shí)間內(nèi)沿法線方向通過dS流入

14、V的熱量為：dd duQkS tn211dS dttSuQktn dScos( , )cos( , )cos( , )dSSuuuukkn xn yn zSnxyzk0為熱傳導(dǎo)系數(shù)，與介質(zhì)材料有關(guān)。從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為 高斯公式2222222VVuuukdVkudVxyz212dttVkudV t 精選ppt熱場(chǎng)MSSVn流入的熱量：tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(122流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 溫度發(fā)生變化需要的熱量為VttucVttdd21 21ddttVtVtuc能量守恒定律能量守恒定律2

15、1QQ 22112d dd dttttVVuku V tcV tt tucuk22ukutc22au（齊次）熱傳導(dǎo)方程精選ppt2ukuFct22cF,kakcFfcuauft其中溫度傳導(dǎo)系數(shù) , 熱傳導(dǎo)系數(shù)， 比熱， 密度熱源功率密度， 熱源密度 。 2221112d dd dd dttttttVVVuku V tF V tcV tt F x,y,z,t如果介質(zhì)內(nèi)部有熱源，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位體積介質(zhì)中產(chǎn)生的熱量為，由能量守恒定律有非齊次熱傳導(dǎo)方程精選ppt2( , , , )uDuf x y z tt擴(kuò)散方程 ( , , , )( , , , )u x y z tDf x y z t其中的代表

16、分子濃度， 是擴(kuò)散率，是單位時(shí)間內(nèi)在單位體積中該分子的產(chǎn)率。穩(wěn)定問題在一定條件下，物體的溫度達(dá)到穩(wěn)定，即不隨時(shí)間變化時(shí)，則溫度分布滿足2Fufk Poisson)位勢(shì)(方程0,f 特別，如果 則20u Laplace 方程精選ppt 三種典型的數(shù)學(xué)物理方程三種典型的數(shù)學(xué)物理方程精選ppt同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài) 的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上 的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)精選ppt初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條

17、件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件 描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時(shí)間變量無關(guān)，不提初始條件A、 弦振動(dòng)方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)初位移初速度精選ppt2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、 弦振動(dòng)方程的邊界條件弦振動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：振動(dòng)過程中端點(diǎn) (x=a) 保持不動(dòng)，其邊界條件為：|0 x au( , )0u a t sin00 x auTTx或：(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。0 x aux(3)彈性支承端：在在x=a端受

18、到彈性系數(shù)為端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧支承的彈簧支承Hook0e,x ax ax auuuxaTkux表示彈性支承的應(yīng)變，由定設(shè)彈性支律知：弦在處張力應(yīng)等承原來的位置則于，即x ax auTkux 或0,/x auuTxk 第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件精選pptB、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(以S表示某物體V 的邊界)(1) 邊界S上的溫度為已知函數(shù)f(x,y,z,t)|suf(f是定義在邊界S上的函數(shù))(2) 絕熱狀態(tài)(即在S上的熱量流速為零)或流速已知 0()ssuufnn 或 (3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體單位表面積與周圍介質(zhì)交單位時(shí)間內(nèi)物體單

19、位表面積與周圍介質(zhì)交換的熱量，同物體表面溫度與周圍介質(zhì)溫度差成正比。換的熱量，同物體表面溫度與周圍介質(zhì)溫度差成正比。11()d ddQk uuS t熱交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度1k1ud dukS tn 11,SSkuuunk 第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件精選ppt邊界條件邊界條件第一類邊界條件|suf給出邊界上各點(diǎn)的函數(shù)值: sufn給出邊界上各點(diǎn)函數(shù)的法向微分值: Suufn給出邊界上各點(diǎn)的函數(shù)值與法向微分值之間的線性關(guān)系: 第二類邊界條件第三類邊界條件注意：無論哪類邊界條件，只要數(shù)學(xué)表達(dá)式中右端項(xiàng)為零， 我們就稱其為齊次邊界條件，反之，稱非齊次的。精選ppt三、定解問題的概

20、念三、定解問題的概念1 1、定解問題、定解問題把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。(1) 初值問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。2222200, -, 0,( ), -, ( ), -ttuuax ttxuxxuxxt 22222000, 0, 0,0, 0, 0,( ), ( ), 0.xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt精選ppt1,10,( )lxxlkkf x長(zhǎng)為 的均勻細(xì)桿 側(cè)面絕緣。端溫度恒為零度端桿的

21、熱量自由散發(fā)到周圍溫度是零度的介質(zhì)中去（已知熱傳導(dǎo)系數(shù)為 ，熱交換系數(shù)為 ）。桿的初始溫度分布為。試寫出此例、定解問題：222100, 0, 0,0, 0, 0,()( ), 0. xx ltuuaxl ttxkuuutxkuf xxl其中精選ppt,2le長(zhǎng)為的均勻 細(xì)桿 一端固定，另一端延桿的軸線方向被拉長(zhǎng) 而靜止，突然放手任其振動(dòng)。試寫出此定例 、解問題：22222000, 0, 0,0, 0, 0, =0, 0. xx lttuuaxl ttxuutxeuuxxllt精選ppt2、定解問題的檢驗(yàn)定解問題的檢驗(yàn) 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：定解問題的解是否只有一個(gè)；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng) 的微小變動(dòng)。如果定解問題如果定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解存在唯一且穩(wěn)定的解，則稱問題是，則稱問題是適定的。適定的。3 3、偏微分方程的解、偏微分方程的解 古典解：如