我的一堂優(yōu)質(zhì)課一元二次不等式恒成立問題 原創(chuàng)

1、一元二次不等式恒成立問題似曾相識燕歸來（認(rèn)真聽講，做好筆記，就不會似曾相識）無可奈何花落去（大而化之，步步緊逼，就不會無可奈何）大而化之，步步緊逼（化，分解討論的意思）【師】好，我們今天來繼續(xù)研究一元二次不等式問題.對于一元二次不等式，通過三四天的學(xué)習(xí)，想必大家已經(jīng)非常熟悉了，對于一般的一元二次不等式，大家都能熟練的掌握.那么對于一元二次不等式的綜合問題，大家可能還沒有頭緒，一拿到這種題，都可能頭暈?zāi)X漲了.這不禁令我想起了古人的一句詩（師板書）：似曾相識燕歸來無可奈何花落去【生】（笑，課堂氣氛活躍）：老師，寫反了！應(yīng)該是：無可奈何花落去，似曾相識燕歸來！【師】（故作嚴(yán)肅）：我為什么寫反??？因?yàn)?/p>

2、我們學(xué)數(shù)學(xué)需要逆向思維啊！那么我們大家對于一元二次不等式的綜合問題可能就是這個感覺.一接觸到題就“似曾相識”，但一下筆就“無可奈何”了.（師在兩句詩內(nèi)相應(yīng)的詞下加下劃線）這就要求我們平時聽課的時候要認(rèn)真聽講，做好筆記，這樣一來我們做題的時候就不會似曾相似了，即使我們做不出來，我們也可以翻開筆記找到類似的題.（師在副標(biāo)題相應(yīng)的位置后面加認(rèn)真聽講等語）.（生思考，拿出筆記本）而即使做到記筆記了，認(rèn)真聽講了，有些同學(xué)做這類綜合題的時候也會覺得“無可奈何”，這是什么原因呢？這就要求我們多做多練，練熟了，遇到這類題時就不會是“無可奈何”了，而是“下筆千言”了.（生笑，認(rèn)真聽講）那么對于這一類題，我們通常

3、采用的是“大而化之，步步緊逼”的方法來解決.大家注意，這個“化”的意思是分解討論的意思.（師在副標(biāo)題下加上“大而化之，步步緊逼”8個字）它既然是個大難題，那么我們就把它化為幾個容易的步驟，再依次的討論，這類題就做出來了.好，我們今天就通過一個典型例題來研究不等式的恒成立問題.（師板書）一、 典例例：關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【師】一拿到這類題，同學(xué)們可能都傻眼了，題目中好像什么都沒給啊，這個題怎么做??？大家不用怕，看上面（師示意學(xué)生看題目下的“大而化之”四個字），既然它是以大題的形式出現(xiàn)了，那么咱們就用做大題的方法去對付它，“大而化之”，咱們一步步的來分解它.那么大家看這

4、個題它是個什么不等式啊？一元二次不等式嗎？（師設(shè)下陷阱）【生】是?。ù蟛糠謱W(xué)生說是，只有一小部分說不一定，但聲音小，底氣不足）【師】（繼續(xù)暗示）是嗎？你敢肯定么？【生】（大部分反應(yīng)過來）不一定！【師】為什么不一定啊？【生】因?yàn)榈闹挡欢?！【師】（及時插入話）對！它的值不定，那么它的值不定我們該怎么做??？【生】討論！（因?yàn)榍皫坠?jié)課都在培育學(xué)生具有討論思想，所以學(xué)生能一口答出來）【師】對，它的值不定我們就要討論它，這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的思想，大家一定要具備這個基本素質(zhì).下面我們來分類討論這個不等式的系數(shù)，看看它的廬山真面目到底是什么.（一）（準(zhǔn)備工作）：討論系數(shù)（師邊寫邊說：那么它的二次項(xiàng)系數(shù)分幾種

5、情況啊？生回答：兩種.師問：是什么??？生回答：等于零或不等于零兩種.師板書并言語：那么我們來討論這兩種情況.）當(dāng)即時，那么原不等式變成了常數(shù)不等式當(dāng)時，原不等式是一元二次不等式.【師】（板完后說）那么這是我們每個人腦海中都要具備最基本的東西，一遇到這類題，我們腦海中立馬要想到討論它的二次項(xiàng)系數(shù)，這一步你寫出來了，高考時兩分就拿到手了.（二）（具體步驟）：分類討論當(dāng)，即時，原不等式可化為：【師】那么這個不等式是不是最終成了，它是不是無論取何值時不等式都恒成立成立啊？【生】是！ 時，不等式恒成立【師】那么我們來討論第二步.當(dāng)，即時，不等式是一個一元二次不等式.【師】那么我們說解一元二次不等式分四個

6、步驟.第一步是化為標(biāo)準(zhǔn)形式，也就是二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式.那么這個不等式好不好化啊？因?yàn)槲覀儾恢降恼?fù)，這樣的話就需要討論，而討論起來又很麻煩，那么我們怎么做?。磕敲创蠹一貞浺幌?，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的兩個思想是什么啊？【生】分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想！【師】對！那么這類題我們用數(shù)形結(jié)合的思想來做是很容易理解的.那么既然是數(shù)形結(jié)合，我們就先畫出的圖像.然后再在圖像上找出時的取值是什么就可以了.那么它的圖像有幾種情況??？無非就有兩種.或.那么我們就先畫出，即開口向上時的情況.那么開口向上又分三種情況.那么這個圖像又是經(jīng)過的這個點(diǎn)的，那么我們先拋開這個條件，來根據(jù)與軸交點(diǎn)是兩個一個還是沒有的情況做出開口

7、向上時函數(shù)的圖像.如下圖：【師】那么當(dāng)時，圖像就是這三種情況.那么大家看，不等式的對應(yīng)方程的根的情況對應(yīng)圖像上就分別是兩個、一個或無.那么它的判別式依次是：、或. 的圖像 【師】好，那么我們把的情況也畫出來，也是三個圖像. 的圖像 【師】好，到此為止，體力活已經(jīng)做完了，該做腦力活了.大家觀察一下圖像，再看一下題目，看哪個圖像適合題目的條件??？（念題目：不等式 對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍）.（到此，基本上所有的同學(xué)已經(jīng)能順利的指出第6個圖像適合題目的要求，老師再做逐個的分析，然后得出結(jié)論）（此時有一部分同學(xué)瞌睡，老師觀察到這個現(xiàn)象后說道：同學(xué)們注意了，關(guān)鍵時刻到了.比如說我們看NBA比賽

8、，火箭隊(duì)正和湖人隊(duì)比賽，比賽已經(jīng)到了第四節(jié)了，剩下十幾秒的時間了，科比或者姚明再投進(jìn)去一個球，勝負(fù)都出來了，可不要錯過精彩??！生笑，注意力重新集中起來.課堂氣氛活躍）【生】第6個圖像滿足！【師】對！第6個圖像滿足.那么不等式的對應(yīng)方程應(yīng)滿足什么條件啊？【生】（能迅速回答出來）且！【師】對！所以立馬我們就能得出兩個聯(lián)立的不等式解之得：綜上所述，當(dāng) 時，關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立.（師強(qiáng)調(diào)：我們第一步做的等于2的那個值一定不要忘記）【師】好了這道題我們基本上做完了.那么我把原不等式變?yōu)椋ǎ┠敲茨囊粋€圖像滿足條件??？對應(yīng)方程要滿足什么條件??？【生】（基本上所有的同學(xué)都能回出來）第5個！對應(yīng)方程要滿足且.【師】對！那么我這樣變，變?yōu)?，哪一個圖像滿足條件？對應(yīng)方程應(yīng)滿足什么條件啊？【生】（爭先恐后的回答）第三個！對應(yīng)方程要滿足且【師】那么變?yōu)槟?？【生】?個！對應(yīng)方程要滿足且.【師】非常好！那么大家在學(xué)習(xí)的時