對(duì)數(shù)不等式的解法

1、高次、無(wú)理、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法 解不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的重要工具，在研究函數(shù)的性質(zhì)、確立問(wèn)題成立的條件等方面都有廣泛的應(yīng)用。 本階段的重點(diǎn)是不等式的“等價(jià)轉(zhuǎn)化”，將高次不等式低次化，無(wú)理不等式有理化、超越不等式代數(shù)化，最終回歸到一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來(lái)解。難點(diǎn)是解含參數(shù)的不等式，對(duì)于如何選擇參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)、如何把握分類的時(shí)機(jī)是有難度和深度的。 一、高次不等式 1概念： 形如不等式(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0（其中x1, x2, ,xn是互不相等的實(shí)常數(shù)）叫做一元n次不等式(nN)。 2解題思路： 作出相應(yīng)函數(shù)的圖象草圖。具體步驟如下：(a)明確標(biāo)出

2、曲線與x軸的交點(diǎn)，(b)分析在每一個(gè)開區(qū)間上函數(shù)的那段曲線是在x軸的上方還是下方（除此之外，對(duì)草圖不必做更細(xì)致的要求）。然后根據(jù)圖象草圖，寫出滿足不等式的解集。 3例題： 例1解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。 解：(1)做出函數(shù)y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的圖象的草圖（圖1）。 所以不等式的解集為(-,-2)(-1,1)(2,+)。 (2)先把原不等式化成與它等價(jià)的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。作出函數(shù)y=(x+1)(x-6)(x-1)的草圖（圖2），所以解集為(-,-1)(1,6

3、)。 注意：(1)解題中首先觀察關(guān)于x的最高次項(xiàng)的系數(shù)是否為正數(shù)，如果為正數(shù)，函數(shù)y在最右邊的開區(qū)間上的函數(shù)值總為正數(shù)，因此曲線總在x軸的上方，這樣作草圖就可以一蹴而就了，如果不是正數(shù)，那么首先化為正數(shù)；(2)解高次不等式的步驟可以概括為：找零點(diǎn)、分區(qū)間、畫草圖、寫解集。 例2解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。 分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出現(xiàn)了重因式，函數(shù)圖象應(yīng)遵循“奇過(guò)偶切”如圖3， 故解集為(-2,-1)(-1,1)(3,+)。 二、無(wú)理不等式 1概念：如果函數(shù)f(x)是關(guān)于x的無(wú)理式，那么f(x)>0或f(x)<

4、0，叫做無(wú)理不等式。 2解題思路：將其轉(zhuǎn)化為有理不等式。 3常見題型及等價(jià)轉(zhuǎn)化： (1)> (2)>g(x) 或 或 (3) <g(x) 4例題： 例1解不等式x-2。 解法一： 即 ，所以x5。所以原不等式的解集為5，+）。 解法二：設(shè)=t (t0)。 則x=。所以原不等式化為t-2,所以t2-2t-30, 即t-1或t3。因?yàn)?t0, 所以t3, 所以x5。 所以原不等式解集為5，+）。 評(píng)述：解法1是通法，要求必須熟練掌握，解法2是換元法，由于不等式兩邊次數(shù)恰是倍數(shù)關(guān)系，故換元后變?yōu)槎尾坏仁?，但最終還要解x的方程。三、指數(shù)不等式，對(duì)數(shù)不等式 1解題思路：化超越不等式為

5、代數(shù)不等式，依據(jù)是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。 2常見題型及等價(jià)轉(zhuǎn)化： (1) (a>0,a1)。當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)<g(x)；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>g(x)。 (2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0。令ax=t(t>0)，轉(zhuǎn)化為mt2+nt+k>0，先求t的取值范圍，再確定x的集合。 (3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a1)。 當(dāng)0<a<1時(shí)， 當(dāng)a>1時(shí)， (4) 。 令logaf(x)=t (tR)，轉(zhuǎn)化為mt2+nt+k>0，先求t的取值范圍，再確定x的集合。 3例題 例1解不等式。 解：，所以x2-2x-3<3-3x，所以x2+x-6<0, 所以-3<x<2。 所以原不等式的解集為（-3，2）。 例2解不等式。 解：原不等式可化為，設(shè)2x=t(t>0), 則t2-12t-640。 所以-4t16，因?yàn)閠>0。所以0<t16, 故