雙曲線答案OK

1、雙曲線知識(shí)梳理1. 雙曲線的定義第一定義：當(dāng)時(shí), 的軌跡為雙曲線; 當(dāng)時(shí), 的軌跡不存在; 當(dāng)時(shí), 的軌跡為以為端點(diǎn)的兩條射線2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖像性質(zhì)焦點(diǎn)焦距范圍對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率漸近線2共漸近線的雙曲線系方程：與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線系方程可設(shè)為(0)，若>0，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；若<0，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上等軸雙曲線的漸近線方程為 ，離心率為.； 3基礎(chǔ)三角形如圖，AOB中，|OA|a，|AB|b，|OB|c，tanAOB， OF2D中，|F2D|b.4. 注意定義中“陷阱”問題1：已知，一曲線上

2、的動(dòng)點(diǎn)到距離之差為6，則雙曲線的方程為 點(diǎn)撥：一要注意是否滿足，二要注意是一支還是兩支 ，的軌跡是雙曲線的右支.其方程為5. 注意焦點(diǎn)的位置問題2：雙曲線的漸近線為，則離心率為 點(diǎn)撥：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，第一部分熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型1：運(yùn)用雙曲線的定義例1已知兩圓C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，動(dòng)圓M與兩圓C1、C2都相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是()Ax0 B. 1(x) C. 1 D. 1或x0解析：如右圖，動(dòng)圓M與兩圓C1、C2都相切，有四種情況：動(dòng)圓M與兩圓都相外切，動(dòng)圓M與兩圓都相內(nèi)切；動(dòng)圓M與圓C1外切、與圓C2內(nèi)切.

3、 動(dòng)圓M與圓C1內(nèi)切、與圓C2外切. 在的情況下，顯然，動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x0；在的情況下，設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則|MC1|r，|MC2|r故得|MC1|MC2|2；在的情況下，同理得|MC2|MC1|2由得|MC1|MC2|±2根據(jù)雙曲線定義，可知點(diǎn)M的軌跡是以C1(4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，且a，c4，bc2a214，其方程為1. 由可知選D.跟蹤練習(xí)1.設(shè)P為雙曲線上的一點(diǎn)F1、F2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故選B。2. 如圖2所示，為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線上

4、的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，選C3. P是雙曲線左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為（ ）（A）（B）（C）（D）解析設(shè)的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為，由圓的切線性質(zhì)知，題型2 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3，2），求雙曲線C的方程 解析 解法一：設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點(diǎn)（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8. 所求雙曲線的方程為=1.解法二：設(shè)雙曲線方程為1，將點(diǎn)（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為1.跟蹤練習(xí)4. 已

5、知雙曲線的漸近線方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 解析設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)時(shí)，化為，當(dāng)時(shí)，化為，綜上，雙曲線方程為或5. 以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.解析 拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，雙曲線方程為6. 已知點(diǎn)，動(dòng)圓與直線切于點(diǎn)，過、與圓相切的兩直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A BC（x > 0） D解析，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，選B考點(diǎn)2 雙曲線的幾何性質(zhì)題型1 求離心率或離心率的范圍例3 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為 【解題思路】這是一個(gè)存在性問題，

6、可轉(zhuǎn)化為最值問題來解決解析(方法1)由定義知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時(shí)，解得即的最大值為(方法2) ，雙曲線上存在一點(diǎn)P使，等價(jià)于 (方法3)設(shè)，由焦半徑公式得，的最大值為【名師指引】（1）解法1用余弦定理轉(zhuǎn)化，解法2用定義轉(zhuǎn)化，解法3用焦半徑轉(zhuǎn)化；（2）點(diǎn)P在變化過程中，的范圍變化值得探究；（3）運(yùn)用不等式知識(shí)轉(zhuǎn)化為的齊次式是關(guān)鍵跟蹤練習(xí)7. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為 解析當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或8. 已知雙曲線的右頂點(diǎn)為E，雙曲線的左準(zhǔn)線與該雙曲線的兩漸近線的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，若AEB=60°，則該雙曲線的離心率e是

7、（ ）A B2 C或2 D不存在解析設(shè)雙曲線的左準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D,則，題型2 與漸近線有關(guān)的問題例4若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為 （ ）A. B. C. D.【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關(guān)系解析 焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，故，,所以【新題導(dǎo)練】9. 設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為(C)Ay±x By±2x Cy±x Dy±x10.已知雙曲線C：1(a>0，b>0)，以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是（ ）A. B. Ca Db解析：右

8、焦點(diǎn)為F(c,0)，漸近線為bx±ay0，所求圓半徑r等于F(c,0)到直線bx±ay0的距離考點(diǎn)3 雙曲線的綜合應(yīng)用例6已知等軸雙曲線C：x2y2a2(a>0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)及曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)A、B滿足()·()0.(其中O為原點(diǎn))(1)求證：()·()0.(2)求|AB|的最小值解析：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AP、BP中點(diǎn)分別為M、N，則xya2，xya2，xxyy 同理()·()0，·0，即·1，·1OMON即()·()0(2)又MONMPN易知O、M、N、P四點(diǎn)共

9、圓，且MN為圓的直徑，OP為圓的任一弦，故|MN|OP|AB|2|OP|2因此|AB|最小值為2.10. (2010·廣州一中)過雙曲線1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C，若，則雙曲線的離心率是 ()A. B. C. D.解析：過點(diǎn)A(a,0)的直線的方程為yxa，則易求得該直線與雙曲線的漸近線y±x的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B、C，由得b2a，所以雙曲線的離心率e.故選C基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 （A） （B） （C） （D）解析橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到漸近

10、線的距離為b，選A 2. 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的方程是（）A B C D 解析由 和得，選A3. 兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且則雙曲線的離心率為( ) A B C D解析 ，選D4. 設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為( )A B1C2D不確定解析 C. 設(shè)，5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）(A). (B). (C). (D).解析 ，選B6. 曲線與曲線的（ ）A

11、焦距相等 B焦點(diǎn)相同 C離心率相等 D以上都不對(duì)解析 方程的曲線為焦點(diǎn)在x軸的橢圓，方程的曲線為焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，故選A7. 已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）直線過焦點(diǎn)且垂直于x軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程 解析（1）依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，（2）設(shè)漸近線與直線交于A、B，則，解得即，又，雙曲線的方程為8. 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.（）求雙曲線C的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B且（其中為原點(diǎn)），求k的取值范圍解（1）設(shè)雙曲線方程為由已知得，再由，得故雙曲

12、線的方程為.（2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點(diǎn)得 即且. 設(shè)，則，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范圍為第二部分一、選擇題1雙曲線的離心率為( )A B C D2已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是，則雙曲線方程為（ ）A B C. D.3.已知雙曲線的一條準(zhǔn)線為，則該雙曲線的離心率為（ ）（A）（B）（C）（D）4.設(shè)F1和F2為雙曲線y21兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，滿足F1PF290°，則F1PF2的面積是（ ） A1 B C2 D5.已知雙曲線的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線上且軸，則到直線的距離為（ ）（A） （B） （C） （D）6.若橢圓的共同焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P

13、是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值為（ ） A. B.84 C.3 D.217.已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)P的軌跡為( )A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線8.（北京3）“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件9.（福建12）雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PE2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）A.（1，3） B.（1，3） C.（3，+） D. 3，+10.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且則點(diǎn)M到x軸的距離為（ ）（A） （B）

14、（C） （D）11.（全國(guó)11）設(shè)是等腰三角形，則以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（ ）AB C D12.如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） （A）（B）（C）（D）二。填空題13.（江西14）已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近線距離為1，則雙曲線方程為 14.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率15.設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2x22y21有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是 16.已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,兩

15、條漸近線的方程為,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 三。解答題17已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2（0，），且離心率，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線18.（本小題滿分12分）設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：（II）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且求a的值.19.(12分)雙曲線的兩條準(zhǔn)線間距離為3,右焦點(diǎn)到直線的距離為 (1)求雙曲線C的方程; (2)雙曲線C中是否存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,并說明理由20.（全國(guó)22）（本小題滿分12分）雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離

16、心率；（）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程21.(天津22)（本小題滿分14分）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是（）求雙曲線的方程；（）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍22.（本大題滿分14分）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；OFxyPMH（）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程。答案一。選擇題答案1561011 12

17、D二。填空題答案13. 。14。15.x2y21 16.三。解答題答案。17. 解：18. （本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運(yùn)算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分14分.解：（I）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 2分雙曲線的離心率（II）設(shè)8分由于x1，x2都是方程的根，且1a20，19.解:(1)由已知設(shè)右焦點(diǎn),則由已知: 雙曲線C的方程為: (2)假設(shè)存在以P為中點(diǎn)的弦AB設(shè)則: P為中點(diǎn) , 此時(shí)直線AB: 即聯(lián)立AB與雙曲線方程有: 代簡(jiǎn)得: 無解故不存在以P為中點(diǎn)的弦20. 解：（1）設(shè)，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得則離心率（2）過直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立將，代入，化簡(jiǎn)有將數(shù)值代入，有解得最后求得