吳天成高三(圓錐曲線定值問題)

1、學(xué)生姓名： 吳天成 年級： 高 三 科目： 數(shù) 學(xué) 授課日期： 5 月 12 日上課時間： 15 時 00 分 - 16 時 20 分 合計： 1.33小時教學(xué)目標(biāo)1、 能夠解決圓錐曲線的簡單化簡2、 能夠快算的化簡運(yùn)算3、掌握圖形結(jié)合的方法。重難點(diǎn)導(dǎo)航1、 能夠解決圓錐曲線的簡單化簡2、 能夠快算的化簡運(yùn)算3、 掌握圖形結(jié)合的方法。1、能夠解決圓錐曲線的簡單化簡2、能夠快算的化簡運(yùn)算3、掌握圖形結(jié)合的方法。授課教師評價： 準(zhǔn)時上課：無遲到和早退現(xiàn)象（今日學(xué)生課堂表 今天所學(xué)知識點(diǎn)全部掌握：教師任意抽查一知識點(diǎn)，學(xué)生能完全掌握現(xiàn)符合共 項） 上課態(tài)度認(rèn)真：上課期間認(rèn)真聽講，無任何不配合老師的情

2、況（大寫） 海豚作業(yè)完成達(dá)標(biāo)：全部按時按量完成所布置的作業(yè)，無少做漏做現(xiàn)象 學(xué)生簽字：教師簽字：備注：請交至行政前臺處登記、存檔保留，隔日無效 （可另附教案內(nèi)頁） 大寫：壹 貳 叁 肆 簽章：圓錐曲線中定值問題在圓錐曲線中，有一類曲線系方程，對其參數(shù)取不同值時，曲線本身的性質(zhì)不變；或形態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的定值問題.圓錐曲線中的幾何量，有些與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題.它涵蓋兩類問題，一是動曲線經(jīng)過定點(diǎn)問題；二是動曲線的某些幾何量的斜率、長度、角度、距離、面積等為常數(shù)問題.在幾何問題中，有些幾何量與參變數(shù)無關(guān)，即定值問題，這類問題求解策略是通過應(yīng)用

3、賦值法找到定值，然后將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的推導(dǎo)、論證定值符合一般情形.1.若探究直線或曲線過定點(diǎn)，則直線或曲線的表示一定含有參變數(shù)，即直線系或曲線系，可將其方程變式為例1.(2012湖南理21)在直角坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)均在圓：外，且對上任意一點(diǎn)， 到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)和.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動時，四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.1.（1）解法1 ：設(shè)的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡得曲線的方程為.解法2 ：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是

4、以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為.（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時，的坐標(biāo)為，又，則過且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點(diǎn)，切線方程為即.于是整理得 設(shè)過所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個實(shí)根，故 由得 設(shè)四點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則是方程的兩個實(shí)根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，當(dāng)在直線上運(yùn)動時，四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值6400.【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程；第二問設(shè)出切線方程，把直線與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點(diǎn)縱

5、坐標(biāo)之積為定值，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.【變式訓(xùn)練1】(2012遼寧理20) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn) ()求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程; ()設(shè)動圓與相交于四點(diǎn)，其中， 若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值【點(diǎn)評】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用。本題考查綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大。在求解點(diǎn)的軌跡方程時，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中?！咀兪接?xùn)練1】(2012 上海理22)在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：（1）過的左頂點(diǎn)引的

6、一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動點(diǎn)，且，求證：到直線的距離是定值【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問題，在雙曲線當(dāng)中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運(yùn)用可以大大節(jié)省解題時間，本題屬于中檔題 解：(1)雙曲線C1：y21，左頂點(diǎn)A，漸近線方程：yx.過點(diǎn)A與漸近線yx平行的直線方程為y，即yx1.解方程組得所以所求三角形的面積為S|O

7、A|y|.(2)設(shè)直線PQ的方程是yxb，因直線PQ與已知圓相切，故1，即b22.由得x22bxb210.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)當(dāng)直線ON垂直于x軸時，|ON|1，|OM|，則O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為ykx，則直線OM的方程為yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2，設(shè)O到直線MN的距離為d，因為(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2.所以3，即d.綜上，O到直線MN的距離是定值例2(2102 福

8、建文21)（本小題滿分12分）如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點(diǎn)均在拋物線上（I）求拋物線的方程；（II）設(shè)動直線與拋物線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)證明以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn)本小題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想 2解：依題意=，,設(shè)，則，因為點(diǎn)在上，所以，解得所以拋物線E的方程為(2)由（1）知, 設(shè)，則，并且的方程為，即由 得所以設(shè),令對滿足的，恒成立由于，由于,得，即 （*）由于（*）對滿足的恒成立，所以解得 故以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)解法二 (1)同解法一（

9、2）由（1）知,設(shè)，則，并且的方程為，即由 得所以取=2，此時P(2，1)，Q(0，-1)，以PQ為直徑的圓為，交y軸于點(diǎn)（0,1）或（0，-1）；取=1，此時，以PQ為直徑的圓為，交y軸于或故若滿足條件得點(diǎn)M存在，只能是以下證明點(diǎn)就是所要求的點(diǎn)因為，故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M例3(2012北京理19)（本小題共14分）已知曲線（1）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）設(shè)，曲線與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：，三點(diǎn)共線3解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達(dá)定理

10、得：，設(shè)，方程為：，則，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證【變式訓(xùn)練31】(2012天津理19)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上且異于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)由題意，有1. 由A(a,0)，B(a,0)，得kAP，kBP.由kAPkBP，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2. 于是e2， 所以橢圓的離心率e.(2)證明：(方法一)依題意，直線OP的方程為ykx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

11、x0，y0)由條件得消去y0并整理得x.由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00. 而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.由ab0， 故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.(方法二)依題意，直線OP的方程為ykx，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，kx0)由點(diǎn)P在橢圓上，有1. 因為ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2. 由|AP|OA|，A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)a2，解得k23，所以|k|.【變式訓(xùn)練32】(2012 安徽理

12、20) 如圖，點(diǎn)分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)；（1）如果點(diǎn)的坐標(biāo)是；求此時橢圓的方程；（2）證明：直線與橢圓只有一個交點(diǎn)解：（I）點(diǎn)代入得： 又 由得：，即橢圓的方程為（II）設(shè)；則 得： 過點(diǎn)與橢圓相切的直線斜率 得：直線與橢圓只有一個交點(diǎn)解：(1)(方法一)由條件知，P，故直線PF2的斜率為.因為PF2F2Q，所以直線F2Q的方程為yx，故Q.由題設(shè)知，4, 2a4，解得a2，c1.故橢圓方程為1.(方法二)設(shè)直線x與x軸交于點(diǎn)M，由條件知，P.因為PF1F2F2MQ，所以.即，解得2a.所以a2，c1故橢圓方程為1(2)證明：直

13、線PQ的方程為 即yxa.將上式代入橢圓方程得，x22cxc20.解得所以直線與橢圓只有一個交點(diǎn)例4(2012福建理19)如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為8（）求橢圓E的方程（）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：解法一：(1)因為|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因為e，即，所以c1，所以b.故橢圓E的方程是

14、1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對稱性知，點(diǎn)M必在x軸上設(shè)M(x1,0)，則0對滿足(*)式的m、k恒成立因為，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.解法二：(1)同解法一(2)由得(4k23

15、)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對稱性知，點(diǎn)M必在x軸上取k0，m，此時P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x2)2(y)24，交x軸于點(diǎn)M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此時P，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為22，交x軸于點(diǎn)M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合條件的點(diǎn)M存在，則M的坐標(biāo)必為(1,0)以下證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)：因為M的

16、坐標(biāo)為(1,0)，所以，(3,4km)，從而330，故恒有，即存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.解法三：(1)同解法一（）由對稱性可知設(shè)與 直線 （*） （*）對恒成立， 得【變式訓(xùn)練4】 (2012 江西理20)已知三點(diǎn)，曲線上任意一點(diǎn)滿足（1）求曲線的方程；（2）動點(diǎn)在曲線上，曲線在點(diǎn)處的切線為問：是否存在定點(diǎn)，使得與都相交，交點(diǎn)分別為，且與的面積之比是常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說明理由解：(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化簡得曲線C的方程：x24y.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(0，t)(t0)滿足條件，則直線PA

17、的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲線C在Q處的切線l的方程是yx，它與y軸交點(diǎn)為F.由于2x02，因此11.當(dāng)1t0時，1，存在x0(2,2)使得，即l與直線PA平行，故當(dāng)1t0時不符合題意當(dāng)t1時，1，所以l與直線PA，PB一定相交分別聯(lián)立方程組解得D，E的橫坐標(biāo)分別是xD，xE，則xExD(1t).又|FP|t，有SPDE|FP|xExD|.又SQAB4，于是.對任意x0(2,2)，要使為常數(shù)，則t要滿足解得t1，此時2，故存在t1，使QAB與PDE的面積之比是常數(shù)2.【點(diǎn)評】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學(xué)思想. 高考中，解析幾何解答題

18、一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率等基本性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，定點(diǎn)，定值，探討性問題等；二、考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，準(zhǔn)線等基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，定點(diǎn)，定值，探討性問題等；三、橢圓，雙曲線，拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結(jié)合考查的可能性較大，因為它們都是考綱要求理解的內(nèi)容.海豚教育個性化簡案海豚教育個性化教案（真題演練）1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中。橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為。（1）求到點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程。（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，又直線交于點(diǎn),若，求線段的長；（3）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交直線于點(diǎn)，且和橢圓的一個交點(diǎn)為點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請說明理由。2.設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸長等于焦距，且是它的右準(zhǔn)線，(1) 求橢圓方程；(2) 設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓交于異于A、B兩點(diǎn)M、N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)3.如圖，已知橢圓的長軸為，過點(diǎn)的直線與軸垂直直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個頂點(diǎn)，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長到點(diǎn)使得，連結(jié)延長交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系