高考數(shù)學(xué)理第一輪復(fù)習(xí)學(xué)案——數(shù)列求和

1、第四節(jié)數(shù)_列_求_和知識能否憶起一、公式法1如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q1或q1.2一些常見數(shù)列的前n項和公式：(1)1234n；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1倒序相加法如果一個數(shù)列an，首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的2分組轉(zhuǎn)化求和法若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減3錯位相減法如果一

2、個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的4裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和小題能否全取1(2012·沈陽六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列(1)n的前n項和為Sn，則對任意正整數(shù)n，Sn()A.B.C.D.解析：選D因為數(shù)列(1)n是首項與公比均為1的等比數(shù)列，所以Sn.2等差數(shù)列an的通項公式為an2n1，其前n項的和為Sn，則數(shù)列的前10項的和為()A120 B70C75 D100解析：選CSnn(n2)，n2.故75.3數(shù)列a12，ak2k，a1020共

3、有十項，且其和為240，則a1aka10的值為()A31 B120C130 D185解析：選Ca1aka10240(22k20)240240110130.4若數(shù)列an的通項公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項和為_解析：Sn2n12n2.答案：2n1n225數(shù)列，的前n項和為_解析：因an則Sn.答案：數(shù)列求和的方法(1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或

4、錯位相減來完成不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和分組轉(zhuǎn)化法求和典題導(dǎo)入例1(2011·山東高考)等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前2n項和S2n.自主解答(1)當(dāng)a13時，不合題意；當(dāng)a12時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意；當(dāng)a110時，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an

5、2·3n1.(2)因為bnan(1)nln an2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln 2ln 3)123(1)2n2nln 32×nln 332nnln 31.由題悟法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbn±cn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.以題試法1已知數(shù)列xn的首項x13，通項xn2np

6、nq(nN*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項和Sn的公式解：(1)由x13，得2pq3，又因為x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.錯位相減法求和典題導(dǎo)入例2(2012·江西高考)已知數(shù)列an的前n項和Snkcnk(其中c，k為常數(shù))，且a24，a68a3.(1)求an；(2)求數(shù)列nan的前n項和Tn.自主解答(1)由Snkcnk，得anSnSn1kcnkcn1(n2)由a24，a68a3 ，得kc(c

7、1)4，kc5(c1)8kc2(c1)，解得所以a1S12，ankcnkcn12n(n2)，于是an2n.(2)Tnai·2i，即Tn22·223·234·24n·2n.Tn2TnTn22223242nn·2n12n12n·2n1(n1)2n12.由題悟法用錯位相減法求和應(yīng)注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種

8、情況求解以題試法2(2012·濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn3nk.(1)求k的值及數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足(4k)anbn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)當(dāng)n2時，由anSnSn13nk3n1k2·3n1，得等比數(shù)列an的公比q3，首項為2.a1S13k2，k1，數(shù)列an的通項公式為an2·3n1.(2)由(4k)anbn，可得bn，即bn·.Tn，Tn，Tn，Tn.裂項相消法求和典題導(dǎo)入例3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列

9、bn的前n項和Tn.自主解答(1)Snnann(n1)，當(dāng)n2時，Sn1(n1)·an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)·(n2)，即anan12.數(shù)列an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列，故an1(n1)·22n1，nN*.(2)由(1)知bn，故Tnb1b2bn1.本例條件不變，若數(shù)列bn滿足bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：Snnann(n1)n(2n1)n(n1)n2.bn，Tn1.由題悟法利用裂項相消法求和應(yīng)注意(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；(2)將通項裂項后，有時需

10、要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等如：若an是等差數(shù)列，則，.以題試法3(2012·“江南十?！甭?lián)考)在等比數(shù)列an中，a1>0，nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中項為16.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog4an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得<k對任意nN*恒成立若存在，求出正整數(shù)k的最小值；不存在，請說明理由解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意可得a316，a3a28，則a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，<，存在正整數(shù)k的最小值為3.1已知an是首項為1的等比數(shù)

11、列，Sn是an的前n項和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項和為()A.或5B.或5C.D.解析：選C設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意可知q1，且，解得q2，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得S5.2已知數(shù)列an的前n項和Snan2bn(a、bR)，且S25100，則a12a14等于()A16B8C4 D不確定解析：選B由數(shù)列an的前n項和Snan2bn(a、bR)，可知數(shù)列an是等差數(shù)列，由S25100，解得a1a258，所以a1a25a12a148.3數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn的值等于()An21B2n2n1Cn21Dn2n1解析：選A該數(shù)列的通項公式為an(

12、2n1)，則Sn135(2n1)n21.4(2012·“江南十?！甭?lián)考)若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a11，q2，則Tn的結(jié)果可化為()A1B1C.D.解析：選Can2n1，設(shè)bn2n1，則Tnb1b2bn32n1.5已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項和為()A.B.C.D.解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.a55，S515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項和為11.6已知函數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A0 B100C100 D10 200解析：選B由題意，a1a2a3a10012222232

13、32424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100.7在等差數(shù)列an中，Sn表示前n項和，a2a818a5，則S9_.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)及a2a818a5，得2a518a5，則a56，故S99a554.答案：548對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，an的“差數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列an的前n項和Sn_.解析：an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.答案：2n129已知等比數(shù)列an中，a

14、13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項和Sn_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q327，解得q3.所以ana1qn13×3n13n，故bnlog3ann，所以.則數(shù)列的前n項和為11.答案：10(2013·唐山統(tǒng)考)在等比數(shù)列an中，a2a332，a532.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，求S12S2nSn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意得解得a12，q2，故an2·2n12n.(2)Sn表示數(shù)列an的前n項和，Sn2(2n1)，S12S2nSn2(22·22n·2n)(12

15、n)2(22·22n·2n)n(n1)，設(shè)Tn22·22n·2n，則2Tn222·23n·2n1，得Tn2222nn·2n1n·2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12，S12S2nSn2(n1)2n12n(n1)(n1)2n24n(n1)11(2012·長春調(diào)研)已知等差數(shù)列an滿足：a59，a2a614.(1)求an的通項公式；(2)若bnanqan(q>0)，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則由a59，a2a614，得解得所以an的通項an2n1.(2

16、)由an2n1得bn2n1q2n1.當(dāng)q>0且q1時，Sn135(2n1)(q1q3q5q2n1)n2；當(dāng)q1時，bn2n，則Snn(n1)所以數(shù)列bn的前n項和Sn12(2012·“江南十校”聯(lián)考)若數(shù)列an滿足：a1，a22,3(an12anan1)2.(1)證明：數(shù)列an1an是等差數(shù)列；(2)求使>成立的最小的正整數(shù)n.解：(1)由3(an12anan1)2可得：an12anan1，即(an1an)(anan1)，故數(shù)列an1an是以a2a1為首項，為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知an1an(n1)(n1)，于是累加求和得ana1(23n)n(n1)，3，3>

17、;，n>5，最小的正整數(shù)n為6.1已知數(shù)列an的前n項和Snn26n，則|an|的前n項和Tn()A6nn2Bn26n18C.D.解析：選C由Snn26n得an是等差數(shù)列，且首項為5，公差為2.an5(n1)×22n7，n3時，an<0，n>3時，an>0，Tn2(2012·成都二模)若數(shù)列an滿足a12且anan12n2n1，Sn為數(shù)列an的前n項和，則log2(S2 0122)_.解析：因為a1a2222，a3a42423，a5a62625，.所以S2 012a1a2a3a4a2 011a2 0122122232422 01122 01222 0

18、132.故log2(S2 0122)log222 0132 013.答案：2 0133已知遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q.依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解得或又an為遞增數(shù)列，an2n.(2)bn2n·log2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n.2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1.得Sn222232nn·2n1n·2n12n1n·2n12.Sn2n1n·2n12.1已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)