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1、一個(gè)條件不等式探究的軌跡 松江四中(201601) 高吉全問(wèn)題:已知、,且,求證:上述簡(jiǎn)單的條件不等式,源于課本的習(xí)題,我們將從以下多方面對(duì)此作些廣泛的探究: (1)探究本題的證題思路; (2)利用歸納、類比、聯(lián)想的數(shù)學(xué)方法對(duì)本題作些推廣與拓展;(3)在條件不變的情況下,開(kāi)放性地尋求本題的多重等價(jià)性結(jié)論,借此進(jìn)一步作些探究.點(diǎn)撥1從下述幾方面探索本題的證題思路:(1)分析探路,尋找解題突破口;(2)換元著手,伺機(jī)利用熟悉的公式、結(jié)論;(3)利用函數(shù)思想探求函數(shù)的值域.探究1-1(分析法)注意、且, 則 探究1-2 (換元法)、且 探究1-3 (函數(shù)法) 、且 設(shè). 易知: , 即: 點(diǎn)撥2 對(duì)

2、原問(wèn)題作出推廣與拓展.首先注意到原問(wèn)題的結(jié)論表明:兩個(gè)和為1的正數(shù),它們的倒數(shù)和大或等于4; 那么三個(gè)和為1的正數(shù),它們的倒數(shù)和會(huì)有怎樣的結(jié)果呢? 四個(gè)和為1的正數(shù)呢? 進(jìn)一步,個(gè)和為1的正數(shù)呢?探究2-1 已知、且,則,這個(gè)“?”一下子不易估計(jì),注意到在解決原問(wèn)題時(shí),探究1-1與探究1-2都利用了兩個(gè)正數(shù)和的均值不等式,那么類比地,本例是否可嘗試?yán)萌齻€(gè)正數(shù)和的均值不等式呢? , 其中時(shí),等號(hào)成立 于是得到結(jié)論:若、,則探究2-2 設(shè) ,由原問(wèn)題與探究2-1的結(jié)論表明: 若,則(1) 若 ,則(2) 由(1)、(2)類比猜測(cè),得: 若,則 (3) 由(1).(2).(3)歸納猜測(cè),得: 若,

3、則 (4) 其中猜測(cè)、(4)正確,事實(shí)上: 若(、2、3、4)且 (其中時(shí),等號(hào)成立). 若(、2、 且 (其中 時(shí),等號(hào)成立).點(diǎn)撥3探究2-1、探究2-1,用類比、歸納、論證的思路,對(duì)原問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行了推廣與拓展,從元素個(gè)數(shù)變動(dòng)的背景下,得到了一個(gè)一般性的結(jié)論; 我們還可從元素次數(shù)變動(dòng)的背景下,開(kāi)拓另一個(gè)探究的思路: 既然兩個(gè)和為1的正數(shù),它們倒數(shù)的一次式的和大或等于4,那么它們倒數(shù)的二次式的和會(huì)有怎樣的結(jié)果呢? 倒數(shù)的三次式的和呢?進(jìn)一步,倒數(shù)的次式的和呢? 探究3-1已知且, 則, 這個(gè)“?”利用均值不等式易獲解. 于是得到結(jié)論:若、且,則(,其中時(shí)等號(hào)成立.探究3-2 設(shè)、且,由原問(wèn)

4、題與探究3-1的結(jié)論表明: (1) (2) 由(1).(2)歸納猜測(cè),得: (3) 上述猜測(cè)(3)成立,事實(shí)上: , 其中時(shí),等號(hào)成立點(diǎn)撥4 探究2-1、2-2的著眼點(diǎn)是變動(dòng)元素的個(gè)數(shù),探究3-1、3-2的著眼點(diǎn)是變動(dòng)元素的次數(shù), 由此分別得到了原問(wèn)題的推廣結(jié)論. 在此基礎(chǔ)上,我們著眼于更大膽的探究思路:同步變動(dòng)元素的個(gè)數(shù)和次數(shù). 探究方法是特例摸索、再歸納猜想、最后論證真?zhèn)?探究4-1 設(shè) , 由,類比探究下述問(wèn)題: 若,則 (1) 若 ,則 (2) 若,則 (3) 利用均值不等式,上述問(wèn)題(1)、(2)、(3)易獲解: 當(dāng)時(shí): 2當(dāng)時(shí): 當(dāng)時(shí): 探究4-2反思探究4-1的結(jié)論(3), 總覺(jué)

5、得這個(gè)結(jié)論不暢, 其中元素的個(gè)數(shù)與元素的指數(shù)并不獨(dú)立,互相制約.如果元素的個(gè)數(shù)與元素的指數(shù)互相獨(dú)立,互不相關(guān),那么結(jié)論該是什么呢?即: 若且,則 (4)利用均值不等式, 問(wèn)題(4)不難獲解: (其中時(shí),等號(hào)成立) 探究4-2的最終結(jié)論比較完滿,它表明:“個(gè)和為1的正數(shù),它們的倒數(shù)的次方和大于或等于的n+1次方”.其中,當(dāng)“它們的倒數(shù)的次方和”改為“它們的倒數(shù)的次方和”,就成了探究4-1的最終結(jié)論;當(dāng)“個(gè)和為1的正數(shù)”改為“兩個(gè)和為1的正數(shù)”,就成了探究31,32的最終結(jié)論;當(dāng)“它們的倒數(shù)的次方和”改為“它們的倒數(shù)和”,則成了探究21、21、22,探究31、32,探究41的結(jié)論全都是探究42結(jié)論

6、的特例;而探究42的結(jié)論,則是探究21、22,探究31、32,探究41結(jié)論推廣.點(diǎn)撥5現(xiàn)在換個(gè)角度繼續(xù)對(duì)原問(wèn)題作些探究,要求是:條件不變、結(jié)論開(kāi)放、提出新的不等式命題. 即已知、且,探尋新的關(guān)于、的不等式。探究的基本思路有兩條:(1)將原問(wèn)題的結(jié)論在題給條件下作等價(jià)變形.(2)甩掉原有結(jié)論,直接利用條件等)對(duì)、重新組合.探究5、 由 得: (1) 由 得: (2) 由 , , 得:; (3) (4) 由 得: (5) 由 得: (6) 由 得: (7) 易知,上述(1)(7)各式中,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.點(diǎn)撥6 探究5的意義在于:由此又開(kāi)辟了一塊又一塊的探究天地.既然原問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論,通過(guò)

7、歸納、類比、聯(lián)想、探究,意外掘出了一大籮的寶藏,那末有理由相信,利用探究5所得的一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論(1)(7)的再探究,一定會(huì)掘出一籮又一籮的寶藏,不仿選幾個(gè)再試試看.探究6-1 由探究5的結(jié)論(1)、(2)式:若、且,則, .由此進(jìn)一步探究拓展推廣: 從元素次數(shù)上推廣: 由上歸納猜測(cè): 若、且,則 上述猜測(cè)成立,可由數(shù)學(xué)歸納法證之.(1) 當(dāng)、2時(shí),命題顯然成立;(2) 若 時(shí),命題成立,即、時(shí),有,則時(shí), 命題也成立.由(1)、(2): 若、且,則 ,易知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.從元素個(gè)數(shù)上推廣: 設(shè)、且,探究, , 由此,結(jié)合探究5的結(jié)論(1)式, 歸納猜測(cè): 若、, 且,則,可以證明,這個(gè)猜

8、測(cè)也是成立的., , , , ) , ,易知當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立. 從元素次數(shù)、元素個(gè)數(shù)同步推廣: 設(shè)、,且,探究 觀察反思上述、最后的二個(gè)推廣結(jié)論,發(fā)現(xiàn)這二個(gè)結(jié)論有如下的共性:個(gè)和為1的正數(shù),它們的n次方的和都大或等于一個(gè)指數(shù)式的倒數(shù),這個(gè)指數(shù)式的底數(shù)就是元素的個(gè)數(shù) ,指數(shù)就是元素的次數(shù)與1的差,將此共性寫成數(shù)學(xué)式得: 若、,且,則 上述猜測(cè)是成立的(但證明過(guò)程已超綱),由冪均不等式 得:即,、,其中當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立. 探究6-2由探究5的結(jié)論(5)式: 若、且,則 從元素個(gè)數(shù)進(jìn)行拓展推廣: 設(shè)、且,則: 易知時(shí),等號(hào)成立.歸納猜測(cè): 若、,且,則上述猜測(cè)可由數(shù)學(xué)歸納法、結(jié)合組合知識(shí)予以證明,但很麻煩(略).探究6-3由探究5結(jié)論(7)式: 若、且,則 從元素的個(gè)數(shù)上進(jìn)行拓展推廣:設(shè)、 且,探究同理, 歸納猜測(cè):若、2、且,則上述猜測(cè)仿照的證題思路可予以證明: ,其中時(shí),等號(hào)成立.小結(jié) 本節(jié)一個(gè)條件不等式推廣的探究思路如下:點(diǎn)拔4(類比)(變?cè)貍€(gè)數(shù)、次數(shù))次數(shù))(開(kāi)放結(jié)論)點(diǎn)拔3(類比)(變?cè)卮螖?shù))數(shù))點(diǎn)撥2(類比)(變?cè)貍€(gè)數(shù))(證題思路)探究1-1:分析法探究1-2:換元法探究1-3:函數(shù)法探

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