條件不等式的探究、再探究

1、一個(gè)條件不等式探究的軌跡 松江四中(201601) 高吉全問(wèn)題：已知、，且，求證：上述簡(jiǎn)單的條件不等式，源于課本的習(xí)題，我們將從以下多方面對(duì)此作些廣泛的探究: (1)探究本題的證題思路; (2)利用歸納、類比、聯(lián)想的數(shù)學(xué)方法對(duì)本題作些推廣與拓展；（3）在條件不變的情況下，開(kāi)放性地尋求本題的多重等價(jià)性結(jié)論，借此進(jìn)一步作些探究.點(diǎn)撥1從下述幾方面探索本題的證題思路：（1）分析探路，尋找解題突破口；（2）換元著手，伺機(jī)利用熟悉的公式、結(jié)論；（3）利用函數(shù)思想探求函數(shù)的值域.探究1-1（分析法）注意、且, 則 探究1-2 (換元法)、且 探究1-3 (函數(shù)法) 、且 設(shè). 易知: , 即: 點(diǎn)撥2 對(duì)

2、原問(wèn)題作出推廣與拓展.首先注意到原問(wèn)題的結(jié)論表明:兩個(gè)和為1的正數(shù),它們的倒數(shù)和大或等于4; 那么三個(gè)和為1的正數(shù),它們的倒數(shù)和會(huì)有怎樣的結(jié)果呢? 四個(gè)和為1的正數(shù)呢? 進(jìn)一步,個(gè)和為1的正數(shù)呢?探究2-1 已知、且，則，這個(gè)“？”一下子不易估計(jì)，注意到在解決原問(wèn)題時(shí)，探究1-1與探究1-2都利用了兩個(gè)正數(shù)和的均值不等式，那么類比地，本例是否可嘗試?yán)萌齻€(gè)正數(shù)和的均值不等式呢？ , 其中時(shí)，等號(hào)成立 于是得到結(jié)論：若、，則探究2-2 設(shè) ，由原問(wèn)題與探究2-1的結(jié)論表明： 若，則(1) 若 ，則(2) 由（1）、（2）類比猜測(cè),得： 若,則 (3) 由（1）.(2).(3)歸納猜測(cè),得: 若,

3、則 (4) 其中猜測(cè)、（4）正確，事實(shí)上： 若(、2、3、4)且 （其中時(shí)，等號(hào)成立）. 若(、2、 且 （其中 時(shí),等號(hào)成立).點(diǎn)撥3探究2-1、探究2-1，用類比、歸納、論證的思路，對(duì)原問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行了推廣與拓展，從元素個(gè)數(shù)變動(dòng)的背景下,得到了一個(gè)一般性的結(jié)論; 我們還可從元素次數(shù)變動(dòng)的背景下,開(kāi)拓另一個(gè)探究的思路: 既然兩個(gè)和為1的正數(shù),它們倒數(shù)的一次式的和大或等于4,那么它們倒數(shù)的二次式的和會(huì)有怎樣的結(jié)果呢? 倒數(shù)的三次式的和呢?進(jìn)一步,倒數(shù)的次式的和呢? 探究3-1已知且, 則, 這個(gè)“?”利用均值不等式易獲解. 于是得到結(jié)論:若、且，則（,其中時(shí)等號(hào)成立.探究3-2 設(shè)、且，由原問(wèn)

4、題與探究3-1的結(jié)論表明： （1） （2） 由（1）.(2)歸納猜測(cè),得: (3) 上述猜測(cè)(3)成立,事實(shí)上: , 其中時(shí),等號(hào)成立點(diǎn)撥4 探究2-1、2-2的著眼點(diǎn)是變動(dòng)元素的個(gè)數(shù)，探究3-1、3-2的著眼點(diǎn)是變動(dòng)元素的次數(shù), 由此分別得到了原問(wèn)題的推廣結(jié)論. 在此基礎(chǔ)上，我們著眼于更大膽的探究思路：同步變動(dòng)元素的個(gè)數(shù)和次數(shù). 探究方法是特例摸索、再歸納猜想、最后論證真?zhèn)?探究4-1 設(shè) , 由，類比探究下述問(wèn)題： 若，則 （1） 若 ，則 （2） 若,則 (3) 利用均值不等式,上述問(wèn)題(1)、（2）、（3）易獲解： 當(dāng)時(shí): 2當(dāng)時(shí): 當(dāng)時(shí): 探究4-2反思探究4-1的結(jié)論(3), 總覺(jué)

5、得這個(gè)結(jié)論不暢, 其中元素的個(gè)數(shù)與元素的指數(shù)并不獨(dú)立,互相制約.如果元素的個(gè)數(shù)與元素的指數(shù)互相獨(dú)立,互不相關(guān),那么結(jié)論該是什么呢？即： 若且，則 (4)利用均值不等式, 問(wèn)題(4)不難獲解: (其中時(shí),等號(hào)成立) 探究4-2的最終結(jié)論比較完滿,它表明:“個(gè)和為1的正數(shù)，它們的倒數(shù)的次方和大于或等于的n+1次方”.其中,當(dāng)“它們的倒數(shù)的次方和”改為“它們的倒數(shù)的次方和”，就成了探究4-1的最終結(jié)論；當(dāng)“個(gè)和為1的正數(shù)”改為“兩個(gè)和為1的正數(shù)”，就成了探究31，32的最終結(jié)論；當(dāng)“它們的倒數(shù)的次方和”改為“它們的倒數(shù)和”，則成了探究21、21、22，探究31、32，探究41的結(jié)論全都是探究42結(jié)論

6、的特例；而探究42的結(jié)論，則是探究21、22，探究31、32，探究41結(jié)論推廣.點(diǎn)撥5現(xiàn)在換個(gè)角度繼續(xù)對(duì)原問(wèn)題作些探究，要求是：條件不變、結(jié)論開(kāi)放、提出新的不等式命題. 即已知、且，探尋新的關(guān)于、的不等式。探究的基本思路有兩條：（1）將原問(wèn)題的結(jié)論在題給條件下作等價(jià)變形.(2)甩掉原有結(jié)論,直接利用條件等)對(duì)、重新組合.探究5、 由 得： （1） 由 得： （2） 由 ， ， 得：； (3) （4） 由 得： （5） 由 得： （6） 由 得： （7） 易知，上述（1）（7）各式中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.點(diǎn)撥6 探究5的意義在于:由此又開(kāi)辟了一塊又一塊的探究天地.既然原問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論,通過(guò)

7、歸納、類比、聯(lián)想、探究，意外掘出了一大籮的寶藏，那末有理由相信，利用探究5所得的一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論（1）（7）的再探究，一定會(huì)掘出一籮又一籮的寶藏，不仿選幾個(gè)再試試看.探究6-1 由探究5的結(jié)論(1)、（2）式：若、且，則， .由此進(jìn)一步探究拓展推廣： 從元素次數(shù)上推廣: 由上歸納猜測(cè): 若、且，則 上述猜測(cè)成立，可由數(shù)學(xué)歸納法證之.(1) 當(dāng)、2時(shí)，命題顯然成立；(2) 若 時(shí)，命題成立，即、時(shí)，有，則時(shí)， 命題也成立.由（1）、（2）: 若、且，則 ，易知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.從元素個(gè)數(shù)上推廣: 設(shè)、且,探究, , 由此,結(jié)合探究5的結(jié)論(1)式, 歸納猜測(cè): 若、， 且，則，可以證明，這個(gè)猜

8、測(cè)也是成立的., , , , ) , ,易知當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立. 從元素次數(shù)、元素個(gè)數(shù)同步推廣： 設(shè)、，且，探究 觀察反思上述、最后的二個(gè)推廣結(jié)論，發(fā)現(xiàn)這二個(gè)結(jié)論有如下的共性：個(gè)和為1的正數(shù)，它們的n次方的和都大或等于一個(gè)指數(shù)式的倒數(shù)，這個(gè)指數(shù)式的底數(shù)就是元素的個(gè)數(shù) ，指數(shù)就是元素的次數(shù)與1的差，將此共性寫成數(shù)學(xué)式得： 若、，且,則 上述猜測(cè)是成立的(但證明過(guò)程已超綱),由冪均不等式 得:即,、，其中當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立. 探究6-2由探究5的結(jié)論(5)式: 若、且，則 從元素個(gè)數(shù)進(jìn)行拓展推廣： 設(shè)、且，則： 易知時(shí),等號(hào)成立.歸納猜測(cè): 若、，且，則上述猜測(cè)可由數(shù)學(xué)歸納法、結(jié)合組合知識(shí)予以證明，但很麻煩（略）.探究6-3由探究5結(jié)論(7)式: 若、且，則 從元素的個(gè)數(shù)上進(jìn)行拓展推廣：設(shè)、 且，探究同理， 歸納猜測(cè)：若、2、且，則上述猜測(cè)仿照的證題思路可予以證明： ，其中時(shí)，等號(hào)成立.小結(jié) 本節(jié)一個(gè)條件不等式推廣的探究思路如下：點(diǎn)拔4（類比）（變?cè)貍€(gè)數(shù)、次數(shù)）次數(shù)）（開(kāi)放結(jié)論）點(diǎn)拔3（類比）（變?cè)卮螖?shù)）數(shù)）點(diǎn)撥2（類比）（變?cè)貍€(gè)數(shù)）（證題思路）探究1-1：分析法探究1-2：換元法探究1-3：函數(shù)法探