構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式江西省永豐中學(xué) 徐文暉 李正文構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺.1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例1 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，對于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng)a

2、n.解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且. 例2 數(shù)列中前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解： 當(dāng)n2時， 令，則，且 是以為公比的等比數(shù)列， .2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.例3 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得. ，. .例4 數(shù)列中，且，（nN*），求通項(xiàng)公式an.解： （nN*）3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡單方法.例5 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.解： ， 4、構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以解決.例6 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，例7 已知數(shù)列中，n2時，求通項(xiàng)公式.解：，兩邊取倒數(shù)得.