三角函數(shù)變換方法

1、II精誠(chéng)凝聚7=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼主講：金立建（特級(jí)教師）（接第 1010 講） 3 3 . .變式變式是三角式化間、求值的主要方法之一，且變式總是與如何變角、變換函數(shù)名稱(chēng)緊密 相連，變式是目的，而變角與變換函數(shù)名稱(chēng)則是變式的手段和必不可缺的步驟一看角，二看三角函數(shù)名稱(chēng)，三看式子特征，并注意這三者之間的相互關(guān)系和相互聯(lián)系， 不斷向有利于結(jié)論的方向轉(zhuǎn)化，這就是三角度換的總的策略和方向例 1111 若 A A+ B B+ C C=二，求證 tgAtgA+ tgBtgB + tgCtgC= tgAtgAtgBtgBtgC.tgC.分析 等式左邊為“和”的形式，右邊為“積”

2、的形式，從“和”的互相轉(zhuǎn)化，可得到 如下證法. .證法 1 1（由左式向右式轉(zhuǎn)化一一湊出“積”的形式）tg4+tg5+ttg4+tg5+t呂 C=tgAJ + 牢空)=毎卩+辻沁迓型的tgA丁七詔=飾斥一+C) = _梶込+O故(水)式可逬一步化為tg-4 1 (1tgO =剖 tgC.證法 2(由右式向左式轉(zhuǎn)化一一湊出汩和的形式)右+ (tgtgBtgC-t&X)=t&4+tg4(tg5 tgC1) =十劃+弋訓(xùn)l，gF + tgf =tgl+tg+tgC=左邊.-tgfB + Q例 12 (95 全國(guó))求 sinO0+COSE50 +sin20 cosSO* 的值 解法 1

3、 原式=sin205(sinEO* +JosBO ) + cos?50Q=sin20 (+ sin40 ) + tosE50=sin20*2 sinao1* coslO + cosf50fl=(ginSO。+ sinlO* ) + (1+coslOO* )2 2= (+sinlOa+1sinlO* )2 2=34解法 2 原式二丄(1cos40fl) +- (1+coslOO ) + sin20 cos&3 2 21+ - (coslOOc cosdO ) + (sinTOz0 sin30 )2 2sinTO* sin30 + sinTO*42以上兩種解法，一是通過(guò)提取公因式，一是通過(guò)

4、降馬，目的都是為了 “配角”，均屬常 規(guī)解法，著眼點(diǎn)是 3配角” 如果我們將觀察點(diǎn)移到式子的結(jié)構(gòu)上來(lái)，則不難不發(fā)現(xiàn)；所求 之式精誠(chéng)凝聚=A_A=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼前兩項(xiàng)為兩個(gè)三角函數(shù)冊(cè)平方和，后一項(xiàng)為二肴之積，與余弦定理的彫式十分相似，如 果我門(mén)將正弦定理的結(jié)論 i=2Jfcin=2jfeinC代入余弦定理的公式c/=2E+z；E2coa4 中，則得sjn4=sinB+ sin C2sinBsinCosi4 (+)顯然，這是余弦定理的三第形式，式中小 B. C 應(yīng)滿足條件：+萬(wàn)+0= 用 sin40c替代本題所證之式中的 cos50J，有原 zt=sin20* -F

5、sinO0+ sin20 sinJO*=sine20 + sinB40c 2sin2Oa* sin40 coslSO0/20c+40 +1204=180，以照(*)式得原式=37120& -,4至此，瓏們很自然墓思考一個(gè)間題：等式(*)對(duì)任意角衛(wèi)、B (不妨記作口、B )能否 成立？即等式sin a +sinEf +2sina sin cos( 口十 B )=sin ( a + B )對(duì) OH B ER 是否成立？下面給出它的證明：記 xsin ct +sin2f + 2s in a sinf cos( a + B )棍據(jù) r的特點(diǎn)，輔以“配偶式嚴(yán)y=cosEa H-cos13 2co

6、sacosB cos(u + P ),貝 IJ 有工+T= 22cos (a + B ) (gg 邑 a gg旦 B 書(shū) in 口 winB )_=22Cosz( d + B ) = 2sin3( 口 + B );xcos2acos2 P +2cos( a + 卩)(sina sinp +cosa cos f ) 2cos(a + 8 ) cos (a 6 ) + 2cos (a +B )cos (a) =0/.xy=sin( Ot + p ).即sin a: +sinEB +2win Q sin 卩 cos( G + P )=sin (a 4 P ) cos1a +cosf6 2cos o

7、cos B cos( a + E)=sin (a + B)評(píng)析 JU 就漾 根據(jù)式子工左辺的特點(diǎn)，巧妙地駅上一個(gè)和它“配偶紗的式子嚴(yán) 利 用 x土尸這兩個(gè)等式使間題順利得到解決其中，當(dāng)用 cosa.cosp 依次替換 x 中 sina,sine 時(shí)有意識(shí)地改變了第三項(xiàng)的符昱其目的是汰了緡嚴(yán)出E )例 13 化簡(jiǎn)；2sin=a sin2P +2cosza coseP cos2 a cos2 P , 解法 1 原式=2sinLBa sinEB +2(1 sinfa )cosE0 cos2 a cos2 6=2COEEp - 2sinECL(cosEB sin p ) cos2 口 cos2 f=(

8、co2 5+1) cos2 5 (2sin2d +12sin2ci)=1.解沫 2原式=洗 mEQSJ.IIP +2COSCt R (2CosfCI 1) *(2Cos?B 1)=:2sinz臥 sin B 2cosEa coszP +2cosEa -|-3cosfP1 = 2sinEa sin 2cos U (1CosE5 )+2cosEf1=2sin B (sin.Eat +sin.ER ) +2COEZ3 12 (sin1P +cos=B )1II精誠(chéng)凝聚7=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼=1.貼法 3 原式=2 (sinCI sin Cos CI Cos 冃)S+4si

9、n Ot smf Cos d Cos B CciwZ Ct Cos2 $=2cof(a + P ) (cos2 a cos2 Psin2a sin2 卩)=l+cos2(a + P )cos(2fl +2B )=1.評(píng)析 本例解法 1 1 是把 coscos2a a 轉(zhuǎn)化為 SinSin2a a，即從“名”著手；解法 2 2 是把 2 2 a a 和2323 的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化在 a a 和 3 3 的三角函數(shù)，即從“角”著手；解法3 3 則根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，尋找差異，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，通過(guò)配方達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，即從“形”著手從三種解法可以看到：無(wú)論是從“名”或“角”或“形”著手，變角、變名、變形總是相

10、依相存，相互聯(lián)系的 如變形的過(guò)程常伴隨著變角和變名，而變角和變名的目的又常常是為了變形，它們緊密相連,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化4 4解三角形三角形的形狀和大小，決定于它的六個(gè)組成元素：三個(gè)角和三條邊，這六個(gè)元素不是彼 此獨(dú)立、孤立存在的，而是互相聯(lián)系、互相制約、互相依存的一個(gè)元素的變化必然牽動(dòng)其元素的相應(yīng)變化根據(jù)初中平面幾何的知識(shí)(主要是作三角形的條件)，我們知道一旦知道了六個(gè)元素中的三個(gè)元素 (至少有一邊)或元素間的關(guān)系， 且這些已知量或已知關(guān)系又符合平 面幾何作三角形的條件，就可以根據(jù)已知條件求出所有的元素，因而確定這三角形的形狀和大小這樣的從已知量求出未知量，從而確定三角形的過(guò)程我們稱(chēng)之為

11、解三角形(1) 在初中我們學(xué)習(xí)了解直角三角形，直角三角形里的邊角關(guān)系，是任意三角形里邊 角關(guān)系的特殊情形，而后者又是前者的高級(jí)形式這里，我們將解三角形的知識(shí)整理如下：(i)(i)解直角三角形II精誠(chéng)凝聚7=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼已知條件解袪一條邊直箱辺和一銳甫（如 aM）號(hào)=90-衛(wèi)昇=asinJ4b=4 Ctg, S= b斜邊和一鋭第（如 McosC+ccos b=cosC+ccosXcCOSB+2?COSJ4(計(jì))面積公式S=r-p(V )外接圓半徑_ abcS=4 J?哉=占=c2 sin A 2 sin 52 sin C(vi)(vi)內(nèi)切圓半徑(3)(3)如果

12、已知量的三個(gè)獨(dú)立條件不完全是三角形的邊和角，要解這類(lèi)三角形時(shí)，就不能直接精誠(chéng)凝聚=人_人=成就夢(mèng)想.鑼點(diǎn)亮心燈/()照亮人生.鑼運(yùn)用解三角形的基本方法，而必須運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系. .從題型而言，主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是證明三角形中的邊角等式，如例 1414例 1616;另一類(lèi)是根據(jù)題設(shè)條件，確定三角形的形狀，如例 18.18.1證明三角形中的邊角等式或判定一個(gè)三角形形狀，主要依據(jù)是正弦定理或余弦定理，據(jù)此可將三角形中“邊”與“角”進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角等式或代數(shù)等式. .2判定一個(gè)三角形的形狀，可以根據(jù)角的關(guān)系，也可以根據(jù)邊的關(guān)系. .其基本思路總是通過(guò)和差化積把已知條件中的邊角關(guān)系化為一

13、邊為零，另一邊為三角或代數(shù)式的“積”形式. .3解這類(lèi)問(wèn)題還要注意隱含條件：A A+ B B+C C= n n , ,以兩邊之和大于第三邊等關(guān)系的應(yīng)用. .例 1414 已知 A A+ B B+ C C= n n，求證：2 2 2sinsin A A sinsin B B sinsin C C= 2cosAsinBsinC2cosAsinBsinC1 -COS2J4 1 -CQS2B證號(hào)1 1左式=-2 2(COS2J4Cos25)sirC2=sin L4+& sinCA呂)(+B) =sin(-4 + 5)sinl4+) sint4+5) 二庾等式成立.址訣 2利用正弦定理sinj4

14、sinF-sinC-(扌一擴(kuò)一扌)利用正弦定理和余弦走理右式=十土三詩(shī)煌=汾)原等式成立 . .評(píng)析(1 1)證明三角形中的邊角等式的主要依據(jù)是正弦定理、余弦定理以及三角式的恒等變形運(yùn)用正弦、余弦定理時(shí)，?？蓪ⅰ斑叀迸c“角”進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，如證法2 2 即是將三角等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，有時(shí)則相反(2) 在用三角式的恒等變形證明三角形中的三角等式時(shí)，其解題的一般規(guī)律是：二項(xiàng)化積、倍角公式，提取公因式，再化積. .遇有三角式的平方項(xiàng)，則利用半角公式降次(3)對(duì)三角形中的角 A A,B B, C C,熟記下列變換將給解題帶來(lái)方便：sin(Asin(A+ B)B)=sin CA+B _ . Ccos .

15、cos- sin .22 2ctgp ctgi=tgsinA+sinBsinA- sin BCtgy - CtgA-B二 Ctg=tC左式=2 cos-2證由已知C 圧A + B精誠(chéng)凝聚=A_A=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼二十月=2L ，即18。勺.2 2 2評(píng)析 本例是已知函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系等式證明這類(lèi)問(wèn)題常由給出的條件等式 導(dǎo)出含有待征角的一個(gè)同名三甬函數(shù)等式并根據(jù)角的取值范圍證得角的關(guān)系式-例 18已知XBC 中，有解由已知等式，得sintcosLH-EcosB)=sin(7(co&4+ 2GOSC) 移項(xiàng),整理得cos/1 (s irtB sinC) +

16、(s in2Bsin2C)0. 和差化積.得2coals.nc- (cos-2co2 2將括號(hào)內(nèi)用和、差甫公式展開(kāi)并整理得B + CrtB-C_B C , B C .cos-2cos- 二I3sin sin +cos cos J2 2 2 2 2 2 縣然該式恒取負(fù)值故只能有即 71=90或 E=C即蟲(chóng) BE 是直角三甬醪或等睡三角形.(4)三甬形中的邊角關(guān)系，教材是把它作為三角和、差角公式積化和差、和差化積的具 體應(yīng)用出現(xiàn)的因而解三角形不是根本目的熟煉掌 1S 三角公式玨其恒等變形并在具體應(yīng)用 中融會(huì)貫通，加深理解才是真正的目的.在復(fù)習(xí)中對(duì)此應(yīng)有潘醒的認(rèn)識(shí).例 19 C號(hào)全國(guó))已知山玫?的三

17、個(gè)內(nèi)角 AfB,C 滿足：H+c=2 耳一!一+!= cosA cosC-忑.7 cos _的值.cosB2分析 由題設(shè)條件衛(wèi)+*田知兒也亡成等差數(shù)列，且 B-S0 /+*遼 0 故題目中移項(xiàng)得沁伴. A-Bcos-Fsin )2sin2A-B十cos-A+SC為銳第,.C0EdiA+B2casA + 2 cosCsmB54 + 2 cosB sin C試遡斷乂cosi4sin=0.=0.COSL4=0 或B-CS1D-)2 2. A+B + cos-20+精誠(chéng)凝聚=A_A=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼的另一條件可化再 + =一2忑.COSA COSC解袪 1 (從甬度入手)

18、由已 50 AfBsC 等差數(shù)列且 F=6Oft,故可設(shè)+e l +tgB+tgltgBj 且 sinBcosB 則厶 ABC 是（）.4A.正三角形B.直角三角影C.正三角形或直角三角形D.直賓 I三角形或等腰三角形6在 ABC A3., C Xj 直角則 sinX+2sin2（）.幾有最大值而無(wú)蠱小值B.有最小值而無(wú)最大值C.有最大值也有最偃D.無(wú)最大值也無(wú)最小值二、選擇填空匚從萬(wàn)組中選出符合 A 組所給條件的正確結(jié)論.（表中三角函數(shù)式中的兒 C 溝三角冊(cè) 朗內(nèi)角）A(1)cosA cosB 匚 osG4+萬(wàn))AO；(2)sinE7sinEJ4+ sin;七剖 tgB-1;(4) cos5

19、4+ cos?+ cossf7= 1,(5)git?! +sit?尸&B（）銳角三角形；（c）直角三角畛0）鈍角三角形；（也依所給條件無(wú)法確定它是哪類(lèi)三角形.答：(_;(2)_ ;(3)_ ;(4)_;(5)_A(1) sinl4sin2B;(2) 2COSL4COS5=1COSC;(3)tM * siriB=t sin?j4； (4)sinC=；(5) (wiM+coM) (in5+cosF) =2,B. 303*在厶衛(wèi)乃 C中，已知衛(wèi)=60則a + b + csin-4 + sin B1H-sin(?等于3精誠(chéng)凝聚=A_A=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼BS）等腰三

20、角形.直角三角形；（ri 等響三角形或直角三甬形； 仙等膜直角二角形；仏）等邊二角形.答：(1)_,(2)_ ;(3)_ ;(4)_ ”(5)._,三、籬答題9.C 92 全國(guó))求 sins20fl+cosE80 + 血盤(pán)辿 20 cos8Oc的值.10* 求證；cos3ct+ sin3cc+ cosasiriCL=41/2 cos ( Ct) sinf() cos? *442211.若 IX、p為銳角.且 3sin2a+2sin 1=1, 3sin2a2sin2p=0J求證* 比+郵=牛12-求證:cosE$4 cosz(6+(X) 2cos(x cos6 cos (64(x)的值與 0兀艾

21、”13. 已知 f(x) COS(J:ex)2cos (xa) cosxcoscx+ cos2cx+ sin 求證：f(r)是周期 為 h 的偶函數(shù).(reR)14. 在心加中，巳依次咸等差數(shù):列品尸牯求 cosA 的值.15. HJffl LABC 中drcoss + ccoss-,求證:&+ c=2i).2 2 216. 已知三內(nèi)角扎 5C依次成等差數(shù)列，公差為色又 二廠，二也成SIH2J4 sm2F sifi2C 等差數(shù)列，求 C0Se.答案與提示【答案】II精誠(chéng)凝聚7=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼.B DB AA D二、7. Wbf(3)i;巧 匚&

22、(l)c;豈 c;b, (5)da -_ b _ c.也十臼十 c_ a _ JT _ 2亍sifulsifiE sinC *situ!4- sinB + sinCsinJl爲(wèi)3+ cos4, siaffsinC =-2sinBsm(? 1cos (B+ C )=1cosFcosCH-sin5sinG2 cosC5C)= l.5.由例 11可知堤尸笛二尸妙又 心25=盤(pán)二召=血（不企舍去）或 =60Q.6. */.4+5=90 , /. sins3 ,2sinEB=posE5_l_2sinEB 14,siREBio.從左到右是三角式的；和；的形式轉(zhuǎn)花為“積總的形空.故從式入手：左式=(遇 HH

23、-since) CcOs：OCCOsOLsinCt+ ln：0L)+ Csin：cx+ CosSOt) (sinCt+ C0sCL)(CDSOL sinCt)=CcosCtH-sintx)(1(1 costtsinCt + coSCL sinCt) = CcostlH-siruOL)(1 + cosOt) (1 siiuOt.)=4cos （ （X）sin1（ ） coss 442211.思路關(guān)于甬的等式的題一股轉(zhuǎn)化為證甬冊(cè)三角函數(shù)值如本題可轉(zhuǎn)為證昇 n（a十 郵）=1 或 cos （cx+殆）= =0 0或tg2p=匚堤 a等.二g peCO /-(x+2p6 (0, ), A cx+2p

24、-.三、9.-415* 1;12 式子的值溝雖4sintx是定值13. f (耳)=扌(lcas2rf14,_12+526【提示】2由已知 n 扮“一/be=1=1 =COSJ4=.2=扌=護(hù)+孑一 2drbcosL4=l 乩EF 法 1 J 3sin Ct+ 2sine|B=13sin2(x2sinp=0斗=竺竺坐 cosa $in203sinE0tcos2pSsinac osa. s in2|3=cos(tx+精誠(chéng)凝聚=A_A=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼.ctg( ot) =ctg2pj .tXs 匪(0$ 扌)ctg2ptga0j etg ( a) ctg2p, .cLi p foj )j ctg2|S= tga0j .2|Se foj .)二 2 2fiE法 2 由證法 1 ，tgCL=ctg2pII精誠(chéng)凝聚7=成就夢(mèng)想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼a=23目卩 cr+ap-.2 212. cose9+ cose(a+ 6) + 匚2& +