第一章-球面幾何與球面三角學

1、第一章球面幾何與球面三角學球面幾何與球面三角學作為數(shù)學的一個分支，主要研究球面上圖形的性質(zhì)、球面上由三 個大圓弧所構(gòu)成的球面三角形及其解算等問題。球面幾何和球面三角學的發(fā)展與應(yīng)用，與天文學、測量學及航海學的發(fā)展與應(yīng)用有著密 切的聯(lián)系，是天文航海的數(shù)學基礎(chǔ)。本章介紹與天文航海相關(guān)的球面幾何與球面三角學基本知識。第一節(jié)球面幾何球面幾何研究分布在球面上的圖形的性質(zhì)，其所涉及的部分概念與原理，是學習天文航 海必備的基本知識。、球和球面一個半圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)面, 稱為球面。球面所圍成的幾何體，稱為球,或稱球體。球內(nèi)到球面上任一點的距離 都相等的點，稱為球心。連接球心和球 面上任一點的線段，

2、稱為球的半徑；連 接球面上兩點且通過球心的線段，稱為 球的直徑。直徑的長度是半徑的兩倍， 且同一球體的半徑或直徑都相等。在天文航海中，近似于旋轉(zhuǎn)橢球體 的地球，常被當做球體加以研究。 此外， 宇宙也以球體模型加以描述。二、球面上的圓任一平面與球面相截的截痕是一個圓。如圖1-1-1所示，設(shè)HH是過球心O 的平面，平面MM不過球心但平行于平 面HH ,則平面MM和HH與半徑為R 的球面相截，截痕ABC和QQ N為圓。圖1-1-1中，設(shè)O是過O點向平面MM所作垂線白垂足， OA R為球的半徑，根據(jù)勾 股定理，在直角三角形AOO中，有OA JOA2 OO 2(1-1-1)設(shè)OO d , OA r ,可

3、得2.2r UR d(1-1-2)分析圖1-1-1和式(1-1-2),可知：當平面通過球心 O時，d 0, r R,平面與球面相截所得的圓最大，稱為大圓，如圓QQ N。大圓的圓心即為球心，半徑等于球的半徑。大圓上的一段圓周，稱為大圓弧。當平面不通過球心 O時，d 0, r R,平面與球面相截所得的圓小于大圓，稱為小圓,如圓ABC。 d越大，即平面離球心越遠，平面與球面相截所得的小圓越小。按照大圓的定義，可導(dǎo)出大圓具有如下特性：(1)大圓把球和球面分成相等的兩部分；(2)兩個大圓平面相互平分，其交線既是球的直徑，也是這兩個大圓的直徑；(3)過球面上不在同一直徑兩端的任意兩點，僅能作一個大圓；(4

4、)過同一直徑的兩個端點，在球面上可以作無數(shù)個大圓。三、球面距離球面上兩點間小于 180的大圓弧(稱為劣弧)長，是兩點間在球面上的最短距離，稱為兩點間的球面距離。如圖1-1-2所示，A、B兩點的球面距離，即大圓弧AB的長，且與AB 所對應(yīng)的球心角AOB同度。球面距離用大圓弧所對應(yīng)的球心角(、')'表示。圖1-1-2 "期距離圖1-1-3軸、碉極距和極線四、軸、極、極距和極線垂直于球面上的圓所在平面的球直徑，稱為該圓的軸，軸的兩個端點，稱為該圓的極。球面上從極到該圓上任一點的球面距離，稱為極距。同一個圓的極距都相等；大圓的極距等 于90 ;極距等于90的大圓弧，稱為該極的

5、極線。如圖1-1-3所示，直徑PP同時垂直于小圓CD和大圓AB的平面，因此，PP既是小圓 CD的軸，也是大圓AB的軸，其兩個端點P和P同是小圓CD和大圓AB的極。顯然，小圓 CD的極距PC PD , PC P D ;大圓AB的極距PA PB PA PB 90 ;大圓弧 AB 即P或P的極線。五、球面角及其度量球面上兩個大圓弧所構(gòu)成的角，稱為球面角。構(gòu)成球面角的兩個大圓弧，稱為該球面角 的邊，邊的交點稱為該球面角的頂點。如圖1-1-4所示， APB和 APB為兩個球面角。對球面角 APB, P為頂點，兩條邊分別為大圓弧 PA和PB。球面角的大小用過其頂點的兩個大圓弧平面所構(gòu)成的二面角來度量的，具

6、體度量方法有 以下三種(圖1-1-4)：(1)用頂點的極線被球面角兩條邊所截的弧長AB來度量；(2)用頂點的極線被球面角兩條邊所截的弧長AB所對應(yīng)的球心角AOB來度量；(3)用過頂點所作的兩個大圓弧的兩條切線間的夾角CPD來度量。圖1-1-4球閽怵其度量圖1-2-1樽碼三角形第二節(jié)球面三角學球面三角學研究球面上由三個大圓弧所構(gòu)成的球面三角形及其解算方法，是天文航海的 核心理論。、球面三角形球面上由三個大圓弧相交所構(gòu)成的圖形稱為球面三角形。構(gòu)成球面三角形的大圓弧，稱 為球面三角形的邊；由大圓弧構(gòu)成的球面角， 稱為球面三角形的角。球面三角形的三條邊和 三個角，統(tǒng)稱為球面三角形的六個元素。如圖 1-

7、2-1所示，三角形 ABC即球面三角形，其六 個元素分別為邊a、b、c和角A、B、C °在球面上，三個大圓弧構(gòu)成4組對稱球面三角形。航海上所使用的球面三角形，邊和角 均大于0而小于180 ,稱為歐拉球面三角形。因邊和角取值的不同，球面三角形又可分 為任意球面三角形(如ABC )、球面直角三角形(一個或一個以上的角為直角)、球面直邊 三角形(一條或一條以上的邊等于90 )和特殊球面三角形(一個角及其對應(yīng)的邊很小，或 三條邊都很小)等。不同類型的球面三角形在 航海上各具不同的用途。、球面三角形的相等和相似在同一球面上或在半徑相等的兩個球面上，兩個球面三角形的對應(yīng)邊和角分別相等，且 邊和角

8、的排列順序相同，則稱兩個球面三角形相等。判斷兩個球面三角形相等的條件(任一 成立即可)如下：(1)兩邊及其夾角相等；(2)兩角及其夾邊相等；(3)三邊相等；(4)三角相等。在半徑不同的球面上，邊角度數(shù)對應(yīng)相等的兩個球面三角形，稱為相似球面三角形。三、球面三角形的基本性質(zhì)根據(jù)定義，可導(dǎo)出球面三角形的基本性質(zhì)如下：(1)球面三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;(2)球面三角形的三邊之和大于 0且小于360 ,三角之和大于180且小于540 ；(3)球面三角形的兩角之和減去第三角小于180 ;(4)若球面三角形的兩邊相等，則此兩邊的對角相等；反之，若兩角相等，則此兩角的 對邊相等；(5)

9、球面三角形中，大角對大邊；反之，大邊對大角。四、球面三角形中邊和角的函數(shù)關(guān)系球面三角學的主要任務(wù)之一，是研究球面三角形六個元素之間的函數(shù)關(guān)系，表示這種關(guān) 系的方程稱為球面三角公式。在眾多球面三角公式中，天文航海中常用的公式包括：1 .邊的余弦公式球面三角形任一邊的余弦，等于其余兩邊余弦的乘積，加上該兩邊的正弦及其夾角的余ABC中，邊的余弦公式為sin bsin ccosAsin asin ccosB(1-2-1)弦的乘積。如圖1-2-1所示，在球面三角形 cosa cosb cosc cosb cosacosccosc cosacosbsin asin bcosC邊的余弦公式表示球面三角形的三

10、條邊和一個角之間的關(guān)系，可用于已知三邊求一角, 或已知兩邊及其夾角求第三邊。2 .正弦公式球面三角形各邊的正弦與其對角的正弦成正比。如圖1-2-1所示，在球面三角形 ABC中,正弦公式為sin a sinb sin c (1-2-2)sin A sin B sin C正弦公式表示球面三角形的邊與其對角之間的關(guān)系，可用于已知兩邊一對角求另一對角，或已知兩角一對邊求另一對邊。3 .余切公式(又稱相鄰四元素公式、四聯(lián)公式)將球面三角形中相聯(lián)四個元素依次排列，在中間的邊、角，叫中邊、中角，在兩端的邊、 角叫端邊、端角，則用球面三角形的余切公式可以寫成cot端角sin中角=cot端邊sin中邊 cos中

11、邊cos中角(1-2-3)4 圖1-2-所示，在球面三角形ABC中，余切公式為：cotAsin Bcota sin ccosccosBcotAsin Ccota sin bcos b cosCcotBsin Ccotb sin acosacosC（ 1-2-4）cotBsin Acotb sin ccosccos AcotC sin Acotc sin bcosb cos AcotC sin Bcotc sin acos a cosB余切公式表示球面三角形相聯(lián)四元素之間的關(guān)系，可用于已知相聯(lián)三個元素，求相聯(lián)的 另一元素。思考題1 何為大圓、小圓？大圓與小圓的主要區(qū)別是什么？2何為球面距離和球面角？兩者如何度量