第六節(jié)不定方程

1、第六節(jié)不定方程所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些（如要求是有理 數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等） 的方程或方程組。不定方程也稱為丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支 學(xué)科，也是歷史上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。不定方程的內(nèi)容十分豐富，與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論等等都有較為密切的聯(lián)系。不定方程的重要性在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也得到了充分的體現(xiàn)，每年世界各地的數(shù)學(xué)競(jìng)賽吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的好材料，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的不定方程問題，不僅要求學(xué)生對(duì)初等數(shù)論的一般理論、方法有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性的解決問題。在本節(jié)我們來看一看不定 方程的基礎(chǔ)性的題目?；A(chǔ)

2、知識(shí)1.不定方程問題的常見類型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的個(gè)數(shù)（有限個(gè)還是無限個(gè)）。2.解不定方程問題常用的解法：（1）代數(shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進(jìn)而求解；（3）同余法：對(duì)等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；（4）構(gòu)造法：構(gòu)造出符合要求的特解，或構(gòu)造一個(gè)求解的遞推式，證明方程有無窮多解；（5）無窮遞推法。以下給出幾個(gè)關(guān)于特殊方程的求解定理： （一）二元一次不定方程（組）定義1.形如ax by c（a,b,c, Z,

3、 a,b不同時(shí)為零）的方程稱為二元一次不定方程。定理1.方程ax by c有解的充要是（a,b）|c；定理2.若（a,b） 1 ,且xo ,yo為ax by c的一個(gè)解，則方程的一切解都可以表示成X xoy v。(a,b)（t為任意整數(shù)）。定理3. n元一次不定方程a1x1a2x2anxnC，( a1, a2,an,c N）有解的充要條件是（a1,a2, ,an）|c.方法與技巧：1 .解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求 ax by c 一個(gè)特解，從而寫出通解。當(dāng)不定方程系數(shù)不大時(shí)，有時(shí)可以通過觀察法求得其解，即引入變量，逐漸減小系數(shù)，直到容易得其特解為止；2 .解n元一次

4、不定方程 a1x1 a2x2anxn c時(shí)，可先順次求出（仇島）d2,（d2,a3） d3,a1 X1a2 x2d2t2a3X3d n 2tn 2an 1Xn，（dni,an） dn.若dn-c,則方程無解；若dn| C ,則方程有解，作方程組：d2t2d3t3求出最后一個(gè)方程的一切解，然后把tn 1的每一個(gè)值代入倒數(shù)1 dn 1tn 1dn 1t n 1 an Xn C第二個(gè)方程，求出它的一切解，這樣下去即可得方程的一切解。3 . m個(gè)n元一次不定方程組成的方程組，其中m n ,可以消去 m 1個(gè)未知數(shù)，從而消去了 m 1個(gè)不定方程，將方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)n m 1元的一次不定方程。（二）高次不

5、定方程（組）及其解法1 .因式分解法：對(duì)方程的一邊進(jìn)行因式分解，另一邊作質(zhì)因式分解，然后對(duì)比兩邊，轉(zhuǎn)而 求解若干個(gè)方程組；2 .同余法：如果不定方程F（X1，,Xn）0有整數(shù)解，則對(duì)于任意m N,其整數(shù)解（X1, ,Xn）滿足F（x1, ,xn） 0（modm）,利用這一條件，同余可以作為探究不定方程整數(shù)解的一塊試金石；3 .不等式估計(jì)法：利用不等式工具確定不定方程中某些字母的范圍，再分別求解；4 .無限遞降法：若關(guān)于正整數(shù) n的命題P（n）對(duì)某些正整數(shù)成立，設(shè) n0是使P（n）成立的最小正整數(shù)，可以推出：存在 n1 N ,使得n1 n0成立，適合證明不定方程無正整數(shù)解。方法與技巧：1 .因式

6、分解法是不定方程中最基本的方法，其理論基礎(chǔ)是整數(shù)的唯一分解定理，分解法作 為解題的一種手段，沒有因定的程序可循，應(yīng)具體的例子中才能有深刻地體會(huì)；2 .同余法主要用于證明方程無解或?qū)С鲇薪獾谋匾獥l件，為進(jìn)一步求解或求證作準(zhǔn)備。同 余的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)哪＃枰?jīng)過多次嘗試；3 .不等式估計(jì)法主要針對(duì)方程有整數(shù)解，則必然有實(shí)數(shù)解，當(dāng)方程的實(shí)數(shù)解為一個(gè)有界集，則著眼于一個(gè)有限范圍內(nèi)的整數(shù)解至多有有限個(gè)，逐一檢驗(yàn)，求出全部解；若方程的實(shí)數(shù)解是無界的，則著眼于整數(shù)，利用整數(shù)的各種性質(zhì)產(chǎn)生適用的不等式；4 .無限遞降法論證的核心是設(shè)法構(gòu)造出方程的新解，使得它比已選擇的解“嚴(yán)格地小”，由此產(chǎn)生矛盾。（三）特

7、殊的不定方程1 .利用分解法求不定方程 ax by cxy（abc 0）整數(shù)解的基本思路：將ax by cxabc 0）轉(zhuǎn)化為（x a）（cy b） ab后，若ab可分解為ab aqai則解的一般形式為,c ,再取舍得其整數(shù)解；bi by c2 .定義2：形如x2 y2 z2的方程叫做勾股數(shù)方程，這里x,y,z為正整數(shù)。22222.對(duì)于萬程x y z ,如果（x,y） d ,則d |z ,從而只需討論（x,y） 1的情形, 此時(shí)易知x,y,z兩兩互素，這種兩兩互素的正整數(shù)組叫方程的本原解。定理3.勾股數(shù)方程x2 y2 z2滿足條件21y的一切解可表示為：22_22x a b , y 2ab,

8、z a b ,其中 a b 0,(a,b) 1 且 a,b 為一奇一偶。222 推論：勾股數(shù)萬程 x y z的全部正整數(shù)解（x, y的順序不加區(qū)別）可表本為：x （a2 b2）d,y 2abd ,z （a2 b2）d其中a b 0是互質(zhì)的奇偶性不同的一對(duì)正整 數(shù)，d是一個(gè)整數(shù)。勾股數(shù)不定方程x2 y2 z2的整數(shù)解的問題主要依據(jù)定理來解決。3.定義3.方程x2 dy21, 4（x, y Z,d N*且不是平方數(shù)）是x2 dy2 c的一種特殊情況，稱為沛爾（Pell）方程。這種二元二次方程比較復(fù)雜，它們本質(zhì)上歸結(jié)為雙曲線方程x2 dy2 c的研究，其中c,d都是整數(shù)，d 0且非平方數(shù)，而 c 0

9、。它主要用于證明問題有無數(shù)多個(gè)整數(shù)解。對(duì)于具 體的d可用嘗試法求出一組成正整數(shù)解。如果上述 pell方程有正整數(shù)解（x, y）,則稱使 x Jdy的最小的正整數(shù)解（x1, y1）為它的最小解。2. 2（x,y）,且若設(shè)te理4.Pell萬程x dy 1（x, y Z,d N且不是平萬數(shù)）必有正整數(shù)解它的最小解為（為，治）,則它的全部解可以表示成:xnYn1 (Xi. dy1)n (Xi-dy1)n2 =1-(n(Xi d y1)n (Xi . dy1)n2d*N ).上面的公式也可以寫成以下幾種形式:(1) Xn ynVd (Xi 火場(chǎng)二(2) xn 1yn 12 dy1 ynx1yn 丫四(

10、3)xnyn2x1xny n 12x1 y ny n 1定理 5.Pell 方程 x2 dy21(x, y Z,d N且不是平方數(shù)）要么無正整數(shù)解,要么有無窮多組正整數(shù)解（x, y）,且在后一種情況下，設(shè)它的最小解為（x1,y1）,則它的全部解可以xn表不為Yn2 (xidyi)2n 121d (xi Vd-yi)2n 1(xi、.dYi)2n 1(n(xidYi)2nizn（n 3為整數(shù)）無正整數(shù)解。1,所以1 z40 3 24。定理6.（費(fèi)爾馬（Fermat）大定理）方程xn yn費(fèi)爾馬（Fermat）大定理的證明一直以來是數(shù)學(xué)界的難題，但是在 i994年6月，美國(guó) 普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)教授

11、 A.Wiles完全解決了這一難題。至此，這一困擾了人們四百多年的 數(shù)學(xué)難題終于露出了廬山真面目，脫去了其神秘面紗。典例分析例i.求不定方程37x 107y 25的整數(shù)解。解：先求37x 107y 1的一組特解，為此對(duì) 37, 107運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法：107 2 37 33, 37 1 33 4,33 4 8 1將上述過程回填，得：1 33 84 374 84 37 9 4 37 9 (37 33) 9 33 837 9 (1072 37)8 379 107 26 37 37 ( 26) 107 9由此可知，xi26, Yi9是方程37x 107y 1的一組特解，于是x025 ( 26)650,

12、 y0 25 9 225是方程37x 107y 25的一組特解，因此原方程的一切整數(shù)解為：x 650 107toy 225 37t例2.求不定方程7x 19y 213的所有正整數(shù)解。解：用原方程中的最小系數(shù) 7去除方程的各項(xiàng)，并移項(xiàng)得：x 也也30 2y2包77因?yàn)閤, y是整數(shù)，故3包 u也一定是整數(shù)，于是有 5y 7u 3,再用5去除比式的兩 74/日3 7u 3 2u -3 2u ,邊，得y u ,令v 為整數(shù)，由此得 2u 5v 3。555經(jīng)觀察得u 1,v 1是最后一個(gè)方程的一組解，依次回代，可求得原方程的一組特解：x 25 19tx0 25, y0 2,所以原方程的一切整數(shù)解為：。

13、y 2 7t例3.求不定方程3x 2y 8z 40的正整數(shù)解。解：顯然此方程有整數(shù)解。先確定系數(shù)最大的未知數(shù)z的取值范圍，因?yàn)閤,y,z的最小值為x246810246242y1310741963521z11111222334（如下表）當(dāng)z 1時(shí),原方程變形為3x 2y32 3xx是偶數(shù)且2x 10故方程組有5組正整數(shù)解,分別為x 2y 1310為:為:102時(shí),原方程變形為3x 2y2423x，一，故萬程有3組正整數(shù)解,分別3時(shí)，原方程變形為3x 2y16 3x ,故萬程有2組正整數(shù)解,2分別4時(shí)，原方程變形為3x 2y8,即且，故方程只有一組正整數(shù)解, 2故原方程有11組正整數(shù)解例4.求出方

14、程x2 7 y21的所有正整數(shù)解。解：先求最小解NyJ。令 y 1,2,3,所以yn1時(shí)，17y2xn2(x112 d (x1一 27y 8；當(dāng) y 2時(shí)，11的最小解為（8,3）,于是:dy)n (x1dyjnd y1)n (x1dy1)n7y229 ；當(dāng) y3.7)n (82,7(83、7)n一 .23 時(shí)，1 7y23.7)n(n N(8 3、7)n6482。例5.少個(gè)?在直角坐標(biāo)平面上，以（199, 0）為圓心，以199為半徑的圓周上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為多解：設(shè)A（x, y）為圓。上任一整點(diǎn)，則其方程為：y2 （x 199）2 1992；顯然(0,0),(199,199), (199, 19

15、9),(389,0)為方程的 4 組解。但當(dāng)y 0, 199時(shí)，（y,199） 1 （因?yàn)?99是質(zhì)數(shù)），此時(shí)，199,y,|199 x|是一組勾股數(shù)，故199可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，即 199 m2 n2。因?yàn)?199 4 49 3,可設(shè) m 2k, n 2l 1,則 199 4k2 412 41 1 4(k2 l2 l) 1這與199為4d 3型的質(zhì)數(shù)矛盾！因而圓。上只有四個(gè)整點(diǎn)(0,0),(199199,(199 199),(3890)。例6.求所有滿足8x 15y 17z的正整數(shù)三元組(x,y,z)。解：兩邊取mod8,得(1)y 1(mod8),所以y是偶數(shù)，再mod7得2 3z

16、(mod 7),所以z也是偶數(shù)。此時(shí)令 y 2m,z 2t(m,t N)于是，由 8x 15y 17z 可知：23x (17t 15m) (17t 15m)；由唯一分解定理：(17t15m)2s,(17t15m)23xs,從而17t-(2s23xs)2s123xs121注意到17是奇數(shù)，所以要使17t 1(2s 2) 2s1 2 成立，一定有s 1 o2于是 17t 15m 2。當(dāng)m 2時(shí)，在17t 15m 2的兩邊取mod9,得(1)1 2(mod 9),這顯然是不成立的，所以m 1,從而t 1,x 2。故方程8x 15y 17z只有唯一的一組解(2, 2, 2)。例7. a是一個(gè)給定的整數(shù)

17、，當(dāng) a為何值時(shí)，x, y的方程y3 1 a(xy 1)有正整數(shù)解？在 有正整數(shù)解時(shí)，求解該不定方程。解；若有質(zhì)數(shù) p|x3, p | xy 1,則p|x,從而p |1 ,矛盾！所以(x3,xy 1) 1。因此 xy 1 | y3 1 當(dāng)且僅當(dāng) xy 1|x3(y3 1)。因?yàn)?x3(y3 1) (x3y3 1) (x3 1),顯然 xy 1 | x3 (y3 1),所以 xy 1 | y3 1 當(dāng)且僅當(dāng) xy 11 x3 1。( *)2(1)若 y 1 時(shí)，aZ,所以 x 2或 x 3, a 2或 a 1；x 12類似地，若x 1,則Z ,所以y 2或y 3, a 9或a 14 ;y 1(3

18、)由于條件(*),不妨設(shè)x y 1；y3 11若x y,則a y一 y Z ,所以x y 2,a 3；y2 1 y 13右x y ,則因?yàn)閥 1 1(mod y),xy 1 1(mod y),所以存在b N ,使得：所以(xy 1)(by 1),所以 by2 xy2時(shí),3時(shí),由條件*)綜上，當(dāng)a2,bxy2y, yxy5;5,對(duì)應(yīng)的a為1或2。y3 1xy 13 y 2 y1 (xy1)(y2,y 5以及x 3, y 5也是原方程的解，對(duì)應(yīng)的整數(shù)1,2,3,9,14時(shí)原方程有整數(shù)解,它們分別是：(3, 1), (5, 2);a為14或9。 1), (5, 3),(2, 2); (1, 2), (3, 5); (1, 3), (2, 5)。例8.求證：邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形的面積不可能是完全平方數(shù)。設(shè)其邊證明：假設(shè)結(jié)論不成立，在所有的面積為平方數(shù)勾股三角形中選取一個(gè)面積最小的,1 一一，長(zhǎng)為x y z,則一xy是平萬數(shù)，則必有(x, y) 1。2222因?yàn)閤 y z ,故存在整數(shù)a b 0,a,b中一奇一偶，(a,b) 1,使得(不妨設(shè) y是偶數(shù))x a2 b2,y 2ab, z a2 b2。,一 1由于一xy (a b)(a b)ab是完全平萬數(shù)，而知 a b, a b,ab兩兩互素，故它們是平萬 2數(shù)，即 a p2,b q2, a