概率論知識點總結

1、概率論知識點總結第一章 隨機事件及其概率第一節(jié) 基本概念隨機實驗：將一切具有下面三個特點：（ 1）可重復性（2）多結果性（3）不確定性的試驗或觀察稱為隨機試驗，簡稱為試驗，常用E 表示。隨機事件：在一次試驗中，可能出現也可能不出現的事情（結果）稱為隨機事件，簡稱為事件。不可能事件：在試驗中不可能出現的事情，記為。必然事件：在試驗中必然出現的事情，記為。樣本點 ：隨機試驗的每個基本結果稱為樣本點，記作 .樣本空間：所有樣本點組成的集合稱為樣本空間. 樣本空間用 表示 .一個隨機事件就是樣本空間的一個子集?；臼录?單點集，復合事件 多點集一個隨機事件發(fā)生，當且僅當該事件所包含的一個樣本點出現。事

2、件的關系與運算（就是集合的關系和運算）包含關系：若事件A 發(fā)生必然導致事件B 發(fā)生，則稱B 包含A，記為B A或 A B。相等關系：若 B A且 A B ，則稱事件A 與事件 B 相等，記為AB。事件的和： “事件 A 與事件 B 至少有一個發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件A 與事件 B 的和事件。記為A B。事件的積：稱事件“事件 A 與事件 B 都發(fā)生 ”為 A 與 B 的積事件，記為A B 或 AB 。事件的差： 稱事件 “事件 A 發(fā)生而事件B 不發(fā)生” 為事件 A 與事件 B 的差事件,記為 A B。用交并補可以表示為A B AB 。互斥事件：如果A， B 兩事件不能同時發(fā)生，即AB

3、，則稱事件A 與事件 B 是互不相容事件或互斥事件。互斥時A B 可記為 A B。對立事件：稱事件 “A 不發(fā)生 ”為事件 A 的對立事件（逆事件），記為 A。對立事件的性質：A B ,A B 。事件運算律：設A， B， C 為事件，則有（1 ）交換律：AB=B A， AB=BA（2）結合律：A（B C）=（A B） C=ABC A（BC）=（AB）C=ABC（3）分配律：A （BC）（A B）（AC） A（B C）（AB）（AC）= AB AC（ 4）對偶律（摩根律）： A B A B A B A B第二節(jié) 事件的概率概率的公理化體系：（ 1 ）非負性：P（A） 0；（ 2）規(guī)范性：P（ ）

4、 13）可數可加性：A1A2AnP(A1 A2An) P(A1) P(A2)P(An)概率的性質：( 1) P( ) 0( 2)有限可加性：A1A2An 兩兩不相容時P(A1 A2An ) P(A1) P(A2)P(An)當 AB= 時 P(A B) P(A) P(B)( 3) P(A) 1 P(A)( 4) P(A B) P(A) P(AB)( 5) P( A B)P(A) P(B) P(AB)第三節(jié) 古典概率模型1、設試驗E 是古典概型, 其樣本空間 由 n 個樣本點組成,事件 A 由 k 個樣本點組成.則定k義事件 A 的概率為P(A)n2、幾何概率：設事件A 是 的某個區(qū)域，它的面積為

5、 (A，則向區(qū)域) 上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A 的概率為P(A)(A)()假如樣本空間 可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，則事件A 的概率仍可用上式確定，只不過把 理解為長度或體積即可.第四節(jié) 條件概率條件概率：在事件B 發(fā)生的條件下，事件A 發(fā)生的概率稱為條件概率，記作P(A|B).P(A|B)P(AB)P(B)乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)P(B|A)全概率公式：設A1 , A2 , An 是一個完備事件組，則P(B)= P(Ai )P(B| Ai )貝葉斯公式：設A1 , A2 , An 是一個完備事件組,則P(Ai |B)P(AiB)P(B)P(Ai)P(B|

6、Ai)P(Aj)P(B|Aj)第五節(jié) 事件的獨立性兩個事件的相互獨立：若兩事件A、 B 滿足 P(AB)= P(A) P(B) ，則稱A、 B 獨立，或稱A、B 相互獨立.三個事件的相互獨立：對于三個事件A、 B、 C，若P(AB)= P(A) P(B) ， P(AC)= P(A)P(C) ，P(BC)= P(B) P(C) ， P(ABC)= P(A) P(B)P(C) ，則稱A、 B、 C 相互獨立三個事件的兩兩獨立：對于三個事件A、 B、 C，若 P(AB)= P(A) P(B) ， P(AC)= P(A)P(C) ，P(BC)= P(B) P(C) ，則稱 A、 B、 C 兩兩獨立獨立

7、的性質：若A 與 B 相互獨立，則A與 B， A 與 B ， A與 B 均相互獨立總結：1.條件概率是概率論中的重要概念，其與獨立性有密切的關系，在不具有獨立性的場合， 它將扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計算中經常使用，應牢固掌握。3.獨立性是概率論中的最重要概念之一，應正確理解并應用于概率的計算。第二章 一維隨機變量及其分布第二節(jié) 分布函數分布函數：設X 是一個隨機變量，x 為一個任意實數，稱函數F (x) P X x 為 X 的分布函數。如果將X 看作數軸上隨機點的坐標，那么分布函數F(x)的值就表示X 落在區(qū)間(, x內的概率分布函數的性質：( 1)單調不減

8、；( 2)右連續(xù)；( 3)F ()0, F ()1第三節(jié) 離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律：設xk (k=1,2, ) 是離散型隨機變量X 所取的一切可能值，稱PX xkpk 為離散型隨機變量X 的分布律，也稱概率分布.當離散性隨機變量取值有限且概率的規(guī)律不明顯時，常用表格形式表示分布律。分布律的性質：( 1) 0 pk 1； ( 2) pk 1離散型隨機變量的概率計算：( 1 )已知隨機變量X 的分布律，求X 的分布函數；F(x) PX x P(xk) xk x( 2)已知隨機變量X 的分布律, 求任意隨機事件的概率；( 3)已知隨機變量X 的分布函數，求X 的分布律PXxkF(xk)

9、F(xk0)三種常用離散型隨機變量的分布：1 .( 0 1 )分布：參數為p 的分布律為P X 1 p, P X 0 1 p2 .二項分布：參數為n， p的分布律為PX kCnk pk(1p)n k ， k 0,1,2, ,n 。例如n 重獨立重復實驗中，事件A 發(fā)生的概率為p，記X 為這 n 次實驗中事件A 發(fā)生的次數，則 X B( n， p)k3 .泊松分布：參數為 的分布率為P X k e ， k 0,1,2,。 例如記 X 為某段事k!件內電話交換機接到的呼叫次數，則X P()第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量f(x) 的性質連續(xù)型隨機變量的概率計算：1)2)3)1 )已知隨機變量2)已知隨機變量

10、3)已知隨機變量f(x) 0f (x)dx 1 ， PXPa X b Paf(x) F (x),F(x)aaf(x)dx 0 aX b Pa X bxf (x)dxX 的分布函數；X 的密度函數；, 求隨機事件的概率；PaF(x)f(x)PaPabf(x)dxF (x)X bX bba f (x)dxba f (x)dxF (b) F (a)連續(xù)型隨機變量概率密度三種重要的連續(xù)型分布：11 均勻分布：密度函數f (x)2. 指數分布：密度函數f (x)b a a x b ，記為X Ua， b.0 elsex0，記為 X E()x01 (x 2)23. 正態(tài)分布：密度函數f (x)e 2 ，記為

11、 X N ( , 2 )2N( 0， 1)稱為標準正態(tài)分布.標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布，然后再計算概率.baPa X b F(b) F(a) (b )(a)第五節(jié) 隨機變量函數的分布離散型：在分布律的表格中直接求出；連續(xù)型：尋找分布函數間的關系，再求導得到密度函數間的關系；注意分段函數情況可能需要討論，得到的結果也可能是分段函數。FY(y) PY y Pg(X) y PX G(y)F(G(y)第三章 多維隨機變量及其分布第一節(jié) 二維隨機變量的聯合分布函數聯合分布函數F (x, y) P X x,Y y ，表示隨機點落在以(x ， y)為

12、頂點的左下無窮矩形區(qū)域內的概率。聯合分布函數的性質：( 1 )分別關于x 和 y 單調不減；( 2)分別關于x 和 y 右連續(xù)；( 3) F (- , y ) = 0,F ( x ,- ) =0,F(- ,-) = 0F ( + ,+ ) = 1第二節(jié) 二維離散型隨機變量聯合分布律：P Xxi ,Y yj pij聯合分布律的性質：pij0；pij1第三節(jié) 二維連續(xù)性隨機變量yx聯合密度：F (x, y) dv f (u, v)du聯合密度的性質：f (x, y) 0 ； f (x, y)dxdy 1； P( x, y) D f (x, y)dxdyR2D第四節(jié) 邊緣分布二維離散型隨機變量的邊緣

13、分布律：在表格邊緣，對應概率相加求出；二維連續(xù)性隨機變量的邊緣密度：先求出邊緣分布函數，在求導求出邊緣密度 第六節(jié) 隨機變量的獨立性獨立性判斷：( 1 )若 X,Y 取值互不影響，可認為相互獨立；( 2)根據獨立性定義判斷F (x, y) FX (x)FY (y)離散型可用pijpi ? p?j連續(xù)型可用f(x,y) fX(x)fY(y)獨立性的應用：( 1 )判斷獨立性；( 2)已知獨立性，由邊緣分布確定聯合分布第四章 隨機變量的數字特征離散型隨機變量數學期望的計算EXxk pk ， E(g(X) g(xk)pkkk連續(xù)型隨機變量數學期望的計算EX xf(x)dx， E(g(X) g(x) f (x)dx方差的計算：DX E(X EX)2， DX E(X2) E2(X)數學期望的性質( 1) E (C ) = C( 2) E (CX ) = C