二元二次方程組-解法-例題

1、二元二次方程的解法二次方程組的基本思想和方法方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和 “降次”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元，將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次，這是轉(zhuǎn)化的基本方法。因 法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。型是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組；“二二”型是由兩個二元二次方程組成的方程組。程組的解法元法（即代入法）二一”型方程組的一般方法，具體步驟是：次方程中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示；數(shù)式代入二元二次方程，得到一個一元二次方程；元二次方程，求得一個未知數(shù)的值；的這個未知數(shù)的值代入二元一次方程，求得另一個未知數(shù)的值；如果代入二元二次方程求另一個未知數(shù)，就會出現(xiàn)“增

2、解”的問題； 個未知數(shù)的值和相應(yīng)的另一個未知數(shù)的值分別組在一起，就是原方程組的解。與系數(shù)的關(guān)系二元二次方程組中形如的方程組，可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y 看做一根，解這個方程，求得的 zi和Z2的值，就是x、y的值。當xi=zi時，yi=Z2；當X2=Z2時，y2=zi，所以原方程組的解是兩組"對稱解”。 注意 二一”型方程組的一種特殊方法，它適用于解“和積形式”的方程組。比較常用的解法。除此之外，還有加減消元法、分解降次法、換元法等，解題時要注意分析方程的結(jié)構(gòu)特征，靈活選用恰當?shù)姆椒ā＝庖辉畏匠?、分式方程和無理方程的知識都可以運用于解“二一”型方程組。（2）要防

3、止漏解和增解的錯誤。程組的解法 中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時， 可將分解得到的兩個二元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個 型方程組，所得的解都是原方程組的解。中兩個二元二次方程都可以分解為兩個二元一次方程時，將第一個二元二次方程分解所得到的每一個二元一次方程與第二個二元二次方程 組成新的方程組，可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解都是原方程的解。方程組最多有兩個解，“二二”型方程組最多有四個解，解方程組時，即不要漏解，也不要增解。析：例 1解方程組x, y 為根的一元二次方程來求解。觀察這個方程組，不難發(fā)現(xiàn)，此方程組除可用代入法解外，還可用

4、根與系數(shù)的關(guān)系，通過構(gòu)造一個以1得) y=8-x(3)把(3)代入 (2)，整理得 x2-8x+12=0.解得 x1=2, x2=6.(3)，得 y1=6.把 x2=6 代入 (3) ，得 y2=2.所以原方程組的解是據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知： x, y 是一元二次方程，z2-8z+12=0 的兩個根，解這個方程，得 z1=2, z2=6.組的解是 ?！毙头匠探M中的兩個方程，如果是以兩數(shù)和與兩數(shù)積的形式給出的，這樣的方程組用根與系數(shù)的關(guān)系解是很方便的。但要特別注意最后方程x與2y的和，方程是x與2y的積，-'x與2y是方程 么4乙-21=0的兩個根解此方程得：zi=-3,Z2=7,25 /

5、 28原方程的解是于特殊型的方程組 , 可用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解型的二元二次方程組 ,也都可以通過變形用簡便的特殊解法把代入得用代入法） 由得 :y=)2+x-+4(7=0把 x=3 代入 得 :y=1代入 得 :y=原方程組的解為式分解法)為x-2y) 2+(x-2y)-2=0即(x-2y+2)(x-2y-1)=0/x-2y+2=0 或 x-2y-1=0化為:分別解得 :,若針對二元I 型二元二次方程組 ,一般可用代入法求解 ,當求出一個未知數(shù)的值代入求另一個未知數(shù)的值時,一定要代入到二元一次方程中去求則較為簡便 .何值時，方程組 。相等的實數(shù)解； （ 2）有兩組不相等的實數(shù)解；

6、（3）沒有實數(shù)解。代入法消去未知數(shù)y,可得到關(guān)于x的一元方程，如果這個一元方程是一元二次方程，那么就可以根據(jù)根的判別式來討論。入(1)，整理得 k2x2+(2k-4)x+1=0（3） 你 （1）當時，方程 （3）有兩個相等的實數(shù)根解得：，原方程組有兩組相等的實數(shù)根。時，方程 (3)有兩個不相等的實數(shù)根k<1且k丸.當k<1且k0時，原方程組1)、( 2)中已知方程組有兩組解，可以確定方程 (3)是一元二次方程，但在此問中不能確定方程(3) 是否是二次方程，所以需兩種情況討是一元二次方程，無解條件是，解得：k>1不是二次方程，則k=0，此時方程為-4x+仁0,它有實數(shù)根x= 兩

7、種情況可知，當 k>1 時，原方程組沒有實數(shù)根。判別式“”的前提條件是能確定方程為一元二次方程，不是一元二次方程不能使用厶程組元二次方程組的基本思想是先消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程解之。本題用代入法消元。y= (3) 將式 (3) 代入式 (2) ，得)+()2-4x+3(-13x-35=0,即(x-5)(4x+7)=0 二 xi=5, X2=-代入 (3) ，得 y2=-(3),得 y1=3, 將 x2=-程組 。程組是由兩個二元二次方程組成的方程組，在(1) 式的等號左邊分解因式后將二元二次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程。分解因式，得(x+y)(3x-4y)-(3x-4y

8、)=0即(3x-4y)(x+y-1)=0/ 3x-4y=0,或 x+y-1=0.面兩組方程組：2)1 ）由 3x-4y=0 ，得x，代入 x2+y2=25.x2=25, x 2=16, x= ±4, 即 x1=4, x 2=-4,將 x1 和 x2 代入 y=仁0,得 y=1-x，代入 x2+y2=25, 得 x2+(1-x) 2=25,整理，得 x2-x-12=0,)=0,X3=4, X4=-3. 當 X3=4 時,y3=-3;當 X4=-3 時，y4=4.的解為：程組組可化為，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，知 x, -y 是方程 z2-17z+30=0 的兩個根。故原方程組的解為得 i=

9、2 , Z2=15。即程組方程2），把（x-y）看成整體，那么它就是關(guān)于（x-y）的一元二次方程，因此可分解為,由此可得到兩個二元一次方程 x-y-3=0 和 x-y+1=0 。一次方程分別和方程 組成兩個“二一”型的方程組：個方程組，就可得到原方程組的解。x-y-3=0 或 x-y+1=0原方程組可化為兩個方程組:法解方程組（1 ）和（ 2），分別得：原方程組的解為注意不要將（1）式錯誤分解為（x+y ） （x-y）=1,故而分解為（x-y） =1或者（x+y） =1,這樣做是錯的，因為當右邊工0時，可以分解岀無窮多種可等等。解為 x+y=2,x-y=1，將其兩邊平方，也可以達到降次的目 x+2y=1 或 x+2y=-1程組1的) 右邊為零，而左邊可以因式分解，從而可達到降次的目的。方程(2)左邊是完全平方式，右邊是 x-4y=0 或 x+y=O. 由(2)得(x+2y) 2=1化為以下四個方程組：程組，得原方程組的四個解是：把同一個二元二次方程分解出來的兩個二元一次方程組成方程組，這樣會出現(xiàn)增解問題，同時也不要漏解程組 程