例談充要條件在解題中的作用

1、例談“充要條件”在解題中的作用沅江一中 彭德芳“充要條件”有許多用途，活用它可以解決有些無(wú)法解決的問(wèn)題，且對(duì)提高解 題速度和準(zhǔn)確性具有很強(qiáng)的實(shí)用性下面列舉實(shí)例說(shuō)明“充要條件”在解題中的功能1函數(shù)y二f(x)為奇函數(shù)的充要條件是y二f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;2 函數(shù)y = f (x)為偶函數(shù)的充要條件是y = f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱例1.已知函數(shù)1f (X) =x3lgx 2x _|xx 2x：x(1)求證：函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；設(shè)函數(shù)F(x)二f (x a) - f(x -a)(a = 0)，證明：函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.分析：由上面充要條件得(1)與的證明中滿足

2、分別為偶函數(shù)與奇函數(shù)即可 證明:(1)顯然x = 0 x2x-x 2x-1x 2x x 一 2x 10；當(dāng)x ：0時(shí),2x -xx 2x +xx 2x x 2x 1 -x 2x x 1 _2x函數(shù)定義域?yàn)?f (-x)-f(x) =( - x)3lg(-x) -2" - -x-x 2"(-x)1-x3 Igx 2x - xx 2x ' x1一X3 Ig(-x)才-x-x 2"(-x)1一X3 Ig1 =0-f(-x) = f (X),. f (x)為偶函數(shù)-由充要條件得：f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2) F( -x) = f ( -x a) - f (-

3、x -a)二 f -(x - a) - f -(x a)=f (x - a) - f (x a) = -F (x)(x =二a).函數(shù)F(x)為奇函數(shù)，由充要條件得：函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.二、 函數(shù)y = f (x)定義域內(nèi)的任意 x滿足f (m x)二f (m-x)恒成立的充要條件是：函數(shù) y二f (x)的圖象關(guān)于直線 x二m對(duì)稱例2設(shè)二次函數(shù)f (x)滿足f(x - 2) = f (-2 - x),且圖象在y軸上的截距為1,在x軸截得的線段長(zhǎng)為 2 2 ,求f (x)的解析式解:由充要條件得y = f (x)的圖象關(guān)于直線x = -2對(duì)稱又洛X2 =2運(yùn)仁y= f(x)與x軸的交

4、點(diǎn)為(2 血,0),(2+72,0)故可設(shè) f(x) = a(x 2, 2)(x2 - 2)11 2f (0) =1r a . f (x) x 2x1.22三、 對(duì)于無(wú)窮等比數(shù)列 £n S=|imSna1的充要條件是：公比q應(yīng)滿足 0 c q <1.例3.無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和等于3,各項(xiàng)平方組成的數(shù)列聲的各項(xiàng)和等于9，求數(shù)列0； 各項(xiàng)和.q1q：1由充要條件得：a29石-1-q 2,31a；108得ai = 2, q二.由充要條件得：數(shù)列云：各項(xiàng)和為二13 .3四、已知 Xi : X2,則 Xi : X ：: X2 充要條件是(X - Xi)(x - X2)叮 0 ;例4.(高考

5、題)設(shè)二次函數(shù)f (x) = aX2 bX c(a 0),方程f (x)-x=0的兩個(gè)1根滿足 0 ：洛：x2-( 1 )當(dāng) x (0, X1)時(shí)證明：x ： f (x) ： %;( 2 )略.a證明：由等價(jià)條件得 X f(X):： % 二 f(X)- X I f (x) - X:：0 .依題意 f (x)-x 二 a(x-xj(x-x2)f (x) -X I f (x) -XI 1-f (x) - X 丨 f (x) - X X - N 1= a(x Xi)(x X2)a(x Xi)(x _X2) (x _Xi) 122i=a (x-xj (x-x2)(x-x2)aiii0 ： xi：x2,

6、xi x2 ： 0,x -x2x ( x2) x 0aaa有 f (x)x I f (x)-為 J ： 0成立，于是 x < f (x) < xi.五、關(guān)于x的方程asi nx bcosx =c(a,b不同時(shí)為零)有解的充要條件是a2 b2 一 c2.3cosx 1例5 求函數(shù)y二的值域.sin x+ cosx + 2解:將函數(shù)整理成關(guān)于 x的方程y sin x (y -3)cosx = -1 - 2y .由充要條件得：y2 (y - 3)2 - (-1 -2y)2 二 y2 5y - 4 乞 0.所以例6 .設(shè)0 ：，卩，且S "：亠o ： - 0 用亠),求S 很亠卩

7、)的值.23 解:變形已知等式得(1 - cos ：) cos鳥(niǎo)" sin : sincos :,2由充要條件有：(1 -cos : )2 sin2 L - ( -cos : )2 = (cos -丄)2 _ 0 ,2 21 応從而有 COS ： = 2且 0 V I，V 二，所以 |.：，=;2 3同理可得.故 si n(+：)二si ng 二丁.332 兀-2兀六、復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是：Z二Z.例7設(shè):丄-是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2 bx c - 0(a = 0)的二根.已知用是-2 .虛數(shù)，且是實(shí)數(shù)，求二的值.解:-,:為實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根，.-,-:-且、：.

8、S2222 : 2 2'''八、3丄由充要條件得(b)二 = _ (=) = 1.P PP a P P1. 3：'J = 22,即為所求的值七、兩個(gè)非零復(fù)數(shù) 乙與z2滿足弓-7(八=0, ' R)的充要條件是：其對(duì)應(yīng)Z2T?的向量OZj _ oz2 例8.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 z1、z2、z3，若Z2 _乙=1 +4j,證明：心ABC是直角三角形Z3 -乙3 'Z3 乙證明：由Z1 =1 4i反解出玉蘭一3i,Z3 Z13Z3 Z24由充要條件得：CA_CB. ABC是直角三角形.八、兩個(gè)復(fù)數(shù) 乙=z2的充要條件是：它

9、們的實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相例 9若復(fù)數(shù)乙=2 -、. 3x xi, z2 = . 3y -1( ., 3 - y)i(x, y R)的模相等,且arg蘭1,求x與y的值.ZiZ2且arg互冷互=彳'Zo2Z2Z2icos +i sin i zj 22 Ji vZi Z2 i -由充要條件得 2 - 3x xi = (. 3y -1)i -3 - y),2 - 3x ：3 y_x = 3y11.3x =2廠,即為所求x, y的值.132九、由一點(diǎn)S引不共面的三條射線 SA、SB、SC，設(shè).ASB-哥，.BSC-2 ,ASC八J,其中弓戶2門均為銳角，則平面 ASB_平面BSC的充要

10、條件B是cos =cosi cosK 由課本總習(xí)題的第三題變形而來(lái)).Z22解:如圖，二面角B-AC-D是直二角，故有平面BAC _平面DAC.在平面 BAC內(nèi)作BE_AC,在平面 DAC內(nèi)作DF _ AC，則有AE=CF.又2229AC 二 AB BC , AC AE 二 AB ,得 AE ,從而得 CE 二 AC - AE 5165CEBCCFCD根據(jù)充要條件得：cos £ BCD = cosr -cosh1225在 ABC中,由余弦定理得：BD2 二 BC2 CD2-2BC CD cos BCD=432_ 2 4 3 12 二25337, bd255十、以A(xi, yj, B(X2, y2)為某園直徑端點(diǎn)的充要條件是：其園方程為(x -xi)(x -X2) (y -yj(y -y2)= 0.例11.求直線x 3y -15 =0和直線kx - y - 5 =0與兩坐標(biāo)軸所圍成四邊形的外接園方程解：因?yàn)閳@內(nèi)接