博弈論第2次作業(yè)

1、第2次作業(yè)1.在三寡頭的市場中，市場的逆需求函數(shù)p=a_Q,Q為三家產(chǎn)量之和，每家企業(yè)的不變邊際成本為c,固定成本為0。如果企業(yè)1首先選擇 產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時選擇產(chǎn)量，則均衡 時的市場價格。給定企業(yè)1的產(chǎn)量q1，企業(yè)2和企業(yè)3的最優(yōu)化問題分別為mqx a q1 q2 q3 -c q2， mqx a - q1 - q2 q c q3 從而得到企業(yè) 2 和企 業(yè)3的最優(yōu)反應函數(shù)為q2 = Hr ,q 3 = H1 72 ,聯(lián)立得納什均衡2 2為：q2 = a一C寶,q N = C蟲.給定企業(yè)2和企業(yè)3的最優(yōu)反應，企業(yè)1的最33優(yōu)化問題為:/Nmaxa -q1 -q2N-q

2、3 一 C q1，由此得企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量為a cEh2、兩個寡頭企業(yè)進行價格競爭博弈，企業(yè) 1的利潤函數(shù)是 二=-（p - aq c）2 q ， 企業(yè) 2 的利潤函數(shù)是 二2二-q - b）2 p，其中p是企業(yè)1的價格，q是企業(yè)2的價格。 求：-1）兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡；-2）企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡；-3）企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡；-4）是否存在參數(shù)a,b, c的特定值或范圍，使兩個企業(yè)都希望 自己先決策？(1) :( a b-c， b)(2) :( a b-c，b)(3):( a2 /2+ab-c, a/2+b)(4)： a<0, b>-a/2, c

3、<a b3、考慮一個有窮的動態(tài)博弈：兩人在桌前面對面坐著，桌上有貨幣x，仁*2，貨幣x隨時期t=0,1，,T而增長，t期的貨幣量為xt 在每一期，每個參與人必須在“搶奪”貨幣與“等待”兩種策略之間 作出抉擇。只要至少有一人“搶奪”貨幣，則博弈就結束。如果在t期 只有一個人搶走貨幣，則他就獲得xt ;如果兩人在t期同時出手搶貨t幣，則各得冷。請找出該博弈的納什均衡，并寫出證明過程。該博弈是有限期完全信息動態(tài)博弈，用反向歸納法求該博弈的納什均衡 在T期，博弈未結束，這表明在之前各期都選擇等待，雙方的收益矩陣為 搶奪等待TTT搶奪 ，0222T等待0，寧0，0在最后一期，都搶奪是唯一的納什均衡

4、 在T-1期，因為XT/2<XT，所以在T-1期雙方等待都不是均衡，T-1期博弈方的收益矩陣為T',0xT搶奪等待搶奪等待 0, x因為兩參與者都是完全信息的，并且博弈結構是公共信息，因此兩者在 T-1期 都選擇等待時，其收益就是在最后一期將獲得的收益， 而在第T期，（搶奪，搶奪）是唯一的納什均衡，貝U改期收益（即為等待等待的收益4T因為1<x<2,那么宀廠1，得到匸宀，所以在T-1期，搶奪都是嚴格占優(yōu)策略，(搶奪，搶奪)是唯一的納什均衡，由此可得出在任意 t期, 兩參與者都會選擇搶奪，博弈在第一輪就結束，均衡為(搶奪，搶奪)兩參與人收益為(x，-)2 24、假定在一

5、個博弈模型中，有兩個參與者，一個是政府，一個是私人部門。私人部門選擇的是預期的通貨膨脹率，政府選擇的是給定預期通貨膨脹的情況下所采取的實際通貨膨脹率。并且政府不僅關心通貨膨脹問題，還關心失業(yè)問題。政府的效用函數(shù)為：U = -c 2 -(y-ky*)2其中二是通貨膨脹，y*是自然失業(yè)率下的均衡產(chǎn)量，丫是實際產(chǎn)量，c 0, k 1同時假定產(chǎn)出與通貨膨脹率之間的關系是由含有通貨膨脹預期的菲力普斯曲線來決定，也就是說菲力普斯曲線是：y =y*(二-7：e)其中/是預期的通貨膨脹率，1 0如果私人都有理性預期，試運用博弈論的相關知識來證明在短期內(nèi)政府所采取的通貨膨脹政策不能增加產(chǎn)出。這道題是完全信息動態(tài)

6、博弈，因為實在給定私人部門通貨膨脹預期的情況 下制定貨幣政策，政府面臨的最大化冋題就是：2 * 2Max U =c二-(y-ky)5. t . y =y* ：(二-:e)運用拉格朗日函數(shù)解這一問題，n =(c+ B 2) ' B Bn +(k-1)y,這是政府的反應函數(shù)，又由于假設私人部門具有理性預期，也就是說預期的通貨膨脹 率等于n ”，所以n =n =c 1 (k-1)y,由于私人部門具有理性預期，實際產(chǎn)出水平將于通貨膨脹率無關而等于自然失業(yè)率下的產(chǎn)出水平，另一方面卻要忍 受通貨膨脹的痛苦，得證。5、在市場進入模型中，市場逆需求函數(shù)為p= 13-Q,進入者和在位者生產(chǎn)的邊際成本都為

7、1,固定成本為0,潛在進入者的進入成 本為4。博弈時序為：在位者首先決定產(chǎn)量水平；潛在進入者在觀察 到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進入；如果不進入，則博弈結束， 如果進入，則進入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納什均衡。6、假設一個家長和他的孩子進行如下的博弈：第一，小孩選擇一個行動A,可以使孩子獲得收入I c(A),并使得家長得到收入I p(A)(可以認為I c(A)為孩子減去因為A發(fā)生的各種成本后的凈收益)；第 二，家長觀察到收入Ic(A)和I p(A)，然后選擇給孩子的獎勵或者懲 罰B。孩子的收益為U(lc+B),，家長的收益為V(I p-B)+k(I c+B)，其中 k>0反映出家長關心孩子的福利。假定行動是一個非負數(shù)字，A> 0,收入函數(shù)I c(A)和I p(A)為嚴格凹且分別能夠達到最大值；獎勵或懲 罰B為正或為負的數(shù)字；且效用函數(shù) U和V遞增并嚴格凹。證明：孩 子選擇可使全家收入I c(A)+ I p(A)最大化的行為。用逆向歸納法求解，首先給定 A,最大化家長的收益 VlpA-B+Klc