概率統(tǒng)計(jì)在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用

1、、綜述研究自然界中隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)方法， 叫做概率統(tǒng) 計(jì)，又稱數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。概率論是根據(jù)大量同類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律， 對(duì)隨機(jī) 現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷， 對(duì)這種 出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述；比較這些可能性的大 小、研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一整套數(shù)學(xué)理論和方法。概率論作為一門(mén)數(shù)學(xué)分支， 它所研究的內(nèi)容一般包括隨機(jī) 事件的概率、 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和更深層次上的規(guī)律性。 概率是 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo)。 在獨(dú)立隨機(jī)事件中， 如果 某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率， 在更大的范圍內(nèi)比較明顯 的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可 以認(rèn)為這個(gè)事件發(fā)生的概 率為這個(gè)常數(shù)。對(duì)于

2、任何事件的概率值一定介于 0 和 1 之間。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用概率的理論來(lái)研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的 規(guī)律性；對(duì)通過(guò)科學(xué)安排的一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)方法 給出嚴(yán)格的理論證明； 并判定各種方法應(yīng)用的條 件以及方法、 公式、結(jié)論的可靠程度和局限性。 使我們能從一組樣本來(lái)判定 是否能以相當(dāng)大的概率來(lái)保證某一判斷是正確的， 并可以控制 發(fā)生錯(cuò)誤的概率。數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括抽樣、適線問(wèn)題、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、相 關(guān)分析等內(nèi)容。 抽樣檢驗(yàn)是要通過(guò)對(duì)子樣的調(diào)查， 來(lái)推斷總體 的情況。究竟抽樣多少，這是十分重要的問(wèn)題，因此，在抽樣 檢查中就產(chǎn)生了“小樣理論”，這是在子樣很小的情況下，進(jìn) 行分析判斷的理論。適線問(wèn)題也叫曲線擬和

3、。 有些問(wèn)題需要根據(jù)積累的經(jīng)驗(yàn)數(shù) 據(jù)來(lái)求出理論分布曲線， 從而使整個(gè)問(wèn)題得到了解。 但根據(jù)什 么原則求理論曲線？如何比較同一問(wèn)題中求出的幾種不同曲 線？選配好曲線，有如何判斷它們的誤差？ 就屬于數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的適線問(wèn)題的討論范圍。統(tǒng)計(jì)方法是一上提供的方法在各種具體問(wèn)題中的應(yīng) 用，它不去注意這些方法的的理論根據(jù)、數(shù)學(xué)論證。 應(yīng)該 指出，概率統(tǒng)計(jì)在研究方法上有它的特殊性， 和其它數(shù)學(xué)學(xué)科 的主要不同點(diǎn)有： 第一，由于隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是一種集體 規(guī)律，必須在大量同類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象中才能呈現(xiàn)出來(lái)， 所以，觀察、 試驗(yàn)、調(diào)查就是概率統(tǒng)計(jì)這門(mén)學(xué)科研究方法的基石。第二，在 研究概率統(tǒng)計(jì)中，使用的是“由部分推斷全體”

4、的統(tǒng)計(jì)推斷方 法。第三，隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性，是指試驗(yàn)、調(diào)查之前來(lái)說(shuō)的。、例題分析例一：假設(shè)你參加了一個(gè)游戲節(jié)目， 現(xiàn)在要從三個(gè)密封的箱子中 選擇一個(gè)。其中兩個(gè)箱子是空的，另一個(gè)箱子里面有大獎(jiǎng) （ 你 偶像的簽名AA）。你并不知道獎(jiǎng)在哪一個(gè)箱子里，但主持人知 道。游戲節(jié)目的主持人先要你選擇一個(gè)箱子， 接著他把你沒(méi)有選的空箱子打開(kāi)， 以證明它是空的。 最后主持人給你換箱子的機(jī)會(huì)，你可以把你所選擇的箱子換成另一個(gè)沒(méi)有打開(kāi)的箱子。 此時(shí)你該不該換箱子？分析： 要相信直覺(jué)。你當(dāng)然應(yīng)該換箱子！我們把三個(gè)箱子編號(hào)A,B,C，并假設(shè)你選的是A箱。顯然獎(jiǎng)品在A里的概率是1/3 , 在B或C里的概率是2/3。B和C

5、可能有一個(gè)是空的，也可能 兩個(gè)都是空的。因此，當(dāng)你選擇了 A箱后，主持人很可能會(huì)打 開(kāi)B箱或C箱，以顯示里面是空的。在這種情況下，主持人的 舉動(dòng)并不會(huì)影響?yīng)勂吩贏箱里面的機(jī)會(huì)。我們假設(shè)主持人打開(kāi) 了 B箱，以告訴你它是空的?，F(xiàn)在A箱有獎(jiǎng)品的概率還是1/3， B箱里面有獎(jiǎng)品的概率是0,因此C箱里面有獎(jiǎng)品的概率是2/3。 在這種情況下，你應(yīng)該換到C箱，因?yàn)樗鼓阙A的機(jī)會(huì)提高了1 倍！例二：世界上每十萬(wàn)人中就有一人是艾滋病患者。 艾滋病的檢測(cè) 目前已經(jīng)很準(zhǔn)確,但并非萬(wàn)無(wú)一失。它的檢測(cè)準(zhǔn)確率是 99%, 假設(shè)你剛?cè)プ鐾臧滩z驗(yàn)，得到的了檢測(cè)報(bào)告，結(jié)果是陽(yáng) 性！你會(huì)絕望或昏倒嗎？或者說(shuō),你會(huì)擔(dān)心到什么

6、程度？分析： 你大可不必那么擔(dān)心,因?yàn)槟銕缀蹩梢源_定沒(méi)有得艾滋 病。什么？檢測(cè)是陽(yáng)性還幾乎可以確定沒(méi)有艾滋?。?！是的, 為了說(shuō)明這一點(diǎn)， 假設(shè)有 100 萬(wàn)人和你做了同樣的檢驗(yàn)。 在這 100萬(wàn)人中，得病的會(huì)有 10 個(gè)，沒(méi)有得病的有 999990個(gè)。當(dāng) 這些人接受檢驗(yàn)時(shí)， 910 個(gè)人患有艾滋病的人會(huì)呈現(xiàn)陽(yáng)性反 應(yīng)，另外 999990 個(gè)沒(méi)有得病的人則會(huì)有 1%出現(xiàn)錯(cuò)誤的陽(yáng)性反 應(yīng)，換算成人數(shù)大概是 1 萬(wàn)人。也就是說(shuō)，大約 10000 個(gè)陽(yáng)性 診斷中，實(shí)際只有 10 個(gè)左右是真正患者。因此，絕大多數(shù)所 呈陽(yáng)性的反應(yīng)都是誤診。 當(dāng)你得到陽(yáng)性的檢測(cè)結(jié)果時(shí)， 真正得 艾滋病的機(jī)會(huì)大概只有千分之一

7、。 （當(dāng)然，如果你在檢測(cè)之前 很可能感染艾滋病的事，那就另當(dāng)別論了）例三：一個(gè)國(guó)家人們只想要男孩， 每個(gè)家庭都會(huì)一直要孩子， 只 到他們得到一個(gè)男孩。如果生的是女孩，他們就會(huì)再生一個(gè)。 如果生了男孩，就不再生了。那么，這個(gè)國(guó)家里男女比例如何？ 分析：一開(kāi)始想當(dāng)然的以為男多女少， 畢竟都想要男孩。 但是注 意這句話“如果生了男孩，就不再生了”，一個(gè)家庭可能有多 個(gè)女孩，只有一個(gè)男孩。再仔細(xì)分析，我們來(lái)計(jì)算期望值，只 用計(jì)算一個(gè)家庭就行了。設(shè)一個(gè)家庭男孩個(gè)數(shù)的期望值為S1，女孩為S2.根據(jù)題目條件，男孩的個(gè)數(shù)期望值 S1 = 1這個(gè)是不 用計(jì)算了。主要計(jì)算 S2 一個(gè)家庭的孩子數(shù)量可以 為:1,2

8、,3,4,5對(duì)應(yīng)的的男女分布為：“男”,“女男”，“女 女男”，“女女女男”，“女女女女男”對(duì)應(yīng)的概率分布為1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 。 其 中 女 孩 的 個(gè) 數(shù) 分 別 為0,1,2,3,4 因此 S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 +4*1/32 + 可以按照題2用級(jí)數(shù)求，也可以用錯(cuò)位相減法 ： S2=1/4+2/8+3/16+4/32+ 兩 邊 乘 以 2, 得 :2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+.兩 個(gè) 式 子 相 減 得S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+=1.所以期望值都為 1,男女 比

9、例是一樣的。例四：一副撲克牌 54張，現(xiàn)分成3等份每份 18張，問(wèn)大小王出 現(xiàn)在同一份中的概率是多少？（大意如此）解答 1：54張牌分成3等份，共有M=（C54取18）*（C36取18）*（C18 取18）種分法。其中大小王在同一份的分法有 N=（C3取1）*（C52 取 16）*（C36 取 18）*（C18 取 18）種。因此所求概率為 P=N /M=17/53。解答 2：不妨記三份為A B、C份。大小王之一肯定在某一份中， 不妨假定在A份中，概率為1/3。然后A份只有17張牌中可 能含有另一張王，而 B 份、 C 份則各有 18 張牌可能含有另一 張王， 因此 A 份中 含有另一張王的

10、概率是 17/（17+18+18）=17/53 。也因此可知， A 份中同時(shí)含有大小王 的概率為 1/3 * 17/53 。題目問(wèn)的是出現(xiàn)在同一份中的概率，因此所求概率是 3*(1/3 * 17/53)=17/53 。例五：有一蘋(píng)果， 兩個(gè)人拋硬幣來(lái)決定誰(shuí)吃這個(gè)蘋(píng)果， 先拋到正 面者吃。問(wèn)先拋者吃到蘋(píng)果的概率是多少？分析：我首先想到的就是把第一次拋到正面的概率 + 第二次拋 到的概率+無(wú)窮多次，當(dāng)然后面的概率幾乎為0 了。結(jié)果就是P = 1/2 + 1/8 + 1/32+最后的結(jié)果就是 P=2/3 .這 個(gè)計(jì)算也不難，其實(shí)就是等比數(shù)列，比為 1/4。簡(jiǎn)單的無(wú)窮級(jí) 數(shù) (1/2)/(1-1/4)

11、=2/3。1/(1-x)A2=1+2x+3xA2+4xA3+5xA4+ (-1<x<1) 還有一個(gè)別人 的分析：給所有的拋硬幣操作從 1 開(kāi)始編號(hào)， 顯然先手者只可 能在奇數(shù)(1,3,5,7)次拋硬幣得到蘋(píng)果，而后手只可能在 偶數(shù)次(2,4,6,8)拋硬幣得到蘋(píng)果。設(shè)先手者得到蘋(píng)果的 概率為P,第1次拋硬幣得到蘋(píng)果的概率為1/2，在第3次(3,5,7)以后得到蘋(píng)果的概率為p/4 (這是因?yàn)檫@種只有在第 1 次 和第 2 次拋 硬幣 都沒(méi)有 拋到 正面( 概率為 1/4=1/2*1/2 )的時(shí)候才有可能發(fā)生，而且此時(shí)先手者在此面 臨和開(kāi)始相同的局面) 。所以可以列出等式 p=1/2+

12、p/4 ， p=2/3。三、總結(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)有特色且又十分活躍的 分支，一方面，它有別開(kāi)生面的研究課題，有自己獨(dú)特的概念 和方法，內(nèi)容豐富，結(jié)果深刻；另一方面，它與其他學(xué)科又有 緊密的聯(lián)系，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。由于它近年來(lái)突飛 猛進(jìn)的發(fā)展與應(yīng)用的廣泛性，目前已發(fā)展成為一門(mén)獨(dú)立的一級(jí) 學(xué)科。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學(xué)技術(shù)中，如預(yù)測(cè)和濾波應(yīng)用于空間技術(shù)和自動(dòng) 控制，時(shí)間序列分析應(yīng)用于石油勘測(cè)和經(jīng)濟(jì)管理，馬爾科夫過(guò)程與點(diǎn)過(guò)程統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用于地震預(yù)測(cè)等，同時(shí)他又向基礎(chǔ)學(xué) 科、工科學(xué)科滲透，與其他學(xué)科相結(jié)合發(fā)展成為邊緣學(xué)科，這 是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的一個(gè)新趨勢(shì)。(孔繁亮)目前，概率統(tǒng)計(jì)理