坐標系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換

1、不同空間直角坐標系之間的轉(zhuǎn)換不同空間直角坐標系Z間的轉(zhuǎn)換右三種模型，即布爾莎模型、范士模型、英洛金斯基模型 轉(zhuǎn)換參數(shù)包括三個平移參數(shù)、三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)與一個尺度參數(shù)。對于坐標換算而言等價，推導 布爾莎公式如下：Xr=21Xo4-(14-dK)K|e )X(1)式中 X一一P在坐標系，Ot-XtYjZt中的坐標向量X一一P在坐標系O 一XYZ中的坐標向量JXo一一原點平移向量，axq=ax ay jz)tdK一尺度變化系數(shù)，K(e )一一旋轉(zhuǎn)矩陣R二 R(z)R(y)R(6z)cosy cosrzcosrx sin + sinsin cosz sin rx sin % 一 cosrx sin g c

2、os2= 一 cosrY sin z cosx cosrz - sinsin rY sin rz sincosrz + cosrx sin “ sin、 sin rY- sin 抵 cos$ycosx cosrY當已知轉(zhuǎn)換參數(shù)ZX。、dK、R(e)時，可按上式將P,點的X坐標系坐標換算為治坐 標系的坐標。按最小二乘原則求解轉(zhuǎn)換參數(shù)/X。、dK、陀)如下.因旋轉(zhuǎn)角e很小，有sinexe 和cose=l,若忽略e二階微小童，XTi= ZlXo4-R(e)d/CX/+R|e)X/=ZX+(E+Q)dKX,+(E+Q)X,= ZXo+dKX,+K+QX,則旋轉(zhuǎn)陣代入(10-28)式忽略二階微小量dKQ

3、X,得顧及0% -%、(%0-J嶺、0X嚴_Fzo vY,=Z,0-Xj務1務X0 JZX, 0 ,忌則(1)式為1%)3八0_Z,=+dK +0務+T1%X,0 J匕丿（此即用于兩空間直角坐標系相互變換的布爾莎七參數(shù)公式）若上式中ex=eY=O,忽工0,則上式為五參數(shù)轉(zhuǎn)換模型。若再有血=0,則上式為四參 數(shù)轉(zhuǎn)換模型。若尺度比參數(shù)亦為零，則得三參數(shù)轉(zhuǎn)換模型2dyt=+Tl辺三摻數(shù)轉(zhuǎn)換公式是在假設兩坐標系間各坐標軸相互平行，即軸系間不存在歐勒角的條件下 導出的，這在實際情況中往往是不可能的。在歐勒角不大，求得歐勒角誤差和歐勒角本身 數(shù)值屬同一數(shù)量級時，可以近似地這樣處置。此種情況在國內(nèi)外一些坐標

4、換算中屢見不鮮， 如北美坐標系相對于地心坐標系的三參數(shù)是X0=-22m, y0=157m, Z=176；歐洲坐標系相對 于地心坐標系的三參數(shù)是X0=-84m, y0=-103m, Z0=-127m等。我國地心坐標系轉(zhuǎn)換參數(shù) （DX-1）也屬三個轉(zhuǎn)換參數(shù)。則誤差方程法方程btpby-btplax=q單位權(quán)方差當根據(jù)多個公共點按最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時，對每個點有觀測方程0加、XX-疋1 0 0 0 -zx 耳、必wxo 1 o x A o -x.dKy =(IK匕-zjko o i zx -x o y5務ez j設ri o o x, o -z, y,、% =B嚴o 1 o y, z. o - x

5、ik-zJ0 0 1 Z -K X0k117Jb=(耳a耳不同空間人地坐標系之間的轉(zhuǎn)換對于不同人地坐標系的換算，除包含三個平移參數(shù)、三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和一個尺度變化參數(shù)外，還包括兩個地球橢球元素變化參數(shù)，以下推導不同大地坐標系的換算公式宓麗亞一dBaz-dB ax瓦OY一兀az一兀cosBcosLcosBcosL空餡亦az喬 來一 csaY一 csaz一 XdBb2dZz.JdHHrH】siii L(N + H)cosBsin BcosLM + HcosBcosLcosL(N + H)cosB sin B sin L M + H cosBsiii LcosBM + Hsin B（2）式可寫為:dLd

6、B 二dHsin L (N + H)cosB sin BcosL 譏 P M + H cosBcosLcosL 人 (N + H)cosB sin B sin L “ PM + HcosBsin L0cosBM + Hsin B咅Pn AXAZ0tgBcosL-siiiLNe2 sillBcosBsiiiLtgB siiiLcosL Ne2 siiiB cosB cosLPn0e2 sin E cosB/7M + HN(l-e2sin2B) + H顧及（1）式及0 0N 2 口 ”M(2-e2 sin2B) 口 口”e sm Be os Bp sm BcosBp (M + H)a (M + H

7、)Q-a)(1-e2 sill2 B)(1-e2 sin2 B) sill2 BaI-adada上式通常稱為廣義人地坐標微分公式或廣義變換橢球微分公式。如略去旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度變化參數(shù)的影響，即簡化為一般的人地坐標微分公式。根據(jù)3個以上公共點的兩套大地坐標值，可列出9個以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得8個轉(zhuǎn)換參數(shù)。2.空間直角坐標與空間大地坐標的轉(zhuǎn)換圖2-6表示了空間直角坐標系與空間人地坐標系Z間的關系。圖2-6地球空間fl角坐標系與大地坐標系在相同的基準卜空間人地坐標系向空間直角坐標系的轉(zhuǎn)換公式為：X = (N + H)cosEcosLY=(N+H)cosBsinL ”2J)Z =

8、 N(l-e2)+Hsin BJ式中，N = A . n為橢球的長半軸，N為橢球的卯酉圈曲率半徑 Wa二6378. 137kmW= Vl-e2siii2Be?= 匚二，e為橢球的第一偏心率，b為橢球的短半軸 ab =6356. 7523141km在相同的基準卜空間直角坐標系向空間人地坐標系的轉(zhuǎn)換公式為( ae2 sinBB = arctg tgQ 1 +IX丿Rcos H =NcosB式中二 arctgZVx2 + y2r=Vx2+y2 + z32.3不同平面坐標系轉(zhuǎn)換眾所周知，坐標系之間的差異主要取決于定位與定向、橢球參數(shù)以及坐標系的尺度定義。從 原理上講，嚴密方法是將舊網(wǎng)的全部觀測資料覓新

9、歸算到新坐標系中，垂新平差計算出各點 的新坐標。對于二維轉(zhuǎn)換模型，參數(shù)的選取依賴于工程項目的需要，在人多數(shù)的平面坐標轉(zhuǎn) 換應用中，常常使用四參數(shù)模型、直接參數(shù)法、六參數(shù)模型等。四參數(shù)模型四參數(shù)模型是從布爾莎公式演化而來的.英計算公式為：X+ (1 加)+ycosOsinO-sinOXcosOy_式中.Ax、Ay. 0 . m分別為平面上的平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)。不難看出，要求出4個 參數(shù)至少需要2個己知公共點。當右2個以上轉(zhuǎn)換公共點時，將此模型轉(zhuǎn)換為線性模型用最 小二乘求解：(2)式中二Ax b= Ay , c = mcosG, d=msin6 m= Qi2 + b：對于n個公共點可列如卜誤差方

10、 程：Vaivr.V兒1010兀2y2X“兒X工設所有轉(zhuǎn)換點帶有誤差的觀測值等權(quán)則由式（3）的誤差方程.通過間接平差法杏得轉(zhuǎn)勢參 數(shù)向勒的最小二乘解為：A （BtPB）-1BtPL （其中P為單位權(quán)）,從而求出合、b. e、do則平移參數(shù)7jAx=a, Ay=b,再用以下兩式計算旋轉(zhuǎn)參數(shù)e和尺度因子m： 0= /a2 + b2,Am=arctan （-c/d）直接參數(shù)法直接參數(shù)法就是利用兩套坐標系兩個已知公共點的坐標（X1/Y1）aX2/Y2）ax1/y1）.（x2/y2） 求出坐標轉(zhuǎn)換平移參數(shù).尺度因子、旋轉(zhuǎn)參數(shù)。數(shù)學模型點用;）-紗）-（;:）S=x/AX2 4- AY2/s=/Ax2 +

11、 Ay2,A= I.此處進入公式,d= 平移參數(shù)（當卜C；） 一 C；），尺度因子吩旋轉(zhuǎn)參數(shù)e=Ad則其他點（Xi,Yi）的坐標轉(zhuǎn)換公式為：（篦）：） 一 C：）（紗（仆）（一鬻黑）;）代）+（誥）上式方法是直接根據(jù)兩公共坐標求轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后根據(jù)轉(zhuǎn)換參數(shù)求坐標增最的轉(zhuǎn)換值，最后 求出轉(zhuǎn)換點在新坐標系下的坐標。六參數(shù)模型六參數(shù)模型是-種平面仿射變換，將兩坐標軸的指向經(jīng)過2個角度旋轉(zhuǎn)Cl和卩，并采用2個尺 度因子，即縱向尺度因子人和橫向尺度因子Ay。在任意2個平面坐標間的六參數(shù)仿射變換, 可以用如下公式：_ 人sin|3人.COSp式中x、Ay為平移參數(shù)；a、卩為旋轉(zhuǎn)參數(shù)；人、入y為比例因子。顯然

12、要求解6個轉(zhuǎn)換參 數(shù).至少需要3個公共點的坐標。當有3個以上轉(zhuǎn)換公共點時，可用最 小二乘求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。將式矩陣運算解開，町得X= cosa x-sinp y + AxY = Xx sin a x + 入、cos卩 y +AyJ令5= Ax, a丄ssa, a2 sill Pb0=Ay z b丄=AX sill a, b2 =Ay cos p 則上式可以寫為：X - a) + a x + a? yV = b()+q x + b2 y由以上兩式可見，X和x、y之間存在線性關系，Y和x、y之間也存在線性關系，因此以上 兩式完全可以由線性回歸原理進行解算。用一個通用型線性回歸模型代替以上兩個式子，即N =乙 + 化 +心(5)按以小二乘原理，令(5)式20 = 2人-比+心N +血片)二min可得線性回歸系數(shù)kj(j=123)即*= 3”)川H 不 Xi 】 *2 少2aN 一式中_ 1 6 .對于通用線性回歸模型(5)將Z變?yōu)閄.則K丄、K2. K3即分別為a。、心、2：將Z變?yōu)閅, 則分別為b。、5、b2 o根據(jù)、g、。2和b、S