淺析學(xué)習(xí)乘法公式注意的問題

1、淺析學(xué)習(xí)乘法公式注意的問題乘法公式是整式的乘除一章的重要內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具，要學(xué)好這 部分知識，應(yīng)注意以下七個(gè)方面。一.注意掌握公式的幾何意義1.平方差公式：(a b)(a -b)二 a2 -b2如右圖所示：四邊形 ABCD、EBFG分別是邊長為a、b的正方形，由面積可得:2 2a b 二a（ab） b（ab）即 a2 -b2 = （a b）（a -b）2.完全平方公式:2 2 2（a 二 b）二 a 二2ab b如右圖所示：大正方形面積為(a b)2是兩個(gè)小正方形的面積a2、b2之和，再加上兩個(gè)長方形的面積2ab，即得2 2 2(a b)二 a 2ab b。如圖3所示：把(a

2、-b)2看作大正方形的面積 a2減去兩個(gè)陰影的長方形面積之和2ab，這樣就多減去陰影重合部分的小正方形的面積b2，再把它補(bǔ)上。即(a -b)2 =a2 -2ab - b2pFl.注意掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是正確使用公式的前提。如平方差公式（a b）（a _b）二 a2 _b2 的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：公式的左邊是這兩個(gè)二項(xiàng)式的積，且這兩個(gè)二項(xiàng)式有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，公式的右邊是這兩項(xiàng)的平方差，且是左邊的相同的一項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的一項(xiàng)的平方。掌握了這些特點(diǎn)，就能在各種情況下正確運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了。例1.計(jì)算：4x22丿124x2（-2x-3y）2分析：題是兩個(gè)二項(xiàng)式相

3、乘，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中各有一完全相同的項(xiàng)4x2，另外一項(xiàng)1 1-丄與丄互為相反數(shù)，符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此，可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。2 2是一個(gè)二項(xiàng)式的乘方，且這個(gè)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)的符號相同故符合(a b)2 =a2 2ab - b2的形式特點(diǎn)，因此可用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。解： 原式=(4x2)2 _ 1 ： = 16x4 - 原式二(2x)2 - 2(-2x)( -3y) - (-3y)2 二 4x2 12xy 9y2【點(diǎn)撥】：此類問題要求我們除注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)外，還要注意式子中符號的改變所 引起的變化。三. 注意公式中字母的廣泛意義乘法公式中的字母既可以代表任意的數(shù)，又可以代表代數(shù)式，

4、只有注意到字母所表示的 意義的廣泛性，就能擴(kuò)大乘法公式的應(yīng)用范圍。例 2.計(jì)算：(a 2b -3c)(a -2b 3c)(2x y -3)2。分析：本題是兩個(gè)三項(xiàng)式相乘的形式，沒有現(xiàn)成的乘法公式可直接運(yùn)用，可這兩個(gè)多 項(xiàng)中的第一項(xiàng)的符號相同，后兩項(xiàng)它們是符號相反，它符合平方差公式的特點(diǎn)形式，故我們可把后兩項(xiàng)看作為一項(xiàng)(一個(gè)整體)，便可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。本題是三項(xiàng)式的完全平方，若把前兩項(xiàng)(或后兩項(xiàng)也可以)當(dāng)作一項(xiàng)(一個(gè)整體)，便可用二項(xiàng)式的完全平方公 式計(jì)算。解：原式=a (2b -3c) a -(2b -3c)原式二 l(2x y) - 32 2 2=a_(2b-3c)= (2xy) -

5、6(2x y) 92 2 2 2 2=a-(4b-12bc9c )= 4x4xy y - 12x - 6y9二 a24b2 12bc9c2四. 注意合理使用乘法公式有些題目可以使用不同的公式來解，要注意選擇最佳解法。例 3、 計(jì)算：(a -1)2(a 1)2(a2 -a 1)2(a2 a 1)2分析：此題若將四個(gè)因式都按完全平方公式展開再相乘，則運(yùn)算相當(dāng)繁瑣，若先應(yīng)用乘法的交換律和結(jié)合律再逆用積的乘方法則，然后利用立方和(差)公式來解，便可化繁為簡。解：原式-l(a -1)(a2 a T)丨(a T)(a2 - a T) f,32 ,32,332 z 62126,=(a -1) (a 1) =

6、 (a -1)(a1) (a -1) = a - 2a 1111 1例 4、計(jì)算：(1 一飛)(1 一飛)(1 一冇)(1 -r)234102解析：這道題項(xiàng)數(shù)較多，數(shù)值較大，各個(gè)括號逐一計(jì)算，比較麻煩，令人望而生畏 而逆用平方差公式，將各括號展開交錯(cuò)約分可使問題巧妙獲解1原式=(1s)(11111 1 1一？1評一邛1 ? (1 一存1扁)1 32 4 3 591111111yy 770*"77 » « y “ y7= 二 二2 23 3 4 410 102 1020五. 注意創(chuàng)造條件使用公式有些題目，不能直接套用公式， 但是對原題目進(jìn)行適當(dāng)變形，使之具備公式的結(jié)

7、構(gòu)特點(diǎn)后，便可利用公式來解。例5、計(jì)算：(50卡)2 一(49罟)2解析：若先算平方，再求差，則復(fù)雜繁瑣，而將1 1011a看作50 ，將b看作49 ，逆用11平方差公式，則問題化繁為簡，事半功倍2001012 102 110 1(50 )2 -(49)2=(5049)(5049)=100 11 11 11111111 11例 6、計(jì)算：1002 -99.9 100.1解析：先算平方和積，再求差，比較麻煩，而將99.9 100.1變形為(100 -0.1)(1000.1)，再運(yùn)用平方差公式，則問題迅速獲解1002 -99.9 100.1 = 100(10 0.1)(1000.1) = 1002

8、 - (1002 - 0.12) = 0.01例 7、計(jì)算：(2x-3y-1)(-2x-3y 5)分析：本題中的兩個(gè)因式不符合乘法公式的特點(diǎn)，因而不能應(yīng)用平方差公式來解。但若 將本題兩個(gè)因式中的項(xiàng)分別進(jìn)行拆項(xiàng)完形：將前一因式的“-1 ”拆成“ -3 2”，將后因式的“ 5”拆成“ 3+2”，便可用平方差公式來計(jì)算。解：原式-1(2 -3y)(2x -3) "(2 - 3y) - (2x - 3) 1= (23y)2 -(2x-3)22 2=9y -12y-4x 12x-5六. 注意乘法公式的逆用不僅要掌握乘法公式的正向應(yīng)用，還要注意掌握公式的逆向應(yīng)用，乘法公式均可逆用，乘法公式的逆用

9、常用的是因式分解，另外還有完全平方公式的逆用就是配方，它是把一個(gè)二2 2 2 2 2次三項(xiàng)式寫成積的形式， 即a二2ab b =(a二b)，其中二次三項(xiàng)式 a二2ab - b又叫完 全平方式由于平方式具有非負(fù)性，所以利用“配方法”，可以巧妙地解決許多非負(fù)數(shù)問題例 8、計(jì)算：2a - b 3c 2 - 2a b - 3c 2分析：本題為兩個(gè)三項(xiàng)式的平方差，如果先去括號，再計(jì)算，則較繁仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)多項(xiàng)式，若逆用公式，則有的項(xiàng)相消，則可簡化計(jì)算解：2a -b 3c 2 - 2a b -3c 2=2a -b 3c 2a b -3c 】2a - b 3c - 2a b -3c 丨=4a - 2b

10、 6c=-8ab 24ac例9、設(shè)a、b、c、d為四邊形的四邊長且 a4 b4 c4 d4 =4abcd，試判別此四邊形的形狀。解： a4 b4 c4 d4 -4abcd = 0配方得：a4 -2a2b2 b4 c4 - 2c2d2 d4 2a2b2 2c2d2 - 4abcd = 0即(a? -b2)2 (c2-d2)2 2(ab-cd)2=02 2 2 2a -b =0, c -d =0, ab-cd=0a = b = c = d.以a、b、c、d為四邊的四邊形為菱形【應(yīng)用練習(xí)】：1、 若x, y為有理數(shù)，且滿足 x2 3y2 -12y 10，求yx的值.2 2 22、已知 a -b =

11、-2,b -c =5，求 a b c -ab -bc-ac 的值.3、試說明不論x,y為何值時(shí)，代數(shù)式x2 y246y 14的值總是正數(shù).【應(yīng)用解析】：1、分析：欲求yx的值，須求出x, y的值由題知，把已知式子進(jìn)行配方，再利用非負(fù) 數(shù)的性質(zhì)便可達(dá)到解題目的.解：x2 3y2 -12y 12 =0，x2 3(y2 -4y 4) = 0，x2 3(y-2)2=0， x2 > 0,( y-2)2 > 0，二 x2 =0,( y '2)2 = 0，即卩 x=0, y = 2，-yx=20=1.2、 分析：顯然，本題若按一般方法，即先求出a,b,c的值，再代入多項(xiàng)式求值，將十分困難

12、.而我們發(fā)現(xiàn)，將求值式乘以2,則會出現(xiàn)完全平方式，其中也恰恰含有條件式.因此,解決本題的關(guān)鍵是如何利用“配方法”將多項(xiàng)式進(jìn)行變形，從而能夠運(yùn)用已知條件求解.解： a - b - -2,b -c =5，a - c 二 3，二 a2 b2 c2abbeac2b _ c1 2 2 2 1 2= j2a2 +2b2 +2c2 2ab2bc 2ac)=(a b)1 2 2 2=? -252 32 =19.2 2143、分析：本題實(shí)質(zhì)就是證明x y46y 14>0 觀察代數(shù)式不難發(fā)現(xiàn)，將拆成4、9與1的和，則立即出現(xiàn)了兩個(gè)完全平方式，然后再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)便可達(dá)到目 的.2299O2解：x +y +

13、4x_6y+14=x +4x+4 + y _6y+9+1 = (x+2) +(y_3) +1 - (x 2)2 >0,(y-3)2 >0,2 2 2 2 (x 2)(y-3)1 >0.即代數(shù)式x y 4x -6y 14的值總是正數(shù).七. 注意乘法公式的變形根據(jù)題意，要善于對公式變形的應(yīng)用，在解題中充分體現(xiàn)應(yīng)用公式的思維靈活性和廣 泛性，常用的公式變形有：完全平方公式(a ' b)2 = a2 2ab b2,( a - b)2二a2 - 2ab ' b2在使用時(shí)常作如下變形：(1) a2 b2 = (a b)2 -2ab, a2 b2 = (a -b)2 2ab

14、(a b)2 =(ab)2 4ab,( a -b)2 二(a b)24ab(3) (a b)2 (ab)2 =2(a2 b2)2 2 1 2 2(4) a b (a b) (a b)(5) ab=g(a+b)2(ab)22 2 2 1 2 2 2(6) a b cabbcca(ab)(bc)(ca)同學(xué)們在運(yùn)用公式時(shí)，不應(yīng)拘泥于公式的形式而要深刻理解、靈活運(yùn)用。例10、已知長方形的周長為 40,面積為75,求分別以長方形的長和寬為邊長的正方 形面積之和是多少？解設(shè)長方形的長為a，寬為b，則a +b=20 , a b=75.由公式，有：2 2 2 2a +b =( a +b) -2 a b=20

15、 -2 X 75=250.(答略)【應(yīng)用練習(xí)】：1、已知長方形兩邊之差為4，面積為12,求以長方形的長與寬之和為邊長的正方形面積2、若一個(gè)整數(shù)可以表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和，證明：這個(gè)整數(shù)的2倍也可以表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和【應(yīng)用解析】：1、解 設(shè)長方形長為a，寬為b,則a -b = 4,ab = 12由公式 ，有：(a b)2 = (a -b)2 4ab = 424 12 = 642、證明設(shè)整數(shù)為x,則 a2b2 ( a、b都是整數(shù)).由公式 ，有 2x =2(a2 b2) =(a b)2 - (a -b)2得證例11、已知兩數(shù)的和為10,平方和為52,求這兩數(shù)的積.解 設(shè)這兩數(shù)分別為a、b,則a

16、 b =10,a2 b 52由公式(5),有:ab 二-(a b)2 (a2)1丄(102 -52) = 242 2【應(yīng)用練習(xí)】：已知 a =x 1, b =x 2,c = x 3 求：a2 b2 c2 - ab - be - ac 的 值解析：由公式有：2 2 2 1 2 2 2a b c _ab_bc_ac (a_b) (b_c) (c _ a) J2h1 (-1)2( T)2221 (1 T 4) =32 2例12、已知：a、b為自然數(shù)且a b = 40。2 2(1)求a b的最小值；(2)求ab的最大值。(a b)2 (a -b)2402 (a -b)21(a b)2 _0.當(dāng)a=b時(shí)

17、，a2 b2有最小值;1最小值為402 =80021 2 1 2(2)ab (a b)2 (a 一 b)244402一(a b)2 。一丄心一卩244(a _b)2 -0.當(dāng)a=b時(shí)，ab有最大值，最大值為400。【應(yīng)用練習(xí)】：1將長為64cm的繩分為兩段，各自圍成一個(gè)小正方形， 積之和最??？3、解設(shè)繩被分成的兩部分為 x、y， 設(shè)兩正方形的面積之和為 S,則由公式怎樣分法使得兩個(gè)正方形面則 x+y=64.，有：x 2 y 2122122s=(4)+(；) =(x +y)=32【(x+y)+(x-y) (x-y)2 >0,1 2 2=辺64 +(x-y).642 當(dāng)x=y即(x-y) =

18、0時(shí)，S最小，其最小值為 =128(cm ).如應(yīng)用不好會引起諸多方面的錯(cuò)誤，下面就同學(xué)們在學(xué)習(xí)的運(yùn)用的過程中出現(xiàn)的問題舉 例說明。一、平方差與完全平方公式混淆2 2 21、( x - 3y) = x - 9y2 2 22、( 2x + 3y) = 4x + 9y錯(cuò)因：這兩個(gè)式子都是完全平方公式，應(yīng)等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍。2,正確解法：1、(x-3y)2 =x2-2|_x|_3y (3y)2 二 x2 -6xy 9y22、(2x 3y)2 =(2x)2 2L25 (3y)2 =4x2 -12xy 9y2二、平方差公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)模糊2 2(m + 3n ) ( -m - 3

19、n ) = m - 9n錯(cuò)因：平方差公式左邊必須是兩式中一項(xiàng)相同，一項(xiàng)互為相反數(shù)。m+ 3n與-m - 3n兩項(xiàng)都互為相反數(shù)，此題不能用平方差公式。應(yīng)用完全平方公式。正確解法：(m + 3n ) ( -m - 3n ) =(m+3n址-(m+3n)=-(m+3n)2=-m2 2_m_3n (3n)2 = -m2 -6mn-9n2三、公式計(jì)算中項(xiàng)的概念不夠明確，漏掉系數(shù)2 2(2x + y ) ( 2x -y ) = 2x - y錯(cuò)因：式子在計(jì)算中都沒有明確“項(xiàng)”的概念，包括字母前面的系數(shù)，因此在平方時(shí) 漏掉了系數(shù)。應(yīng)是 2x與y這兩項(xiàng)的平方差。正確解法：(2x + y ) ( 2x - y )

20、 =(2 x)2 - y2 二 4x2 - y2四、公式中的符號錯(cuò)誤2 2 21、( -a + b ) = a + 2ab + b2 2 22、( -a -b ) = a - 2ab - b錯(cuò)因：公式中各項(xiàng)的符號特點(diǎn)及公式右邊各項(xiàng)與公式左邊兩項(xiàng)的的關(guān)系理解模糊，出 現(xiàn)了符號錯(cuò)誤。正確解法：1、( -a + b )2 = (-a)2 + 2|_(-a)|_b + b2 = a2 -2ab b22、( -a - b )2 = (-a)2 - 2|_(-a)|_b + b2 二 a2 2ab b222IL222或(-a - b ) = (-a) + 2|_(-a)_(-b) +(- b) =a 2a

21、b b例1已知下列計(jì)算:(x-y)(-x-y);(-x+y)(x-y);(-x-y)(x+y);(x-y)(y-x).其中能利用公式 (a+b)(a-b)=a2-b2計(jì)算的有 .【錯(cuò)】能利用公式計(jì)算的有：.【析】公式為:(a+b)(a-b)=a2-b2，即兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.如果 兩個(gè)多項(xiàng)式相乘能利用公式(a+b)(a-b)=a2-b2,則必須符合公式的特征.已知中的-y相當(dāng)公式中的a, x相當(dāng)于公式中的b,所以可以利用公式，而、都不符合公式的特征，即不是兩個(gè) 數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的形式，所以不能利用公式(a+b)(a-b)=a2-b2.【正】填.例 2 計(jì)算：(2

22、x-3y)(2x+3y).【錯(cuò)】(2x-3y)(2x+3y)=2x 2-3y2.【析】 公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a、b可以是一個(gè)具體的數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式 或多項(xiàng)式.已知式子中的2x和3y都是單項(xiàng)式，相當(dāng)于公式中的a、b,所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)用括號括起來.【正】(2x-3y)(2x+3y)=(2x) 2-(3y) 2=2x2-9y2.例3運(yùn)用公式計(jì)算：(-x-3y)(x-3y).【錯(cuò)】(-x-3y)(x-3y)=(-x) 2-(3y)2=x2-9y2.【析】利用公式(a+b)(a-b)=a2-b2計(jì)算一定要“對號入座”即找準(zhǔn)公式中的a、b，這里的-3y相當(dāng)公式中的a,而x則相當(dāng)于公式中的 b.錯(cuò)解在把a(bǔ)、