專題一：與直線形的性質(zhì)和判定相關(guān)問題

1、專題一：與直線形的性質(zhì)和判定相關(guān)問題一、 有關(guān)兩直線位置關(guān)系問題xyO111（2010年北京市中考）24. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y= -x2+x+m2-3m+2 與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2，n)在這條拋物線上。 (1) 求點B的坐標(biāo)； (2) 點P在線段OA上，從O點出發(fā)向點運動，過P點作x軸的 垂線，與直線OB交于點E。延長PE到點D。使得ED=PE。 以PD為斜邊在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD(當(dāng)P點運動 時，C點、D點也隨之運動) j 當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求 OP的長； k 若P點從O點出發(fā)向A點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時

2、線段OA上另一點Q從A點出發(fā)向O點作勻速運動，速度為每秒2個單位(當(dāng)Q點到達O點時停止 運動，P點也同時停止運動)。過Q點作x軸的垂線，與直線AB交于點F。延長QF 到點M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)Q點運動時，M點，N點也隨之運動)。若P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。二、 有關(guān)特殊三角形問題（一）等腰三角形2（2011豐臺一模）24.已知：如圖，在 EFGH中，點F的坐標(biāo)是（-2，-1），EFG=45°（1）求點H的坐標(biāo);（2）拋物線經(jīng)過點E、G、H,現(xiàn)將向左平移使之經(jīng)過點F，得到拋物

3、線,求拋物線的解析式；（3）若拋物線與y軸交于點A，點P在拋物線的對稱軸上運動請問：是否存在以AG為腰的等腰三角形AGP？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由參考答案：24解：（1）在ABCD中EH=FG=2 ，G（0，1）即OG=11EFG=45°在RtHOG中，EHG=45°可得OH=1H（1，0）2（2）OE=EH-OH=1E（1，0），設(shè)拋物線解析式為=+bx+c代入E、G、H三點，=1 ，b=0,，c=1 =13依題意得，點F為頂點，過F點的拋物線解析式是=14（3）拋物線與y軸交于點A A（0，3），AG=4情況1：AP=AG=4 過點A 作AB對稱軸于

4、BAB=2在RtPAB中，BP=(-2,3+)或(-2,3-) 6 情況2：PG=AG=4 同理可得：(-2,-1+)或(-2,-1-)8P點坐標(biāo)為 (-2,3+)或 (-2,3-)或(-2,-1+)或(-2,-1-).3（2011昌平一模）25.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3過原點O作AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DEDC，交OA于點E（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G如果EF=2OG，求點

5、的坐標(biāo)（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由參考答案：25.解：（1）OD平分AOC, AOC=90° AOD=DOC=45° 在矩形ABCD中，BAO=B=BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3AOD是等腰Rt 1分AOE+BDC=BCD+BDC=90°AOE=BCDAEDBDCAE=DB=1D(2,2),E(0,1),C(3,0) 2分則過D、E、C三點的拋物線解析式為： 3分（2）DHOC于點H,DHO=

6、90°矩形 ABCD 中, BAO=AOC=90°四邊形AOHD是矩形 ADH=90°.1+2=2+3=90°1=3AD=OA=2，四邊形AOHD是正方形.FADGHDFA=GH 4分設(shè)點 G（x，0），OG=x，GH=2-xEF=2OG=2x，AE=1，2-x=2x-1，x=1.G(1,0) 5分 (3)由題意可知點P若存在，則必在AB上，假設(shè)存在點P使PCG是等腰三角形 1）當(dāng)點P為頂點，既 CP=GP時，易求得P1（2,2），既為點D時，此時點Q、與點P1、點D重合，點Q1(2,2) 6分 2) 當(dāng)點C為頂點，既 CP=CG=2時, 易求得P2(3

7、,2)直線GP2的解析式：求交點Q: 可求的交點（）和（-1，-2）點Q在第一象限Q2（） 7分3)當(dāng)點G為頂點，既 GP=CG=2時, 易求得P3(1,2)直線GP3的解析式：求交點Q:可求的交點（）Q3（） 8分所以，所求Q點的坐標(biāo)為Q1(2,2)、Q2（）、Q3（）（二）等邊三角形4（2007北京市中考）24在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過兩點（1）求此拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點為，將直線沿軸向下平移兩個單位得到直線，直線與拋物線的對稱軸交于點，求直線的解析式；（3）在（2）的條件下，求到直線距離相等的點的坐標(biāo)1231234參考答案：24解：（1）根據(jù)題意得 解得所以拋物線的解析

8、式為：（）由得拋物線的頂點坐標(biāo)為B（，1）， 依題意，可得C（，-1），且直線 過原點， 設(shè)直線 的解析式為， 則 解得所以直線 的解析式為（3）到直線OB、OC、BC距離相等的點有四個，如圖，由勾股定理得 OB=OC=BC=2， 所以O(shè)BC為等邊三角形。易證軸所在的直線平分BOC，軸是OBC的一個外角的平分線，作BCO的平分線，交軸于M1點，交軸于M2點，作OBC的BCO相鄰?fù)饨堑慕瞧椒志€，交軸于M3點，反向延長線交軸于M4點， 可得點M1，M2，M3，M4 就是到直線OB、OC、BC距離相等的點。 可證OBM2、BCM4、OCM3均為等邊三角形，可求得：OM1 ，所以點M1的坐標(biāo)為（，0）

9、。點M2 與點A重合，所以點M2的坐標(biāo)為（0 ，2），點M3 與點A關(guān)于軸對稱，所以點M2的坐標(biāo)為（0 ，-2），設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點為N ， M4N ，且ON = M4N，所以點M4的坐標(biāo)為（，0）綜合所述，到戰(zhàn)線OB、OC、BC距離相等的點的坐標(biāo)分別為： M1（，0）、 M2（0 ，2）、 M3（0 ，-2）、M4（，0）。（三）直角三角形5（2010豐臺一模）25（本小題滿分8分）已知拋物線（1）求拋物線頂點M的坐標(biāo)；（2）若拋物線與x軸的交點分別為點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與

10、點B，點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍； （3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由參考答案：ANMCQBP2P1xy25解：（1）拋物線頂點M的坐標(biāo)為 - 1分（2）拋物線與與x軸的兩交點為A(-1,0) ，B（2，0）設(shè)線段BM所在直線的解析式為解得 線段BM所在直線的解析式為 - 2分設(shè)點N的坐標(biāo)為點N在線段BM上，. S四邊形NQACSAOCS梯形OQNC - 3分S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為，自變量t的取值范圍為- 4分（3）假設(shè)存在符合條件的

11、點P，設(shè)點P的坐標(biāo)為P（m，n），則且，分以下幾種情況討論：若PAC90°，則解得， - 6分若PCA90°，則解得， 當(dāng)點P在對稱軸右側(cè)時，PAAC，所以邊AC的對角APC不可能是直角存在符合條件的點P，且坐標(biāo)為， - 8分6（2010延慶一模）24. 如圖，已知拋物線C1：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標(biāo)是1（1）求P點坐標(biāo)及a的值；（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當(dāng)點P、M關(guān)于點B成中心對稱時，求C3的解析式；（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點

12、，將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當(dāng)以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標(biāo)yxAOBPM圖1C1C2C3圖24-1yxAOBPN圖2C1C4QEF圖24-2參考答案：24. 解：（1）由拋物線C1：得頂點P的為（-2，-5） 2分點B（1，0）在拋物線C1上 解得，a 4分（2）連接PM，作PHx軸于H，作MGx軸于G點P、M關(guān)于點B成中心對稱PM過點B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3頂點M的坐標(biāo)為（4，5） 5分 拋物線C2由C1關(guān)于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到

13、拋物線C3的表達式為 6分（3）拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱 由（2）得點N的縱坐標(biāo)為5yxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGK設(shè)點N坐標(biāo)為（m，5） 7分 作PHx軸于H，作NGx軸于G 作PKNG于K 旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上EFAB2BH6 FG3，點F坐標(biāo)為（m+3，0） H坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），根據(jù)勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 8分 當(dāng)PNF90º時，PN2+ NF2PF2，解得m，Q點坐標(biāo)為（，0） 當(dāng)PFN90

14、86;時，PF2+ NF2PN2，解得m，Q點坐標(biāo)為（，0）PNNK10NF，NPF90º綜上所得，當(dāng)Q點坐標(biāo)為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形 9分三、 有關(guān)四邊形問題（一）平行四邊形7（2010大興一模）25已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數(shù)式分別表示點與的坐標(biāo)，則； (2)如圖11，將沿軸翻折，若點的對應(yīng)點恰好落在拋物線上，與軸交于點，連結(jié)，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

15、（圖11）參考答案：25. （1）.1分（2）由題意得點與點關(guān)于軸對稱，在上，（不合題意，舍去），.2分，點到軸的距離為3.， ，直線的解析式為，3分它與軸的交點為點到軸的距離為.4分（3）在拋物線上存在點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形，當(dāng)點P1在y軸的左側(cè)時，若是平行四邊形，則平行且等于AC，把向上平移個單位得到，坐標(biāo)為，5分 （不舍題意，舍去），6分當(dāng)點在軸的右側(cè)時，若是平行四邊形，則與互相平分，與關(guān)于原點對稱，7分， （不合題意，舍去），存在這樣的點或，能使得以為頂點的四邊形是平行四邊形8分8（2011房山一模）24（本小題滿分8分）如圖，拋物線（0）與y軸交于點C,

16、與x軸交于A 、B兩點，點 A在點B的左側(cè)，且 （1）求此拋物線的解析式；（2）如果點D是線段AC下方拋物線上的動點，設(shè)D點的橫坐標(biāo)為x，ACD的面積為S，求S與x的關(guān)系式，并求當(dāng)S最大時點D的坐標(biāo)；（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點的平行四邊形？若存在求點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由(備用圖)（24題圖）參考答案：24解：（1）由已知可得C（0，-3），COB=90°， ， B（1,0） - 1分拋物線（0）過點B，m+3m-3=0 ， m=拋物線的解析式為 - 2分（2）如圖1，拋物線對稱軸為，B（1,0）A（-4,0）聯(lián)結(jié)OD，點D在拋物線上設(shè)

17、點D（x ，），則 = -3分S= - 4分當(dāng)x=-2時，ACD的面積S有最大值為6.此時，點D的坐標(biāo)為（-2，） - 5分（3）如圖2，當(dāng)以AC為邊，CP也是平行四邊形的邊時， CPAE，點P與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，此時P（-3，-3）. 如圖3，當(dāng)以AC為對角線，CP為邊時，此時P點的坐標(biāo)是（-3，-3） - 6分如圖4、圖5，當(dāng)以AC為邊，CP是平行四邊形的對角線時，點P、C到x軸的距離相等，則=3，解得，此時P（，3）（如圖4）（圖2）（圖3）或（，3）（如圖5） - 7分（圖4）（圖5）綜上所述，存在三個點符合題意，分別是（-3，-3），（，3），（，3） - 8分（二）梯形9

18、（2011門頭溝二模）25如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點A， 與y軸交于點B， 且OA = 3，AB = 5點P從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QBBOOP于點E點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t0）（1）求直線AB的解析式；（2）在點P從O向A運動的過程中，求APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）； （3）在點E從B向O運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；（4）當(dāng)DE經(jīng)過點O時，請你直接寫出t的值A(chǔ)BDE參考答案