放縮法證明數(shù)列不等式,學(xué)生

1、本文格式為word版，下載可任意編輯放縮法證明數(shù)列不等式,學(xué)生 放縮法證明數(shù)列不等式 2021.03 一、基礎(chǔ)學(xué)問： 在有些數(shù)列的題目中，要依據(jù)不等式的性質(zhì)通過放縮，將問題化歸為我們熟識的內(nèi)容進行求解。本節(jié)通過一些例子來介紹利用放縮法證明不等式的技巧 1、放縮法證明數(shù)列不等式的理論依據(jù)不等式的性質(zhì)： （1）傳遞性：若 , a b b c ，則 a c （此性質(zhì)為放縮法的基礎(chǔ)，即若要證明 a c ，但無法直接證明，則可查找一個中間量 b ，使得 a b ，從而將問題轉(zhuǎn)化為只需證明 b c 即可 ） （2）若 , a b c d ，則 a c b d + + ，此性質(zhì)可推廣到多項求和： 若 ( )

2、 ( ) ( )1 21 , 2 , ,na f a f a f n ，則: ( ) ( ) ( )1 21 2na a a f f f n + + + + + + （3）若需要用到乘法，則對應(yīng)性質(zhì)為：若 0, 0 a b c d ，則 ac bd ，此性質(zhì)也可推廣到多項連乘，但要求涉及的不等式兩側(cè)均為正數(shù) 注：這兩條性質(zhì)均要留意條件與結(jié)論的不等號方向均相同 2、放縮的技巧與方法： （1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點： 等差數(shù)列求和公式：12nna as n+= ，na kn m = + （關(guān)于 n 的一次函數(shù)或常值函數(shù)） 等比數(shù)列求和公式：( )( )1111nna qs -= -，nn

3、a k q = （關(guān)于 n 的指數(shù)類函數(shù)） 錯位相減：通項公式為等差 等比的形式 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項 （2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧： 在數(shù)列中，求和看通項，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將打算對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向） 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進行靠攏。 若放縮后求和發(fā)覺放過了，即與所證沖突，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動

4、，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；其次個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。 （3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧： 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備依項同構(gòu)的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項） 等比數(shù)列：所面對的問題通常為ns 常數(shù)的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿意( ) 0,1 q ，假如題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為11aq -的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即

5、可。例如常數(shù)122=1314-，即可猜想該等比數(shù)列的首項為12，公比為14，即通項公式為124n 。 注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響 （4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題： 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可累加或累乘的形式，即 ( )1 n na a f n+- 或 ( )1 nnaf na+ （累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過累加或累乘達到一側(cè)為na ，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進而完成證明 3、常

6、見的放縮變形： （1）( ) ( )21 1 11 1 n n n n n + -，其中 2, n n n ：可稱21n為進可攻，退可守，可依照所證不等式不等號的方向進行選擇。 注：對于21n，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個常數(shù)，即可放縮為符合裂項相消特征的數(shù)列，例如：( )( )2 21 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 n n n n n n = = - - - + - + ，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如： ( )( )2 221 1 4 1 1 1 114 1 2 1 2 1 2 2 1 2 14n n n n n nn = = -

7、 - - + - + - （2）1 2n n n=+，從而有：( ) ( )2 1 22 1 2 11 1n n n nn n n n n+ - = - -+ + + - 注：對于1n還可放縮為：12, 2, n n n n nn* + + 此結(jié)論簡單記混，通常在解題時，這種方法作為一種思索的方向，到了詳細問題時不妨先構(gòu)造出形式再驗證不等關(guān)系。 （4）( )( )( ) ( )( ) ( )( )1212 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 1n n n nn n n n n nn-= =- - - - - - ( )11 12,2 1 2 1n nn n n*-= -

8、 - - 可推廣為：( )( )( ) ( )( ) ( )( )1211 1 1 1 11n n n nn n n n n nnk k k kk k k k k k kk-= =- - - - - - ( )11 12, 2, ,1 1n nn k k n nk k*-= - - - 二、典型例題： 例 1：已知數(shù)列 na 的前 n 項和為ns ，若 ( )14 2 1 1n ns n a+= - + ，且11 a = .（1）求證：數(shù)列 na 是等差數(shù)列，并求出 na 的通項公式（2）設(shè)1nn nba s= ，數(shù)列 nb 的前 n 項和為nt ，求證：32nt 例 2：設(shè)數(shù)列 na 滿意：

9、1 11, 3 ,n na a a n n *+= = ，設(shè)ns 為數(shù)列 nb 的前 n 項和，已知10 b ，1 12 ,n nb b s s n n * - = （1）求數(shù)列 ,n na b 的通項公式（2）求證：對任意的 n n* 且2 n ，有2 2 3 31 1 1 32n na b a b a b+ + + - - - 例 3：已知正項數(shù)列 na 的前 n 項和為ns ，且12 ,n nna s n na*+ = （1）求證：數(shù)列 2ns 是等差數(shù)列 （2 2 ）記數(shù)列31 21 1 12 ,n n nnb s tb b b= = + + + ，證明：1 3 112 1ntn n-

10、 -+ 例 4：已知數(shù)列 na 滿意21 112, 2 1 ,n na a a n nn+ + = = + （1）求證：數(shù)列2nan 是等比數(shù)列，并求出數(shù)列 na 的通項公式 （2 2 ）設(shè)nnnca= ，求證：1 21724nc c c + + + 例 5：已知數(shù)列 na 的前 n 項和 ( ) 3 1 ,n ns na n n n n * = - - ，且317 a = （1）求1a （2）求數(shù)列 na 的前 n 項和ns （3）設(shè)數(shù)列 nb 的前 n 項和nt ，且滿意nnnbs= ，求證：23 23nt n + 例 6：已知數(shù)列 na 滿意( )( )1111, 2,41 2nn nn

11、aa a n n na-= = - - （1）試推斷數(shù)列 ( )11nna + - 是否為等比數(shù)列，并說明理由 （2）設(shè)( ) 2 1sin2n nnb ap -= ，數(shù)列 nb 的前 n 項和為nt ，求證：對任意的4,7nn n t* 例 7：已知數(shù)列 na 滿意：132a = ，且( )1132,2 1nnnnaa n n na n*-= + - （1）求數(shù)列 na 的通項公式 （2 2 ）證明：對于一切正整數(shù) n ，均有1 22 !na a a n 例 8：已知函數(shù) ( ) ( ) 2ln , 1 0bf x ax x fx= - - = （1）若函數(shù) ( ) f x 在 1 x = 處切線斜率為 0 ， 21111nna f na n+ = - + - + ，已知14 a = ，求證： 2 2na n + （2）在（1）的條件下，求證：1 21 1 1 21 1 1 5na a a+ + + 且 k n* 時，證明對 n n * ，都有1 2 11 1 1 1 32n n n nkb b b b+ + -+ + + + 成立 例 10：數(shù)列 na 是公差不為零的等差數(shù)列，56 a = ，數(shù)列 nb 滿意：1 1 1 23, 1n nb b bb b+= =