高考福建理科數(shù)學(xué)試題及答案word解析版

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（1）【2014年福建，理1，5分】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)，得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故選C【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題（2）【2014年福建，理2，5分】某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）（A）圓柱（B）圓錐（C）四面體（D）三棱柱【答案】A【解析】由空間幾何體的三視圖可知，圓柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都不可能是三

2、角形，故選A【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，考查邏輯推理能力和空間想象力，是基礎(chǔ)題（3）【2014年福建，理3，5分】等差數(shù)列的前項和，若，則（）（A）8（B）10（C）12（D）14【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的前項和公式，得，解得，則，故選C【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題（4）【2014年福建，理4，5分】若函數(shù)的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由函數(shù)的圖像過點，得選項A中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像不正確；選項B中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像正確；選項C中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像不正確；選項D中的函數(shù)為

3、，則其函數(shù)圖像不正確，故選B【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及冪函數(shù)的圖象，屬基礎(chǔ)題（5）【2014年福建，理5，5分】閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的得值等于（）（A）18（B）20（C）21（D）40【答案】B【解析】輸入，第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，滿足，結(jié)束循環(huán)，故選B【點評】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵（6）【2014年福建，理6，5分】直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由直線與圓相交，得圓

4、心到直線l的距離，解得當時，則的面積為；當時，同理可得的面積為，則“”是“的面積為”的充分不必要條件，故選A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵（7）【2014年福建，理7，5分】已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）（A）是偶函數(shù)（B）是增函數(shù)（C）是周期函數(shù)（D）的值域為【答案】D【解析】由函數(shù)的解析式知，則不是偶函數(shù)；當時，令，則在區(qū)間上是增函數(shù)，且函數(shù)值；當時，則在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值；函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域為，故選D【點評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題（8）【2014年福

5、建，理8，5分】在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由向量共線定理，選項A，C，D中的向量組是共線向量，不能作為基底；而選項B中的向量組不共線，可以作為基底，故選B【點評】本題主要考查了向量的坐標運算，根據(jù)列出方程解方程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題（9）【2014年福建，理9，5分】設(shè)分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】設(shè)圓心為點，則圓的圓心為，半徑設(shè)點是橢圓上任意一點，則，即，當時，有最大值，則，兩點間的最大距離為，故選D【點評】本題考查橢圓、圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題（10）【20

6、14年福建，理10，5分】用代表紅球，代表藍球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個球都不取“”表示取出一個紅球，而“”則表示把紅球和籃球都取出來依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球5個無區(qū)別的藍球5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】從5個無區(qū)別的紅球中取出若干個球，可以1個球都不取、或取1個、2個、3個、4個、5個球，共6種情況，則其所有取法為；從5個無區(qū)別的藍球中取出若干個球，由所有的藍球都取出或都不取出，

7、得其所有取法為；從5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，可以1個球都不取、或取1個、2個、3個、4個、5個球，共6種情況，則其所有取法為，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，適合要求的取法是，故選A【點評】本題主要考查了分步計數(shù)原理和歸納推理，合理的利用題目中所給的實例，要遵循其規(guī)律，屬于中檔題第卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置（11）【2014年福建，理11，4分】若變量滿足約束條件則的最小值為【答案】1【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖所示)，把變形為，則當直線經(jīng)過點時，最小，將點代入，得，即的最小值為1【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)

8、用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法（12）【2014年福建，理12，4分】在中，則的面積等于【答案】【解析】由，得，則，即的面積等于【點評】本題著重考查了給出三角形的兩邊和其中一邊的對角，求它的面積正余弦定理、解直角三角形、三角形的面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題（13）【2014年福建，理13，4分】要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（單位：元）【答案】160【解析】設(shè)底面矩形的一邊長為，由容器的容積為4m3，高為1m得，另一邊長為m記容器的總造價為元，則(元)，當且僅當，即時，等號成立因此，當

9、時，y取得最小值160元，即容器的最低總造價為160元【點評】本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（14）【2014年福建，理14，4分】如圖，在邊長為（為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為【答案】【解析】因為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于正方形的對角線所在直線對稱，則圖中的兩塊陰影部分的面積為，故根據(jù)幾何概型的概率公式得，該粒黃豆落到陰影部分的概率【點評】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到（15）【2014年福建，理15，4分】若集合，且下列四個關(guān)系：；有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是

10、_【答案】6【解析】若正確，則不正確，可得b1不正確，即b1，與a1矛盾，故不正確；若正確，則不正確，由不正確，得；由，得滿足條件的有序數(shù)組為，或，若正確，則不正確，由不正確，得；由不正確，得，則滿足條件的有序數(shù)組為，；若正確，則不正確，由不正確，得，由，得滿足條件的有序數(shù)組為，或，或，；綜上所述，滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)為6【點評】本題考查集合的相等關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵三、解答題：本大題共6題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（16）【2014年福建，理16，13分】已知函數(shù)（1）若，且，求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解：解法一：（1）因

11、為，所以所以（2），由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為解法二：，（1）因為，所以，從而（2），由得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用（17）【2014年福建，理17，13分】在平行四邊形中，將沿折起，使得平面平面，如圖（1）求證：；（2）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值解：（1）因為平面，平面平面平面，所以平面又平面，所以（2）過點在平面內(nèi)作，如圖由（1）知平面平面平面，所以以為坐標原點,分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系依題意,得則設(shè)平面的法向量則，即取，得平面的一個法向量設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正

12、弦值為【點評】本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面角的計算公式，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題（18）【2014年福建，理18，13分】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成為

13、了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由解：（1）設(shè)顧客所獲的獎勵為依題意,得即顧客所獲得的獎勵額為60元的概率為依題意,得X的所有可能取值為20，60即的分布列為20600.50.5所以顧客所獲得的獎勵額的期望為（元）（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵為60元所以先尋找期望為60元的可能方案對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以數(shù)學(xué)期

14、望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵為，則的分布列為：2060100的期望為，的方差為對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵為，則的分布列為：406080的期望為，的方差為由于兩種方案的獎勵額都符合要求，但方案2獎勵的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2【點評】本題主要考查了古典概型、離散

15、型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識，考查了數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，應(yīng)用意識，考查了必然與或然思想與整合思想（19）【2014年福建，理19，13分】已知雙曲線的兩條漸近線分別為（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由解：（1）因為雙曲線E的漸近線分別為和所以,從而雙曲線E的離心率（2）由（1）知，雙曲線E的方程為設(shè)直線與軸相交于點當軸時，若直線與雙曲線有且只有一個公共點，則，又因為的面積為8，所以此時雙曲線的方程為若

16、存在滿足條件的雙曲線，則的方程只能為以下證明:當直線不與軸垂直時，雙曲線：也滿足條件設(shè)直線的方程為，依題意,得或則，記由，得，同理得由得：即由得，因為，所以，又因為所以，即與雙曲線有且只有一個公共點因此，存在總與有且只有一個公共點的雙曲線，且的方程為【點評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想（20）【2014年福建，理20，14分】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為（1）求的值及函數(shù)的極值；（2）證明：當時，；（3）證明：對任意給定的

17、正數(shù)，總存在，使得當，恒有解：解法一：（1）由，得又,得所以令，得當時, 單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增所以當時，取得極小值,且極小值為無極大值（2）令，則由（1）得，故在R上單調(diào)遞增，因此，當時，即（3）若，則又由（2）知，當時，所以當時，取，當時，恒有若，令，要使不等式成立，只要成立而要使成立，則只要，只要成立令，則所以當時, 在內(nèi)單調(diào)遞增取，所以在內(nèi)單調(diào)遞增又易知所以即存在，當時，恒有綜上，對任意給定的正數(shù)，總存在，當時，恒有解法二：（1）同解法一（2）同解法一（3）對任意給定的正數(shù)，取，由（2）知，當時，所以，當時，因此，對任意給定的正數(shù)，總存在，當時，恒有【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的

18、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞、存在量詞等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想屬難題本題設(shè)有三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，作答時，先用2B鉛筆在答題卡上所選題目對應(yīng)題號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中（21）【2014年福建，理21（1），7分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣的逆矩陣（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量解：（1）因為矩陣是矩陣的逆矩陣,且，所以（2）矩陣的特征多項式為，令，得矩陣的特征值為或，所以是矩陣的屬于特征值的一個特征向量是矩陣的屬于特征值的一個特征向量【點評】本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣特征值與特征向量的計算等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題（21）【2014年福建，理21（2），7分】（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為，（