高考福建理科數(shù)學(xué)試題及答案word解析版

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（1）【2014年福建，理1，5分】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)，得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題（2）【2014年福建，理2，5分】某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）（A）圓柱（B）圓錐（C）四面體（D）三棱柱【答案】A【解析】由空間幾何體的三視圖可知，圓柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都不可能是三

2、角形，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，考查邏輯推理能力和空間想象力，是基礎(chǔ)題（3）【2014年福建，理3，5分】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）（A）8（B）10（C）12（D）14【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，解得，則，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題（4）【2014年福建，理4，5分】若函數(shù)的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由函數(shù)的圖像過點(diǎn)，得選項(xiàng)A中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像不正確；選項(xiàng)B中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像正確；選項(xiàng)C中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像不正確；選項(xiàng)D中的函數(shù)為

3、，則其函數(shù)圖像不正確，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及冪函數(shù)的圖象，屬基礎(chǔ)題（5）【2014年福建，理5，5分】閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的得值等于（）（A）18（B）20（C）21（D）40【答案】B【解析】輸入，第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，滿足，結(jié)束循環(huán)，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵（6）【2014年福建，理6，5分】直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由直線與圓相交，得圓

4、心到直線l的距離，解得當(dāng)時(shí)，則的面積為；當(dāng)時(shí)，同理可得的面積為，則“”是“的面積為”的充分不必要條件，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵（7）【2014年福建，理7，5分】已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）（A）是偶函數(shù)（B）是增函數(shù)（C）是周期函數(shù)（D）的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】由函數(shù)的解析式知，則不是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間上是增函數(shù)，且函數(shù)值；當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值；函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域?yàn)?，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題（8）【2014年福

5、建，理8，5分】在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由向量共線定理，選項(xiàng)A，C，D中的向量組是共線向量，不能作為基底；而選項(xiàng)B中的向量組不共線，可以作為基底，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)列出方程解方程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題（9）【2014年福建，理9，5分】設(shè)分別為和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】設(shè)圓心為點(diǎn)，則圓的圓心為，半徑設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，有最大值，則，兩點(diǎn)間的最大距離為，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓、圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題（10）【20

6、14年福建，理10，5分】用代表紅球，代表藍(lán)球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)籃球中取出若干個(gè)球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個(gè)球都不取“”表示取出一個(gè)紅球，而“”則表示把紅球和籃球都取出來依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】從5個(gè)無區(qū)別的紅球中取出若干個(gè)球，可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球，共6種情況，則其所有取法為；從5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球，由所有的藍(lán)球都取出或都不取出，

7、得其所有取法為；從5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球，共6種情況，則其所有取法為，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，適合要求的取法是，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理和歸納推理，合理的利用題目中所給的實(shí)例，要遵循其規(guī)律，屬于中檔題第卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置（11）【2014年福建，理11，4分】若變量滿足約束條件則的最小值為【答案】1【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖所示)，把變形為，則當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最小，將點(diǎn)代入，得，即的最小值為1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)

8、用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法（12）【2014年福建，理12，4分】在中，則的面積等于【答案】【解析】由，得，則，即的面積等于【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查了給出三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求它的面積正余弦定理、解直角三角形、三角形的面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題（13）【2014年福建，理13，4分】要制作一個(gè)容器為4，高為的無蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是（單位：元）【答案】160【解析】設(shè)底面矩形的一邊長(zhǎng)為，由容器的容積為4m3，高為1m得，另一邊長(zhǎng)為m記容器的總造價(jià)為元，則(元)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立因此，當(dāng)

9、時(shí)，y取得最小值160元，即容器的最低總造價(jià)為160元【點(diǎn)評(píng)】本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（14）【2014年福建，理14，4分】如圖，在邊長(zhǎng)為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于正方形的對(duì)角線所在直線對(duì)稱，則圖中的兩塊陰影部分的面積為，故根據(jù)幾何概型的概率公式得，該粒黃豆落到陰影部分的概率【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長(zhǎng)度、面積、和體積的比值得到（15）【2014年福建，理15，4分】若集合，且下列四個(gè)關(guān)系：；有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是

10、_【答案】6【解析】若正確，則不正確，可得b1不正確，即b1，與a1矛盾，故不正確；若正確，則不正確，由不正確，得；由，得滿足條件的有序數(shù)組為，或，若正確，則不正確，由不正確，得；由不正確，得，則滿足條件的有序數(shù)組為，；若正確，則不正確，由不正確，得，由，得滿足條件的有序數(shù)組為，或，或，；綜上所述，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為6【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的相等關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵三、解答題：本大題共6題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（16）【2014年福建，理16，13分】已知函數(shù)（1）若，且，求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解：解法一：（1）因

11、為，所以所以（2），由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為解法二：，（1）因?yàn)椋裕瑥亩?），由得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用（17）【2014年福建，理17，13分】在平行四邊形中，將沿折起，使得平面平面，如圖（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值解：（1）因?yàn)槠矫?，平面平面平面，所以平面又平面，所以?）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖由（1）知平面平面平面，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系依題意,得則設(shè)平面的法向量則，即取，得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正

12、弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面角的計(jì)算公式，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題（18）【2014年福建，理18，13分】為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為

13、了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由解：（1）設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為依題意,得即顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為依題意,得X的所有可能取值為20，60即的分布列為20600.50.5所以顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為（元）（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)為60元所以先尋找期望為60元的可能方案對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以數(shù)學(xué)期

14、望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為，則的分布列為：2060100的期望為，的方差為對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為，則的分布列為：406080的期望為，的方差為由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型、離散

15、型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識(shí)，考查了必然與或然思想與整合思想（19）【2014年福建，理19，13分】已知雙曲線的兩條漸近線分別為（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由解：（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為和所以,從而雙曲線E的離心率（2）由（1）知，雙曲線E的方程為設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)當(dāng)軸時(shí)，若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，又因?yàn)榈拿娣e為8，所以此時(shí)雙曲線的方程為若

16、存在滿足條件的雙曲線，則的方程只能為以下證明:當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，雙曲線：也滿足條件設(shè)直線的方程為，依題意,得或則，記由，得，同理得由得：即由得，因?yàn)椋?，又因?yàn)樗?，即與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)因此，存在總與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線，且的方程為【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想（20）【2014年福建，理20，14分】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（1）求的值及函數(shù)的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：對(duì)任意給定的

17、正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有解：解法一：（1）由，得又,得所以令，得當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，取得極小值,且極小值為無極大值（2）令，則由（1）得，故在R上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，即（3）若，則又由（2）知，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，恒有若，令，要使不等式成立，只要成立而要使成立，則只要，只要成立令，則所以當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增取，所以在內(nèi)單調(diào)遞增又易知所以即存在，當(dāng)時(shí)，恒有綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有解法二：（1）同解法一（2）同解法一（3）對(duì)任意給定的正數(shù)，取，由（2）知，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，因此，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本初等函數(shù)的

18、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞、存在量詞等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想屬難題本題設(shè)有三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)右邊的方框涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中（21）【2014年福建，理21（1），7分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣的逆矩陣（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量解：（1）因?yàn)榫仃囀蔷仃嚨哪婢仃?且，所以（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，得矩陣的特征值為或，所以是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題（21）【2014年福建，理21（2），7分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為，（