高考數(shù)學(xué)試題分類匯編—數(shù)列

1、2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編數(shù)列一、選擇題1.(2009年廣東卷文)已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則= A. B. C. D.2 【答案】B【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B2.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)，A. B. C. D. 【解析】由得，則，選C.3.（2009安徽卷文）已知為等差數(shù)列，則等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】即同理可得公差.選B?！敬鸢浮緽4.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng), ,則等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90答案：C

2、【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C5.（2009湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則等于【 C 】A13 B35 C49 D 63解:故選C.或由, 所以故選C.6.（2009福建卷理）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 =6，=4， 則公差d等于A1 B C.- 2 D 3【答案】：C解析且.故選C7.（2009遼寧卷文）已知為等差數(shù)列，且21,0,則公差d（A）2 （B） （C） （D）2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 Þ d【答案】B8.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為 ，若 =3 ，則 =（A） 2 （B） （C） （D）3【解析】設(shè)公比為q

3、,則1q33 Þ q32 于是【答案】B9.（2009寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差數(shù)列，,選C.10.（2009四川卷文）等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)1，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.0，解得2，10011.（2009湖北卷文）設(shè)記不超過的最大整數(shù)為,令=-，則，,A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】

4、B【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.12.（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，則由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C.13.（2009寧夏海南卷文）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，,則（A）38 （B）20 （C）10 （D）9【

5、答案】C【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即（2m1）×238，解得m10，故選.C。14.（2009重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和=（ ）AB CD【答案】A解析設(shè)數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項(xiàng)和15.（2009安徽卷理）已知為等差數(shù)列，+=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18解析：由+=105得即，由=99得即 ，由得，選B16.（2009江西卷理）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為ABCD答案：A【解析】由于以3 為周期,故故選A1

6、7.（2009四川卷文）等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)1，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.0，解得2，100二、填空題1.（2009全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則=。解:是等差數(shù)列,由,得.2.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則答案：15【解析】對(duì)于3.（2009浙江文）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系【解析】對(duì)于4.（2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，成等差數(shù)

7、列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列答案：【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力【解析】對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，成等比數(shù)列5.（2009北京文）若數(shù)列滿足：，則；前8項(xiàng)的和.（用數(shù)字作答）【解析】本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.，易知，應(yīng)填255.6.（2009北京理）已知數(shù)列滿足：則_；=_.【答案】1，0【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，.應(yīng)填1，0.7.（2009江蘇卷

8、）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則=.【解析】 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -98.(2009山東卷文)在等差數(shù)列中,則.【解析】:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以.答案:13.【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.9.（2009全國卷文）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為。若，則= × 答案：3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由得q3=3故a4=a1q3=3。10.(2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為_。11.【答案】4 5 32【解析

9、】（1）若為偶數(shù)，則為偶,故當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)， 故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=512.（2009全國卷理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則 9 .解：為等差數(shù)列，13.（2009遼寧卷理）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則【解析】Snna1n(n1)dS55a110d,S33a13d6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】14.（2009寧夏海南卷理）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m=_解析：由+-=0得到。答案1015.（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 .答案:2n解析:由可得的公

10、差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n.16.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 .答案：117.（2009寧夏海南卷文）等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項(xiàng)和= 【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，。18.(2009湖南卷理)將正ABC分割成（2，nN）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)=，f(n)=(n+1)(

11、n+2)【答案】：【解析】當(dāng)n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知即進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加.，若中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由可得所以=19.（2009重慶卷理）設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=【答案】：2n+1【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則三、解答題1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列前項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)是多少?【解析】（1）,.又

12、數(shù)列成等比數(shù)列，所以；又公比，所以；又,；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)，；()；（2）；由得，滿足的最小正整數(shù)為112.2.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）在數(shù)列中， （I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式:()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得=評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能

13、,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。3.（2009浙江文）（本題滿分14分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù) （I） 求及； （II）若對(duì)于任意的，成等比數(shù)列，求的值解析：（）當(dāng)，（） 經(jīng)驗(yàn)，（）式成立， （）成等比數(shù)列，即，整理得：，對(duì)任意的成立， 4.（2009北京文）（本小題共13分）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論

14、證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.（）由題意，得，解，得.成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即.（）由題意，得，對(duì)于正整數(shù)，由，得.根據(jù)的定義可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有，即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立. 當(dāng)（或）時(shí)，得（或）， 這與上述結(jié)論矛盾！ 當(dāng)，即時(shí)，得，解得.存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，.5.（2009北京理）（本小題共13分） 已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.【解析

15、】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（）由于與均不屬于數(shù)集，該數(shù)集不具有性質(zhì)P.由于都屬于數(shù)集，該數(shù)集具有性質(zhì)P. （）具有性質(zhì)P，與中至少有一個(gè)屬于A，由于，故.從而，.， ，故.由A具有性質(zhì)P可知.又，從而，.（）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即，由A具有性質(zhì)P可知.，得，且，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列.6.（2009江蘇卷）（本小題滿分14分）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)?！窘馕觥?本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、

16、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2)（方法一）=,設(shè)，則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。7.（2009江蘇卷）（本題滿分10分）對(duì)于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)2，有.【解析】必做題本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。8.(2009山東卷理)（本小題

17、滿分12分）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(

18、2009山東卷文)（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列, 所以, 公比為, 所以（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則相減,得所以【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.10.（2009全國卷文）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列中，求前n項(xiàng)和.解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程

19、的思想可求解。解：設(shè)的公差為，則即解得因此11.（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）已知曲線從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，（舍去），即，（2）證明：由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有，即.12.（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足（I）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；（II）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野

20、。本小題滿分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。（II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，與同號(hào)。因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。13.（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和（）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時(shí)，【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出后，進(jìn)而得到，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法?！?/p>

21、解析】(1)由于當(dāng)時(shí),又當(dāng)時(shí)數(shù)列項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為(2)由(1)知由即即又時(shí)成立,即由于恒成立.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),14.（2009江西卷文）（本小題滿分12分）數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故 15.（2009江西卷理）（本小題滿分14分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)（2）證明：對(duì)任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有解：（1）由得將代入化簡得所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件.(2) 由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為則考察函數(shù) ,則在定義域上有故

22、對(duì)， 恒成立.又 ,注意到,解上式得取,即有 .16.（2009天津卷文）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)（）若 ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若成等比數(shù)列，求q的值。（）若【答案】（1）（2）（3）略【解析】 （1）解：由題設(shè)，代入解得，所以（2）解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得（3）證明：由題設(shè)，可得，則-得，+得，式兩邊同乘以 q，得所以（3）證明：=因?yàn)椋匀?，取i=n，若，取i滿足，且，由（1）（2）及題設(shè)知，且 當(dāng)時(shí)，由，即，所以因此 當(dāng)時(shí)，同理可得因此綜上，【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和

23、推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。17.(2009湖北卷理)（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。（）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，試比較與的大小，并予以證明。19.解析：（I）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時(shí)，. 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小由可猜想當(dāng)證明如下：證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。（2）假設(shè)時(shí)所以當(dāng)時(shí)猜想也成立綜合（1）（2）可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時(shí)綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)18.（2009四川卷文）（本小題滿分14

24、分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；【解析】（I）當(dāng)時(shí)，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有不存在正整數(shù)，使得成立。 8分（III）由得又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，14分19.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及

25、，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列，評(píng)析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找第（II）問中由（I）易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國I、這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國I還考查了利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。20.（2009湖南卷文）（本小題滿分13分

26、）對(duì)于數(shù)列,若存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 ,則稱數(shù)列為數(shù)列.（）首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;（）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和.給出下列兩組判斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列.請以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；()若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解: （）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則.于是=所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列（）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實(shí)上設(shè)=1，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n，.由n的任意

27、性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的，有, 即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列。（注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法） ()若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對(duì)任意的有.因?yàn)?記，則有.因此.故數(shù)列是B-數(shù)列.21.（2009遼寧卷文）（本小題滿分10分）等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，已知,成等差數(shù)列 （1）求的公比q； （2）求3，求解：（）依題意有 由于 ，故 又，從而 5分 （）由已知可得 故 從而 10分22.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列；

28、 ()求的通項(xiàng)公式。（1）證當(dāng)時(shí)，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）解由（1）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以。23.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分） 已知數(shù)列滿足， .猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；()證明：。證（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即易知，那么 =即也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，易知24.（2009四川卷文）（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)

29、和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；【解析】（I）當(dāng)時(shí)，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有不存在正整數(shù)，使得成立。 8分（III）由得又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，14分25.（2009湖北卷文）（本小題滿分12分） 已知an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a655, a2+a716.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式：（）若數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式：an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn解（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公

30、差為d，則依題設(shè)d>0由a2+a716.得由得由得將其代入得。即（2）令兩式相減得于是=-4=26.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 則稱數(shù)列為B-數(shù)列（1） 首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;請以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（2） 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；A組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列B組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列請以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3）

31、若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則，于是因此-+-+-=因?yàn)樗约?故首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列 次命題為假命題。 事實(shí)上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列此命題為真命題事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的有即。于是所以數(shù)列是B-數(shù)列。（III）若數(shù)列 是數(shù)列，則存在正數(shù)，對(duì)任意的有注意到同理：記，則有因此 +故數(shù)列是數(shù)列27.（2009天津卷理）（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列的公差為d（d0），等比數(shù)列的公

32、比為q（q>1）。設(shè)=+.+,=-+.+(-1,n(I) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(II) 若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n；() 若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的排列， ， 證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。（）解：由題設(shè)，可得所以，（）證明：由題設(shè)可得則 式減去式，得 式加上式，得 式兩邊同乘q，得所以，()證明：因?yàn)樗裕?） 若，取i=n（2） 若，取i滿足且由（1）,(2)及題設(shè)知，且 當(dāng)時(shí)，得即，又所以因此 當(dāng)同理可得，因此綜上，28

33、.（2009四川卷理）（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。解：（）當(dāng)時(shí)，又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是.3分（）由（）知 = 又當(dāng)當(dāng)（）由（）知一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)則 >對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立只對(duì)滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有事實(shí)上，對(duì)任意的

34、正整數(shù)k，有當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)則 <當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)則<對(duì)一切的正整數(shù)n，都有綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4.14分29.（2009福建卷文）(本小題滿分)2分）等比數(shù)列中，已知 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）若分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。解：（I）設(shè)的公比為 由已知得，解得 （）由（I）得，則， 設(shè)的公差為，則有解得 從而 所以數(shù)列的前項(xiàng)和30.（2009年上海卷理）（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。（1） 若，是否存在，有說明理由；（2） 找出所有數(shù)列

35、和，使對(duì)一切,并說明理由；（3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請證明。解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，為整數(shù)，不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若則。當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 7分（）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得，（*）式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。10分【解法二】設(shè)則（i） 若d=0，則（ii） 若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾綜上所述，有， 10分（3）設(shè).，. 13分取 15分由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4