高等數(shù)學(xué)第一周講義（商學(xué)院）

1、1 課程：課程： 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)（學(xué)（ ）2教材：教材：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （第六版）（第六版） （上冊(cè)）（上冊(cè)）,同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編主編,高等教育出版社高等教育出版社參考書目參考書目1：高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南,同濟(jì)六版同濟(jì)六版同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社.參考書目參考書目2：數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析習(xí)題集（習(xí)題集（共六冊(cè)）共六冊(cè)）,吉米吉米多維奇，多維奇， 費(fèi)定暉，周學(xué)圣編，郭大鈞，邵品琮主審費(fèi)定暉，周學(xué)圣編，郭大鈞，邵品琮主審 山東科學(xué)技術(shù)出版社。山東科學(xué)技術(shù)出版社。參考書目參考書目3：微積分學(xué)教程微積分學(xué)教程(全三卷全

2、三卷,共八冊(cè)共八冊(cè)) 菲菲赫金哥爾茨，人民教育出版社。赫金哥爾茨，人民教育出版社。3考核：期中考試與平時(shí)占考核：期中考試與平時(shí)占30，期末考試占，期末考試占70。答疑時(shí)間：答疑時(shí)間：周三下午周三下午2點(diǎn)到點(diǎn)到3點(diǎn)、周四下午點(diǎn)、周四下午1點(diǎn)到點(diǎn)到2點(diǎn)點(diǎn)答疑地點(diǎn)：集英樓答疑地點(diǎn)：集英樓A101。注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：提醒：提醒：不得隨意講話、不得走動(dòng)不得隨意講話、不得走動(dòng)4第一節(jié)第一節(jié) 函函 數(shù)數(shù)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1.1 實(shí)數(shù)、區(qū)間和鄰域?qū)崝?shù)、區(qū)間和鄰域5點(diǎn)點(diǎn)a的的 鄰域鄰域： ),(xaUaxa xax其中其中, a 稱為鄰域中心稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑稱為鄰

3、域半徑 .特殊的開區(qū)間特殊的開區(qū)間),( aU為為a的的 鄰域鄰域 .稱稱鄰域的數(shù)軸表示：鄰域的數(shù)軸表示： aa a6點(diǎn)點(diǎn)a的左的左 鄰域鄰域 :, ),(aa點(diǎn)點(diǎn)a的右的右 鄰域鄰域 :. ),(aa點(diǎn)點(diǎn)a的去心的去心 鄰域：鄰域： ),(Uxaax0注意：一點(diǎn)的任何兩個(gè)鄰域都有公共部分，注意：一點(diǎn)的任何兩個(gè)鄰域都有公共部分，其交集仍為此點(diǎn)的鄰域。其交集仍為此點(diǎn)的鄰域。7二、函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念 定義定義. 設(shè)設(shè)D是一個(gè)非空數(shù)集，是一個(gè)非空數(shù)集， f是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，如果對(duì)于如果對(duì)于D中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素x,通過通過f，y都有唯都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱一確定的

4、值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是是x的函數(shù)，記作：的函數(shù)，記作：Dxxfy),(x稱為自變量，稱為自變量，y 稱為因變量。稱為因變量。注意：單值函數(shù)與多值函數(shù)注意：單值函數(shù)與多值函數(shù)8 定義域定義域Df：使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量取值的集合取值的集合.值域值域Y： fDxxfY | )(決定函數(shù)的要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則，決定函數(shù)的要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則，僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，兩個(gè)僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同。函數(shù)才相同。9 xxf)(1、絕對(duì)值函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)xyo0,xx0,xx定義域定義域RD值值 域域),0)(Df一些常見的函數(shù)一些常

5、見的函數(shù)：102、符號(hào)函數(shù)：、符號(hào)函數(shù)：xy010001)sgn(xxxxy113、取整函數(shù)：、取整函數(shù)：xy 4、狄里克雷函數(shù)、狄里克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)為有理數(shù)x 為無理數(shù)為無理數(shù), 1,05、分段函數(shù)、分段函數(shù)40000200003625)20000(*25. 0200005000625)5000(*20. 050002000175)2000(*15. 0200050025)500(*1 . 05000*05. 0)(iiiiiiiiiiiT126.最大值函數(shù)與最小值函數(shù)。最大值函數(shù)與最小值函數(shù)。)(),(max)(xhxfxg)(),(min)(xhxfxs13三 函數(shù)的幾種特性

6、函數(shù)的幾種特性14 上的一個(gè)上界。X為函數(shù)在MX,M)(,M常數(shù)X)(000上有上界。在那么則稱函數(shù)都有使任意的上有定義，若存在在xfxfXxxfy有界性：有界性：函數(shù)在函數(shù)在X上有上界上有上界結(jié)論：若函數(shù)有上界結(jié)論：若函數(shù)有上界,則必有無窮多個(gè)上界則必有無窮多個(gè)上界.問題：函數(shù)在問題：函數(shù)在X上無上界如何說明上無上界如何說明?15 上的一個(gè)下界。X是函數(shù)在MX ,M)(, ,M常數(shù)X)(111，xfxfXxxfy上有下界的在數(shù)那么則稱函都有使任意的上有定義，若存在在函數(shù)在函數(shù)在X上有下界上有下界若函數(shù)有下界若函數(shù)有下界,則必有無窮多個(gè)下界則必有無窮多個(gè)下界.問題：如何說明函數(shù)在問題：如何說明

7、函數(shù)在X上無下界上無下界?16 上是有界的。在數(shù)那么則稱函都有使任意的上有定義，若存在在X ,M| )(|, , 0M正數(shù)X)(xfxfXxxfy函數(shù)在函數(shù)在X上有界上有界問題：函數(shù)在問題：函數(shù)在X上無界如何說明上無界如何說明?結(jié)論：函數(shù)在結(jié)論：函數(shù)在X上有界與函數(shù)在上有界與函數(shù)在X上既上既有上界又有下界等價(jià)。有上界又有下界等價(jià)。17當(dāng),21Ixx 任任意意時(shí)時(shí), )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的單調(diào)減函數(shù)上的單調(diào)減函數(shù), )()(21xfxf若為為 I 上的單調(diào)增函數(shù)。上的單調(diào)增函數(shù)。單調(diào)性單調(diào)性21xx 任意任意時(shí)時(shí), )()(21xfxf 若若)(xf為為 I 上的不減

8、函數(shù)上的不減函數(shù)21xx 時(shí)時(shí), )()(21xfxf 若若)(xf任意任意為為 I 上的不增函數(shù)上的不增函數(shù)21xx )(xf稱稱 奇偶性與周期性（略）奇偶性與周期性（略）18四、四、 反函數(shù)反函數(shù))(1yfx 反函數(shù)：給定函數(shù)反函數(shù)：給定函數(shù)y=f(x)，如果對(duì)于值域，如果對(duì)于值域Y中的每一個(gè)值中的每一個(gè)值y0而言，都有唯一一個(gè)值而言，都有唯一一個(gè)值x0使得使得y0=f(x0).那么，我們就說在那么，我們就說在Y上定上定義了義了y=f(x)的反函數(shù)。的反函數(shù)。反函數(shù)的求法：反函數(shù)的求法：的反函數(shù)的反函數(shù)求求12 xy函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱對(duì)稱19五、五、 復(fù)合函

9、數(shù)復(fù)合函數(shù) ,sin uy xu2復(fù)合函數(shù)：復(fù)合函數(shù)：xy2sin為中間變量。為內(nèi)層函數(shù)為外層函數(shù)，合函數(shù)。的復(fù)與為則稱設(shè)定義uxgufyxguufyxgfyXxxguUuufy,)()()()()( )(),)( ：20 復(fù)合的作用：視復(fù)雜函數(shù)為幾個(gè)復(fù)合的作用：視復(fù)雜函數(shù)為幾個(gè)簡單函數(shù)的復(fù)合，起化簡的目的。簡單函數(shù)的復(fù)合，起化簡的目的。例例:xy12sin5 六、函數(shù)的四則運(yùn)算六、函數(shù)的四則運(yùn)算 21七七. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)常函數(shù)、冪函數(shù)、常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù)自然對(duì)數(shù)函數(shù)：自然對(duì)數(shù)函

10、數(shù)：.597182818284. 2,lnlogexyxe22反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：2/, 2/,1 , 1,arcsinyxxy1-12/xy23反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：, 0,1 , 1,arccosyxxy1-1xy2/24反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：)2/, 2/(,arctanyRxxyxy2/2/25反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：), 0(,cotyRxxarcyxy2/26(2) 初等函數(shù)初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)合所構(gòu)成的函數(shù) ,稱為初等函數(shù)

11、。稱為初等函數(shù)。判斷判斷 ：y0, xx0, xx是否為初等函數(shù)？是否為初等函數(shù)？本課程的研究對(duì)象本課程的研究對(duì)象:初等函數(shù)初等函數(shù).27常見的公式常見的公式1、絕對(duì)值不等式、絕對(duì)值不等式|bababa|bababa3、柯西不等式、柯西不等式)()(121221niiniiniiiyxyx2、均值不等式、均值不等式:設(shè)設(shè)0,.,21nxxx則：則：).().(2112111111nnnxxxxxxnniixn284、二項(xiàng)式定理：、二項(xiàng)式定理：nnnnnnnnnnbabCbaCbaCaba1122211.)() 1.)(1(121nnnaaaa5、29,2cos,2sin,2tan1cos2si

12、n212coscossin22sin)sin()sin(2coscos)cos()cos(2coscos)sin()cos(2sinsin)cos()sin(2sinsin2222tan1tan1tan1tan2tan1tan22222222222xxxxxxyxyxyxyxyxyxyxyxxxxxxxxxxyxyxyxyx常用的三角函數(shù)的公式常用的三角函數(shù)的公式30判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性)1(log2 xxya考察下列函數(shù)的單調(diào)性及有界性考察下列函數(shù)的單調(diào)性及有界性|1| xy問題問題:f(x)的定義域是的定義域是(4,9，求，求f(x2) 的定義域的定義域31 第一章 第

13、二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限321、數(shù)列概念：、數(shù)列概念： 按照一定的順序排成的一列數(shù)。按照一定的順序排成的一列數(shù)。.nx123,.,.nx x xx記作：記作：其中其中n稱為項(xiàng)數(shù)，稱為項(xiàng)數(shù)，nx稱為數(shù)列的第稱為數(shù)列的第n項(xiàng)，或通項(xiàng)。項(xiàng)，或通項(xiàng)。數(shù)列的特性：有序性數(shù)列的特性：有序性一一 、數(shù)列極限的概念、數(shù)列極限的概念331,2,3,. ,.n排列法：將列中的項(xiàng)一個(gè)一個(gè)地排出排列法：將列中的項(xiàng)一個(gè)一個(gè)地排出 用通項(xiàng)公式法：將數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)用通項(xiàng)公式法：將數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系表示出來。系表示出來。數(shù)列的表示形式：數(shù)列的表示形式：數(shù)列用排列法給出，寫出通項(xiàng)公式。數(shù)列用排列法給出，寫出通項(xiàng)

14、公式。如：如：2，3/4,4/9,5/16,.比如：比如：), 11(Nnqqxnn)( ,Nnnxn34有界數(shù)列：有界數(shù)列：.nx對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列若存在正數(shù)若存在正數(shù)M，對(duì)于所有的，對(duì)于所有的n,都有都有Mxn |則稱數(shù)列為有界數(shù)列。則稱數(shù)列為有界數(shù)列。35 .nx對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列單調(diào)數(shù)列：單調(diào)數(shù)列：.若：1321 nnxxxxx則稱數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列則稱數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列.1321 nnxxxxx若：則稱數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列則稱數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列數(shù)列：有限數(shù)列與無限數(shù)列數(shù)列：有限數(shù)列與無限數(shù)列36數(shù)列的子數(shù)列：從一個(gè)無限數(shù)列中抽取無數(shù)列的子數(shù)列：從一個(gè)無限數(shù)列中抽取無限多項(xiàng)并且保持在原數(shù)列中的先后次

15、序，限多項(xiàng)并且保持在原數(shù)列中的先后次序，稱這樣得到的數(shù)列是原數(shù)列的子數(shù)列。稱這樣得到的數(shù)列是原數(shù)列的子數(shù)列。 nx knx數(shù)列：數(shù)列：子列：子列：顯然：顯然：knk37例：考察下列數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)逐漸增大時(shí)，數(shù)例：考察下列數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)逐漸增大時(shí)，數(shù)列當(dāng)中的項(xiàng)的變化趨勢(shì)。列當(dāng)中的項(xiàng)的變化趨勢(shì)。,./1,.,3/1, 2/11n， 1,1/2,1/3,.,1/ ,.n,./)1(,.,3/1 , 2/111n，n 數(shù)列極限研究的問題：無限數(shù)列中數(shù)列極限研究的問題：無限數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)當(dāng)項(xiàng)數(shù)n越越來越大，乃至無限增大時(shí)，項(xiàng)的變化趨勢(shì)。來越大，乃至無限增大時(shí)，項(xiàng)的變化趨勢(shì)。38數(shù)列極限的描述性定義：數(shù)列極限

16、的描述性定義：對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列xn而言，如果存在一個(gè)常數(shù)而言，如果存在一個(gè)常數(shù)a，當(dāng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增加時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)向項(xiàng)數(shù)無限增加時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)向a無限靠近，無限靠近，那么則稱那么則稱a為數(shù)列為數(shù)列xn的極限。的極限。 若數(shù)列有極限若數(shù)列有極限,則稱數(shù)列收斂則稱數(shù)列收斂.否則稱否則稱數(shù)列發(fā)散。數(shù)列發(fā)散。39,1,43,32,21nn,) 1(,43,34,21,21nnn,2,8,4,2n1) 1(nnx例：考察下列數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)逐漸增大時(shí)，項(xiàng)例：考察下列數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)逐漸增大時(shí)，項(xiàng)的變化趨勢(shì)。的變化趨勢(shì)。獲得數(shù)列極限的方法：對(duì)數(shù)列直接進(jìn)行考察。獲得數(shù)列極限的方法：對(duì)數(shù)列直接進(jìn)行考察。40若數(shù)列若數(shù)

17、列nx及常數(shù)及常數(shù) a 有下列關(guān)系有下列關(guān)系 :,0,整N數(shù)數(shù)正正 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 總有總有記作記作此時(shí)也稱數(shù)列此時(shí)也稱數(shù)列收斂收斂 , 否則稱數(shù)列否則稱數(shù)列發(fā)散發(fā)散 .axnnlim或或)(naxnaxn則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列nx的極限為的極限為 a ,-N-N定義定義或稱數(shù)列收斂于或稱數(shù)列收斂于a.數(shù)列極限定義的精確化：數(shù)列極限定義的精確化：利用利用是任意小的正數(shù)來反映項(xiàng)與是任意小的正數(shù)來反映項(xiàng)與a無限接近。無限接近。41收斂數(shù)列的幾何意義收斂數(shù)列的幾何意義證明：常數(shù)列的極限是常數(shù)本身證明：常數(shù)列的極限是常數(shù)本身aa)(a1Nx2Nx4201lim nn例例1：證明：證明：,0取取,

18、1N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有 nn101證證: 01limnn43例例. 設(shè)設(shè)0,1qq證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列,12nqqq證證:0nx0nq0 欲使欲使,0nx只要只要,nq即即,lnlnqn亦即亦即因此因此 , 取取qNlnln, 則當(dāng)則當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 就有就有0nq故故0limnnq.lnlnqn的極限為的極限為 0 . nq44用用-N-N定義證明極限：定義證明極限：尋找尋找N N。 axn,0解不等式解不等式考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n大到一定程度時(shí)，此不大到一定程度時(shí)，此不等式是否成立。等式是否成立。注意：注意：與與N的關(guān)系的關(guān)系450sinlimnnn例：證明：例：證明：,0取

19、取, 1N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有nnnnn1|sin|0sin證證: 0sinlimnnn46例例. 已知已知,) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n欲使欲使,0nx只要只要n取取, 1 N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 就有就有,0nx故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn 1n1 47說明：數(shù)列不以說明：數(shù)列不以a為極限。為極限。若對(duì)某若對(duì)某, 00使得使得0|0axn,0NnNN481、下列結(jié)論是否正確，為什么？、下列結(jié)論是否正確，為什么？nx當(dāng)當(dāng)n越來越大時(shí)，越來越大時(shí)，axn 越來越小，則數(shù)列有極限越來越小，則數(shù)

20、列有極限a.(1)(2),0,整N數(shù)數(shù)正正 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí),有無窮多個(gè)有無窮多個(gè)xn項(xiàng)項(xiàng),使使 axn則有則有axnnlim問題討論問題討論49|lim,limaxaxnnnn 則2、判斷：判斷：axaxnnnnlim則,|lim若若若若0|lim則, 0limnnnnxx0lim則, 0|limnnnnxx若若若若503、證明：、證明：0)(limlim axaxnnnn0)1(limnnn51數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則1、柯西收斂準(zhǔn)則、柯西收斂準(zhǔn)則 nx收斂的充要條件是：收斂的充要條件是：,0,整NN數(shù)正mnxxn、m N 時(shí)時(shí),2、單調(diào)有界數(shù)列必有極限。、單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)上升有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)單調(diào)上升有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)下降且有下界的數(shù)列必有極限。下降且有下界的數(shù)列必有極限。5223ba22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取取,2ab因因,limaxnn故存在故存在 N1 , ,2abnax從而從而2banx同理同理, 因因,limbxnn故存在故存在 N2 , 使當(dāng)使當(dāng) n N2 時(shí)時(shí), 有有2banx1. 唯一性：收斂數(shù)列的極限是唯一的唯一性：收斂數(shù)列的極限是唯一的.使當(dāng)使當(dāng) n N1 時(shí)