工科數(shù)學(xué)分析：chap1-2數(shù)列極限

1、第1節(jié) 預(yù)備知識第第1章章 一元函數(shù)的一元函數(shù)的 極限與連續(xù)極限與連續(xù)- - - - - - - 自學(xué)自學(xué)例1.圓的面積割圓術(shù)2.1 數(shù)列的極限第2節(jié) 極限的概念和性質(zhì)1.幾個實例 , , , , , 321nAAAA: 得到一列數(shù) . 圓的面積 , 26 , 1邊形便無限地接近于圓正無限增大時當(dāng)nnL,的數(shù)無限地接近于某一確定同時nA 26 1邊形的面積正nnA L121262sin21 26 nnR例 2. 求拋物線 y= x2、x 軸、直線 x = 2 所圍成的曲邊三角形的面積 A .2xy2x采用采用“以直代曲以直代曲”的方法的方法：把把0，2三等分三等分把把0，2九等分九等分把把0，

2、2二十七等分二十七等分把把0，2三十九等分三十九等分ABCDE)12)(11 (346) 12)(1(882)2(31023102nnnnnninnniAninin38)12)(11 (34nnAAn則所得階梯形的面積等分后，將 20 - nAn , , , , , 321nAAAA得到一列數(shù). 2, , 2所圍面積的差別就越小軸，階梯形面積與由越大xxxyn. , 求的面積面積便無限地接近于所階梯形無限增大時當(dāng)n .A 近于某一確定的數(shù)也無限地接nA. 是所求的面積便這個確定的數(shù) A 例: 一尺之棰,日取其半,萬事不竭. , 21n21 即即. 2數(shù)列極限的概念 , 212 , 213, ,

3、 21n*一般地, 按照確定的次序排列起來的無窮多個數(shù) , , , , , 321naaaa例：稱為一個. )( 一般項稱為通項項第nan . na簡記為; ,1 , , 43 , 32 , 21nn 1 nn即, 數(shù)列; ,)1(, ,43 ,34 ,21 ,21nnnn)(n n11 即; ,2, ,8 ,4 2,nn2 即; ,)1( , , 1 , 1 , 1 1,1n1)1(n即1a2a3ana在研究數(shù)列時,常常以下面兩種觀點(diǎn)之一看待數(shù)列.幾何觀點(diǎn):函數(shù)觀點(diǎn): , , , , ,321naaaa 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)點(diǎn)可看作數(shù)軸上的一個動數(shù)列 , na . )( : Nnnfanann

4、的函數(shù)可看作自變量為數(shù)列; ,1, ,45 ,34 ,23 ,2nn 考慮數(shù)列nnnan111nan1|1|. 1lim nna這個事實記為這個事實記為 . |1| , 會無限地減小會無限地減小無限地增大時無限地增大時當(dāng)當(dāng)nan)( naan或N總總存存在在正正整整數(shù)數(shù)對對任任給給的的 , 0 總總滿滿足足不不等等式式使使得得對對naNn , , |aan的的極極限限是是數(shù)數(shù)列列則則稱稱naa limnnaa記為 或稱數(shù)列 收斂于 , naa的的幾幾何何解解釋釋”的的極極限限為為“數(shù)數(shù)列列 aanaa1a2a3aNa1Na2Naa() , , , 0aaNnNn有時當(dāng)正整數(shù)對 0) 1() 1

5、( lim . 1 2nnn試證例. 0) 1() 1(lim 2nnn 1)1(1|0| 2nnxn只要 )1(1 0)1()1(|0|22nnxnn , , 1 , 0有時當(dāng)對NnN :證明 :分析要使對任意的 , 0 111) 1(1 0) 1() 1(22nnnnn0lim . 1| . 2 nnqq試證設(shè)例 0lim nnq , |lnln , 1 , 0 qN不妨設(shè)對 |0| , nnqqNn有時當(dāng) :證明等比數(shù)列時，時，自然成立。00qqnq ) 0(1 lim . 3 naan試證例 :證明11 nnaa1 lim nna , , )1ln(ln , 01) 1 (有時當(dāng)對時當(dāng)

6、NnaNa顯然成立時當(dāng)，a1)2(.,1)3(請同學(xué)自己證明時當(dāng) a ) 1(0lim . 4 2naan n試證例 :證明 0, h1 ha設(shè)3326) 2)(1( 6) 2)(1(2) 1(1)h1 ( hnnnhhnnnhnnnhannn則332322) 3(6) 23(66) 2)(1( hnhnnnhnnnnann , , 63 , 03有時當(dāng)對NnhN )3(60 32hnann ) 1(0lim 2naan n例 5證明常數(shù)列Cxn存在極限， 且CCnlim。 CCnlim。 CCn lim證明證明：0，對Nn，都有 0CCCxn， 例 6證明： 01lim nn (0 ) 如如

7、: : , 01lim nn, 01lim2 nn. 01lim nn+:) 1|(| 0lim qqnn ) 0( 1 limnaanCCnlim 1 limnnn例 7 證證 明明 數(shù)數(shù) 列列nnx)1( 發(fā)發(fā) 散散 。 +例 8試證：若axnnlim，則axnnlim；反之是否成立。 證證明明：axnnlim，0，NN，Nn時，恒有axn。axaxaxnnn，axaxnn， axnnlim。反之不能成立。 反例反例：) 1(n。11lim) 1(limnnn，但nn) 1(lim 不存在。 結(jié)結(jié) 論論 1 1. . 0lim nnx0lim nnx。 2 2. .若若axnn lim，則

8、則 Nk，有有axknn lim。 3 3. limlim lim212axxaxnnnnnn 。 以以上上結(jié)結(jié)論論可可直直接接引引用用。 3.數(shù)列極限的性質(zhì) | ,n,111axNNn有時)(lim,lim 2121aaaxaxnnnn假設(shè)同時有 , 02 21aa對證明. ,lim 則極限值必唯一存在若nnx性質(zhì)1（唯一性） | ,n,222axNNn有時有時則當(dāng)取 , , ,max 21NnNNN212121212 | aaaxaxaxxaaannnn!矛盾. ) , 3 , 2 , 1 ( ) 1 ( 是發(fā)散的數(shù)列nxnn性質(zhì)2（有界性）證明. 1 , ,N , 1axNnNn有時當(dāng)對

9、 . ,lim 必有界則存在若nnnxxaxnnlim 設(shè)1 , axNnn有時當(dāng). ,1, , max1MxNnaxxMnN有則對取性質(zhì)3（保序性）. ,N , ,lim ,lim nnnnnnyxNnNbabyax時時，有有當(dāng)當(dāng)則則若若證證明明見見書書1推論. , ,lim ,limbayxbyaxnnnnnn則則若若2推論. , ,limbxNnNbaxnnn時時，有有當(dāng)當(dāng)則則若若. ),0:(稱稱為為保保號號性性時時當(dāng)當(dāng)注注b. ) 0 (limlim lim (3) nnnbbayxyxnnnn見見書書證證明明 4.極限運(yùn)算法則1 定理)(四則運(yùn)算法則則則設(shè)設(shè),lim ,limbya

10、xnnnn， lim lim lim(1) bayxyxnnnnnnn， lim lim )(lim(2) abyxyxnnnnnnn，caxcxnnnnlimc lim 0 (3) ., ) (2 ;.(1) 分分母母極極限限不不能能為為否否則則不不可可使使用用各各自自極極限限必必須須存存在在但但對對無無限限不不適適用用個個上上述述公公式式可可推推廣廣到到有有限限注注3234319.51n例 求 limnnnn解.1151134lim15134lim323n323nnnnnnnnn.54005004)115(lim)1134(lim32n3nnnnn有一般性結(jié)論11110.1 22 3(1)

11、n例 求 limn n解1)111 (lim)111()3121()211(lim) 1(1321211limnnnnnnnn2 定理)( 夾夾逼逼定定理理axnn lim 則必有azyzxynnnnnnnlim lim (2) ,(1)設(shè)121211.,n例 設(shè)為個給定的正數(shù)求 limknnnnka aakaaa ，則設(shè)解),max(21kaaaannnnnknnnnkaakaaaaa21aaaannknn21nlim13 定理. 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限)( 單調(diào)有界原理 2121MaaaMaaann單單減減且且有有下下界界單單增增且且有有上上界界例 12 收斂。證明數(shù)列設(shè)

12、nnana, 131211222 證明 212) 1(13212111131211222n-nnnan0) 1(121naann又單調(diào)增加 na且有上界 3定理 收斂。數(shù)列na1110,0,()2lim,lim.例 13. 設(shè) , 證明存在 并求nnnnnnnaaxxxxxxaaxaxxaxxnnnnn21)(21)(21 證明, 021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx又 單減且有下界nxnnxx1 即3定理.lim存在nnx11lim,()2,設(shè)在等式兩邊令取極限得nnnnnaxLxxxn )()(21aaLLaLL應(yīng)舍去解得axnnlim112,2)lim,lim.例 14 設(shè)

13、 ,( n1,2,證明存在 并求nnnnnnxxxxx001101,1,1)11lim,lim .例 15 設(shè) ,( n1,2,證明 存在 并求 nnnnnnnxxxxxxxxx ;有界性用歸納法單調(diào)性可用可不用單單調(diào)調(diào)性性用用歸歸納納法法有有界界性性顯顯然然 ;.11 lim 存在證明nnn16例 證明nnnnnnnn1! )1()2)(1( nnxn11321! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 11nnnnnnnnn, 112111! 1 nnnnnnnn2111! 3111! 2111, 112111! 1 nnnnnnnn2111! 3111! 2111. 11121111! ) 1(1 nnnnn, 類似地121111! 31111! 2111 1nnnxn111121111! 1 nnnnn 1nnxx單調(diào)增加 nx, 11 lim 存在極限nnn 3213211211121212111! 1! 31! 2111112nnnnnx又且有上界 3定理4592.71828128e 11 lim nnn收斂準(zhǔn)則）（定理Cauchy4nmaaNnNmN ,N, 0有時當(dāng)收斂數(shù)列na 為一常數(shù)列，顯然收斂則若naaa,2117例 收斂。證明數(shù)列滿足：設(shè)數(shù)列nnnnnnanqaaqaaa, 2 , 1, 10(112 證明npnaapNnN ,N,