試議提高《解幾》解題速度的策略

1、漫談提高解幾解題速度的策略蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 張錦成 解析幾何就是運(yùn)用坐標(biāo)法解決兩類基本問(wèn)題：一類是求滿足給定條件的點(diǎn)的軌跡即曲線，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求其方程也就是求曲線的方程；另一類是通過(guò)對(duì)曲線方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。高考中對(duì)于解析幾何要求較高，究竟“考什么、 怎么考、考多難”，結(jié)合 08年課改后各省市及全國(guó)高考卷中的解析幾何題，可以看出 高考中的解析幾何就是圍繞解析幾何的兩類基本問(wèn)題來(lái)考查的，大部分學(xué)生覺(jué)得題難， 有點(diǎn)讓人摸索不透，很多學(xué)生為其而煩。解幾題如果方法不當(dāng)，則很難實(shí)施解題，即便 免強(qiáng)能解，也是運(yùn)算量超大，讓人如臨大敵，因此提高解題技巧，優(yōu)化解題方法，就顯 得尤為重要

2、，現(xiàn)就解幾中常見(jiàn)的題型，強(qiáng)調(diào)幾個(gè)應(yīng)注意的策略：一、.把向量條件數(shù)量化是解決以向量為背景的解析幾何問(wèn)題的第一程序解析幾何在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想“數(shù)形結(jié)合”，它能有效的培養(yǎng)學(xué)生的分析、解決問(wèn)題的能力，其中以向量與解幾的結(jié)合是數(shù)形結(jié)合的最佳載體，既有數(shù)的運(yùn)算又有相應(yīng) 的幾何意義。當(dāng)解析幾何問(wèn)題中涉及到夾角、平行、垂直、共線、求動(dòng)點(diǎn)軌跡等問(wèn)題時(shí)可借 助于向量進(jìn)行解決。 要充分利用向量條件中的信息，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量，將向量轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)，這樣復(fù)雜的問(wèn)題就能簡(jiǎn)單化，容易理解、便于解決。X y2例1設(shè)橢圓C ：二 2 a b 0的左焦點(diǎn)為 F，上頂點(diǎn)為 A，過(guò)A與AF垂 a b5求橢圓C的離心率；

3、若過(guò)A, Q, F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x、3y *3=0相切，求橢圓 C的方程?！痉治觥浚罕绢}若通過(guò)直線方程來(lái)處理題設(shè)中 的垂直，通過(guò)線段的長(zhǎng)度來(lái)處理向量的關(guān)系， 一定很煩；若是用向量處理垂直問(wèn)題，設(shè)出 相應(yīng)的點(diǎn)，用點(diǎn)的坐標(biāo)去表示向量，巧妙地 將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，這樣會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單易解。 詳解如下：二 c b,f Q 0 ,x 由匸 FA，AQ解：設(shè) Q x，0 ,F- c, 0 A 0b 則艮8悅得:得 FA AQ =0，二 cx0=0= x c設(shè) P Xi,yi ,則耶=%,% -b ,PQ =伙。-為，- ，由8Xix° -為5鳥(niǎo)二8 / 、 yi - byiL588以xix0b13

4、13|5，y b13由點(diǎn)P在橢圓上，得b 4 h 二 2b2 =3ac二 2 a2 - c2 3ac丄a2.13“b二 2e2 3e_2 =0=所以橢圓的離心率為1e =-2o2c 11i 1 I i 3由 e二丁 c=a，所以 F -2a,0 ,Q 2a,0I 1I1又必FAQ =90°，所以U AFQ的外接圓的圓心為C. a,0 I半徑r=-FQ| = a12丿 2于是C到直線I的距離d二2a 3=a = a =2，貝V c = 1,b = . 32 2所以橢圓方程為 143二、認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，把問(wèn)題化歸徹底有些學(xué)生在處理問(wèn)題的時(shí)候，不是不具備解析法的思想也不是沒(méi)有處理解幾問(wèn)題應(yīng)

5、該具備的計(jì)算、分析能力，而是沒(méi)有透過(guò)現(xiàn)象，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，或者說(shuō)沒(méi)有讀懂題，就急于解題，這樣的解題，切不可取。此時(shí)一定要分析問(wèn)題的中心是什么，是什么量決定了問(wèn)題的可研究性，例2 (江蘇高考調(diào)研)已知在直角三角形PMN中，.PMN = 90 ，PM =3, MN =4，若橢圓以 M、N為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò) P點(diǎn).(1) 試建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn) M的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在不等于零的實(shí)數(shù)，滿足0A - OB：；'LOP =0 ?若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由?！痉治觥浚涸擃}的第二問(wèn)是對(duì)的探求問(wèn)題，向量表達(dá)式OA OB 'OP

6、=0的形的意義就是線段AB的中點(diǎn)C、點(diǎn)P、O三點(diǎn)共線，即當(dāng)直線的斜率k取一確定值時(shí)能保證上述條件，所以該問(wèn)題應(yīng)該圍繞直線的斜率來(lái)討論，先確定k的值然后再確定的值。有的同學(xué)沒(méi)有搞清問(wèn)題的本質(zhì)，圍繞來(lái)做文章，那么這個(gè)問(wèn)題的處理就進(jìn)了死胡同。解略。例3如圖所示,已知圓E : x2 (y -1)2 =4交x軸分別于A B兩點(diǎn)，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，另外還M過(guò)點(diǎn)M作圓E的弦MN(I)若弦 MN所在直線的斜率為 2,求弦MN勺長(zhǎng)；(H)若弦 MN的中點(diǎn)恰好落在 x軸上,求弦MN所在直線的方程；(川)設(shè)弦 MN上一點(diǎn)R不含端點(diǎn))滿足PA, PO,PB成等比數(shù)列 (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，試探求PA PB

7、的取值范圍.【分析】：將三道小題都集中在圓的一條動(dòng)弦上 ，同時(shí)考查了直線 方程、圓的方程、平面向量的數(shù)量積、一元二次不等式、等比數(shù)列這五個(gè)考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)現(xiàn)在高考命題的趨勢(shì)就是在直線與圓內(nèi)尋找新的亮點(diǎn)很多情況下，新意達(dá)到了，同時(shí)題目的難度也上去了。有的同學(xué)不懂該題第 三問(wèn)的意思不知如何下手， 實(shí)際上點(diǎn)P是動(dòng)弦上的動(dòng)點(diǎn)，P就是圓內(nèi)任意一點(diǎn)， PA, PO,PB成等比數(shù)列，則 P又在一雙曲線上，即雙曲線在圓內(nèi)的部分就是P的軌跡，這樣問(wèn)題就好處理了。三、充分利用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)化解題初中對(duì) 平幾”已作了深入研究，解析幾何”首先以直線和圓作為研究對(duì)象，其目的是讓我們更易

8、，更快，更深的掌握解析法。這部分內(nèi)容有著承上啟下”的特點(diǎn)，“解析幾何”中往往會(huì)涉及初中平面幾何知識(shí)，在處理問(wèn)題時(shí)，有時(shí)要走出解幾的思維模式，有機(jī)地運(yùn)用 平面幾何知識(shí)，能起到化敏為簡(jiǎn)的功效。需要特別提醒的是：在用解析法研究直線與圓的 過(guò)程中不要忽視它自身的幾何性質(zhì)。要擅于應(yīng)用它們的幾何性質(zhì)”解題，在很多情況下 幾何性質(zhì)”顯得更為容易，方法顯得更為靈巧。例4 (05浙江)如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)FF2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線I與x軸的交點(diǎn)為 M , IMA* : |AiFi|= 2 : 1.求若點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)，求/ F1PF2取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【分析】：該題如果從函數(shù)角度考慮，最終轉(zhuǎn)化為求正切函數(shù)的最大值。略解如下：易求 a = 2, b = 3, c = 1準(zhǔn)線方程x = -4，不妨設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P (-4, m)當(dāng) m = 0時(shí)，.F1PF2 -0 ；ji當(dāng) m