計算圖形學(xué)推導(dǎo)作圖

1、 四、推導(dǎo)題（共10分）1 用Bresenham算法生成橢圓 時，若：在第一象限上半部分誤差項遞推公式為：下半部分的遞推公式為：當(dāng)時，說明從橢圓的上半部分轉(zhuǎn)入下半部分。請寫出畫整個橢圓的算法步驟。1答：算法步驟如下：1）.輸入橢圓的長半軸a和短半軸b。2）.計算初始值d=b2+a2(-b+0.25)、x=0、y=b。3）.繪制點(x,y)及其在四分象限上的另外三個對稱點。4）.判斷d的符號。若d0，則先將d更新為d+b2(2x+3)，再將(x,y)更新為(x+1,y)；否則先將d更新為d+b2(2x+3)+a2(-2y+2)，再將(x,y)更新為(x+1,y-1)。5）.當(dāng)b2(x+1)<

2、;a2(y-0.5)時，重復(fù)步驟3和4。否則轉(zhuǎn)到步驟6。6）.用上半部分計算的最后點(x,y)來計算下半部分中d的初值：7）.繪制點(x,y)及其在四分象限上的另外三個對稱點。8）.判斷d的符號。若d0，則先將d更新為b2(2xi+2)+a2(-2yi+3)，再將(x,y)更新為(x+1,y-1)；否則先將d更新為d+a2(-2yi+3)，再將(x,y)更新為(x,y-1)。9）.當(dāng)y>0時，重復(fù)步驟7和8。否則結(jié)束。1寫出正二測投影變換矩陣，確定變換矩陣中的參數(shù)，并給出詳細(xì)步驟。答案： 正軸測投影變換矩陣的一般形式：X軸上的單位矢量1 0 0 1變換后為：x y z 1 = 1 0 0

3、 1T = cos 0 -sinsin 1Y軸上的單位矢量0 1 0 1變換后為：x y z 1 = 1 0 0 1T = -sin 0 -cossin 1Z軸上的單位矢量0 0 1 1變換后為： x y z 1 = 0 0 1 1T = 0 0 cos 1則三個方向的變形系數(shù)分別為：按照正二軸測投影變換的定義有： p = r假定Y軸上的單位矢量經(jīng)變換后長度變?yōu)?/2，即取Y軸的變形系數(shù)恒為1/2：可得：=20。42, =19 。28。 五、作圖題（共20分）用Bresenham算法生成直線段。要求：根據(jù)已知條件，先列出計算式算出各點的坐標(biāo)值，然后在下面的方格中標(biāo)出各點（用“”）。已知：線段的

4、起點(0，0)，終點(-6，-4) （1）確定計長方向及走步數(shù)； （2分）（2）算出誤差值，正確取點； （16分）（3）在方格圖中正確標(biāo)出各點； （2分）（4）若在各點之間連線，扣1分。已知一直線段起點（2，10），終點（8，2），利用Bresenham算法生成此直線段，寫出生成過程中坐標(biāo)點及誤差的變化情況。并在下面的方格中，標(biāo)出直線上各點解: 以Y方向計長走步數(shù)C=8是第四象限方向 C=8 x0= 2，y0=10，取點(2，10)C=7 (x1)= 2X-Y=12-8=4>0 x1= x0+1=3，y1= y0-1=9 取點(3，9)C=6 (x2)=(x1)+2X-2Y =4+12-

5、16=0 x2= x1+1=4，y2= y1-1=8 取點(4，8)C=5 (x3)=(x2)+2X-2Y=0+12-16=-4<0 x3= x2=4，y3= y2 -1=7 取點(4，7)C=4 (x4)=(x3)+2X =-4+12=8 x4= x3+1=5，y4= y3-1=6 取點(5，6)C=3 (x5)=(x4)+2X-2Y=8+12-16=4>0 x5= x4+1=6，y5= y4-1=5 取點(6，5)C=2 (x6)=(x5)+2X-2Y =4+12-16=0 x6= x5+1=7，y6= y5-1=4 取點(7，4)C=1 (x7)=(x6)+2X-2Y=0+1

6、2-16=-4<0 x7= x6-=7，y7= y6-1=3 取點(7，3)C=0 (x8)=(x7) +2X =-4+12=8 x8= x7+1=8，y8= y7-1=2 取點(8，2)確定計長方向及走步數(shù): 2分算出誤差值，正確取點: 16分在方格圖中正確標(biāo)出各點: 2分若在各點之間連線，扣2分用Bresenham算法生成直線段。要求：根據(jù)已知條件，先列出計算式算出各點的坐標(biāo)值，然后在下面的方格中標(biāo)出各點（用“”）。已知：線段的起點(0，0)，終點(6，5)解:起點坐標(biāo)為(0,0),終點坐標(biāo)為(6,5) y =y2-y1=5, x=x2-x1=6 m = y / x=6/5 d1 =

7、 y - yk = m ( xk+ 1) - yk d2 = ( yk + 1 ) - y =(yk + 1)- m ( xk + 1 )那么d1-d2 = 2m ( xk + 1 ) - 2yk 1將 m = y / x， y y2-y1, xx2-x1帶入令pk = x ( d1 - d2 ) = 2y . xk - 2x . yk+ c =12 . xk-10. yk+7(其中c=2 y- x)又有 pk+1 =2y . xk+1 - 2x. yk+1+ c=12 . xk+1-10. yk+1+7 所以pk+1 - pk = 2y (xk+1 - xk ) - 2x (yk+1 - y

8、k )if pk <0 , d1 - d2 <0 ,取右方象素，有 yk+1= yk ,則 pk+1 = pk + 2yif pk >=0, d1 - d2 >=0,取右上方象素，有 yk+1= yk + 1, yk+1 - yk = 1,則 pk+1 = pk + 2y - 2x第一點為(0,0) 所以 pk=7>0 第二點為 (1,1)第二點為(1,1) 所以 pk= 5>0 第三點為(2,2)第三點為(2,2) 所以 pk=3>0 第四點為(3,3)第四點為(3,3) 所以 pk=1>0 第五點為(4,4)第五點為(4,4) 所以 pk=-

9、1<0 第六點為(5,4)第六點為(5,4) 所以 pk=-3<0 第七點為(6,5)用Bresenham算法生成直線段。要求根據(jù)已知條件，先列出計算式算出各點的坐標(biāo)值，然后在下面的方格中標(biāo)出各點（用“”）。已知：線段的起點(0，0)，終點(-8，4)給定頂點P0P1P2P3P4構(gòu)成的控制多邊形，繪出二次B樣條曲線的形狀示意圖。要求：簡要說明作圖過程，保留作圖輔助線，作出（或文字說明）曲線上各特征點的切線矢量。正確繪制曲線 8分畫出以P0P1P2 決定的地0段3次樣條曲線： A為P0P1的中點，B為P1P2的中點，C為AB連線的中點與P1連線的中點，該段曲線起點為A點，終點為B點，

10、并在1/2處過C點；A點的切矢為P1-P0，B點的切矢為P2-P1，C點的切矢平行于P2-P0，且等于P0P2的1/2。 正確標(biāo)出A、B、D三點 3分 指出A、B、D三點的切矢 3分以同樣的方法畫出：以P1P2 P3決定的地3段1次樣條曲線 1分給定頂點P0P1P2P3P4P5P6構(gòu)成的控制多邊形，繪出三次B樣條曲線的形狀示意圖。P0P1P3P2P4P5P6要求：簡要說明作圖過程，保留作圖輔助線，作出（或文字說明）曲線上各特征點的切線矢量。畫出以P0P1P2 P3決定的第0段3次樣條曲線： M1為P0P2的中點，A點位于P1M1的1/3處，A點的切矢平行于P0P2，且等于P0P2的1/2，A點

11、的二階導(dǎo)數(shù)矢量為中線矢量P1M1的兩倍；M2為P2P3的中點，B點位于P2M2的1/3處，A點的切矢平行于P1P3，且等于P1P3的1/2，B點的二階導(dǎo)數(shù)矢量為中線矢量P2M2的兩倍； 正確標(biāo)出A、B兩點、 指出A、B點的切矢、 指出A、B點的二階導(dǎo)數(shù)矢量 以同樣的方法畫出其它樣條曲線。2、請利用下面給出的控制點的坐標(biāo)，做三次Brezier曲線：p0=(1,0,0)；p1=(5,5,0)；p2=(15,7,0)；p3=(10,2,0)。答：則n=3時，B0(t)=(1-t)³，B1(t)=3(1-t)²t，B2(t)=3(1-t)t²，B3(t)=t³，

12、對于參數(shù)t的不同取值，坐標(biāo)P(t)可以用下式求得：P(t) B0(t)p0 B1(t) p1 B2(t) p2 B3(t) p300.20.40.60.81B010.510.220.060.010B100.380.430.230.10B200.10.230.430.380B300.010.060.220.511P(0)=1×(1,0,0)0× (5,5,0)0× (15,7,0) 0×(10,2,0) (1,0,0)P(0.2)=0.51×(1,0,0)0.38× (5,5,0)0.10× (15,7,0) 0.01

13、5;(10,2,0)(4.01,2.62,0)P(0.4)=0.22×(1,0,0)0.43× (5,5,0)0.23× (15,7,0) 0.06×(10,2,0)(6.42,3.88,0)P(0.6)=0.06×(1,0,0)0.23× (5,5,0)0.43× (15,7,0) 0.22×(10,2,0)(9.86,4.60,0)P(0.8)=0.01×(1,0,0)0.10× (5,5,0)0.38× (15,7,0) 0.51×(10,2,0)(11.31,4.18

14、,0)P(1)=0×(1,0,0)0× (5,5,0)0× (15,7,0) 1×(10,2,0)(10.00,2.00,0)01234524681012(1,0,0)(4.01,2.62,0)(6.42,3.88,0)(9.86,4.60,0)(11.31,4.18,0)(10.00,2.00,0)用掃描線填充法將頂點為P0 (2，5)， P1(2，10)，P2(9，6)，P3(16，11)，P4(12，2)，P5(7，2)的多邊形填充。寫出填充步驟并進(jìn)行填充。答：（1）建立NET：（2）寫出每一條掃描線的AET用掃描線填充法將頂點為P0 (2，5)，

15、 P1(2，10)，P2(9，6)，P3(16，11)，P4(12，2)，P5(7，2)的多邊形填充。寫出填充步驟并進(jìn)行填充。答：（1）建立邊分類表EL：5 7 -5/34 12 4/95 5.3 -5/34 12.4 4/95 3.6 -5/34 12.9 4/95 2 -5/311 13.3 4/910 2 010 9 -7/411 9 7/511 13.7 4/9（2）寫出每一條掃描線的活化鏈表以及交點進(jìn)行配對和著色：10 2 010 7.3 -7/411 10.4 7/511 14.2 4/910 2 010 5.6 -7/411 11.8 7/511 14.6 4/910 2 010

16、 3.9 -7/411 13.2 7/511 15 4/910 2 010 2.2 -7/411 14.6 7/511 15.5 4/911 16 7/511 16 4/9y=2，AEL交點：（7,2）（12,2），著色兩點間所有點y=3，AEL交點：（5.3,3）(12.4,3), 根據(jù)左閉右開原則，著色（5,3）(14,3)之間所有點y=4, AEL 交點：(3.6,4) (12.9,4), 根據(jù)左閉右開原則，著色(3,4) (12,4)之間所有點y=5, AEL 交點：(2,5) (13.3,5), 根據(jù)左閉右開原則，著色(2,5) (13,5)之間所有點y=6, AEL交點：（2,6）

17、(9,6) (9,6)(13.7,6)，按X大小配對，并根據(jù)左閉右開原則，著色（2,6）與(9,6)， (9,6)與(13,6)之間的所有點y=7, AEL交點：（2,7）(7.3,7) (10.4,7)(14.2,7)，按X大小配對，并根據(jù)左閉右開原則，著色(2,7)與(7,7)， (10,7)與(14,7)之間的所有點y=8, AEL交點：（2,8）(5.6,8) (11.8,8)(14.6 ,8)，按X大小配對，并根據(jù)左閉右開原則，著色（2,8）與(5,8)， (11,8)與(14,8)之間的所有點y=9, AEL交點：（2,9）(3.9,9) (13.2,9)(15 ,9)，按X大小配

18、對，并根據(jù)左閉右開原則，著色（2,9）與(3,9)， (13,9)與(15,9)之間的所有點y=10,AEL交點：（2,10）(2.2,10) (14.6,10)(15.5,10)，按X大小配對，根據(jù)左閉右開原則，著色（2,10）與(2,10)， (14,10)與(15,10)之間的所有點y=11,AEL交點(16,11)(16,11), 著色點(16,11)。試根據(jù)下列給定的條件，畫出有關(guān)曲線的形狀示意圖。已知：圖(a)所示三次Bezier曲線的控制多邊形，共有4個控制點P0P1P2P3;圖(b)所示為二次B樣條曲線的控制多邊形，共有4個控制點P0P1P2P3。要求：簡要說明作圖過程，保留作

19、圖輔助線，作出（或文字說明）B樣條曲線上各特征點的切線矢量。圖(a)：共7分（1）正確標(biāo)出A、B、C、各點， （5分）（2）正確繪制曲線， （2分）圖(b)：共8分A為P0P1的中點，A點的切矢為P0P1的走向且等于(P1-P0)；B為AP1C中線P1M的中點，B點的切矢平行于AC，且等于1/2(P2-P0)；C為P1P2的中點，C點的切矢為P1P2的走向且等于(P2-P1)；D為CP2E中線P2M1的中點，其切矢平行于CE，且等于1/2(P3-P1)；E為P2P3的中點，其切矢為P2P3的走向且等于(P3-P2)。(1)正確標(biāo)出A、B、C、D、E各點， （5分）（2）正確繪制曲線， （2分）

20、（3）說明（或作出）曲線上A、B、C、D、E各點的切矢， （1分）給定頂點P0P1P2P3構(gòu)成的控制多邊形，繪出三次Bezier曲線的形狀示意圖。要求：簡要說明作圖過程，保留作圖輔助線，作出（或文字說明）曲線上各特征點的切線矢量。P3P2P0P1AGFEDCBH解： A為的P0P1中點，B為P1P2的中點，C為P2P3的中點，D為AB的中點，E為BC的中點，F(xiàn)為DE的中點，該曲線的起點為P0，P0的切矢為P0P1的走向且等于3（P1-P0）；終點為P3，P3的切矢為P2P3的走向且等于3（P3-P2）；該曲線的過F且與EB相切，F(xiàn)點將曲線分成以P0ABF和FEC P3為特征多邊形的兩段三次Be

21、zier曲線。2. 試按左下右上順序用四向算法，分析當(dāng)S1為種子時，下圖區(qū)域的填充過程。S1673101112928543 11 4 63 11 4 73 11 4 8 33 11 4 8 2 103 11 4 8 2 9 113 11 4 8 2 9 123 11 4 8 2 93 11 4 8 2 3 11 4 8 5 83 11 4 8 53 11 4 83 11 43 113圖中ABCD為矩形窗口，P1P2為待裁剪線段。試用中點分割法求出P1的最遠(yuǎn)可見點，當(dāng)線段長度0.5時算法結(jié)束。P1P2已知窗口及線段的坐標(biāo)分別為A（0，0）、B（0，6）、C（10，6）、D（10，0），P1（-1

22、，10）、P2（11，0）。解：設(shè)P1P2的中點為P12(x1，y1)x1=(-1+11)/2=5， y1=(11+0)/2=5因為P12 P2不是完全不可見，故對P12 P2作進(jìn)一步處理設(shè)P12 P2的中點為P22(x2，y2)x2=(5+11)/2=8， y2=(5+0)/2=2.5因為P22 P2不是完全不可見，故對P22 P2作進(jìn)一步處理設(shè)P22 P2的中點為P32(x3，y3)x3=(8+11)/2=9.5， y3=(2.5+0)/2=1.25因為P32 P2不是完全不可見，故對P32 P2作進(jìn)一步處理設(shè)P32 P2的中點為P42(x4，y4)x4=(9.5+11)/2=10.25，

23、 y4=(1.25+0)/2=1.125因為P42 P2是完全不可見，故對作進(jìn)一步處理設(shè)P32P42的中點為P52(x5，y5)x5=(9.5+10.25)/2=9.875， y5=(1.25+1.125)/2=1.1875所以P1的最遠(yuǎn)可見點為P52(9.875，1.1875) 六、計算題（共15分）已知圖中所示三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A(2，4)、（4，4）、（4，1），相對A點逆時針旋轉(zhuǎn)600，各頂點分別到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣。）解： ：圖中ABCD為矩形窗口，P1P2為待裁剪線段。試用中點分割法求出P1的最遠(yuǎn)可見點，當(dāng)線段長度0

24、.5時算法結(jié)束。已知：窗口及線段的坐標(biāo)分別為A(-7，1)、B（-2，1）、C（-2，5）、D（-7，5）、P1（-9，0）、P2（0，6）。（1）確定每個分割點，并正確計算出坐標(biāo)值； （每步2分，共10分）（2）精度判斷計算； （3分）（3）給出正確結(jié)論。 （2分）已知三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相對直線Y=4做對稱變換后到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣）（1）將坐標(biāo)系平移至P1 (0，4)點 2分（2） 以X軸對稱 2分 （3）將坐標(biāo)系平移回原處 2分（4） 變換矩陣：T=TA*TB*TC= 2分（5）

25、求變換后的三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A、B、C 7分A: XA'=1， Y A'=6 B: XB'=5， Y B'=6 C: XA'=3， Y A'=3 已知圖中所示三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A(2，4)、（4，4）、（4，1），相對A點逆時針旋轉(zhuǎn)600，各頂點分別到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣。）已知三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相對直線P1P2(線段的坐標(biāo)分別為：P1 (-1,-1) 、P2 (8,3) )做對稱變換后到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（

26、要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣，列出計算式子，不要求計算結(jié)果）解：（1） P1 P2與X軸的夾角為： 1分（2）將坐標(biāo)系平移至P1 (-1,-1)點 2分（3） 繞原點轉(zhuǎn)-角 2分（4） 以X軸對稱 2分（5） 繞原點轉(zhuǎn)角 2分（6）將坐標(biāo)系平移回原處（7） 變換矩陣：T=TA*TB*TC*TD*TE 3分（8） 求變換后的三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A、B、C 3分A: B: C: 已知圖示三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A(1，2)、（5，2）、（3，5），相對直線X=4作對稱變換后，分別到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣。）已知三角形ABC各頂點的

27、坐標(biāo)A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相對直線Y=4-X 做對稱變換后到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣）（1）將坐標(biāo)系平移至P1 (4，0)點 2分（2） 以Y=X對稱 2分 （3）將坐標(biāo)系平移回原處 2分（4） 變換矩陣：T=TA*TB*TC= 2分（5） 求變換后的三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A、B、C 1分A: XA'=2， Y A'=-3 2分B: XB'=2， Y B'=-1 2分C: XA'=-1， Y A'=1 2分1已知三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A(1,2)、B(5,2)、C(3,

28、5)，相對直線P1P2(線段的坐標(biāo)分別為：P1 (-1,-1) 、P2 (8,3) )做對稱變換后到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣，列出計算式子，不要求計算結(jié)果）解: (1) 將坐標(biāo)平移至P1 (-1,-1)點: (2) 線段P1P2與X軸夾角為(3) 順時針方向旋轉(zhuǎn)角: (4) 關(guān)于X軸對稱: (5)逆時針轉(zhuǎn)回: (6) 將坐標(biāo)系平移回原處 (7)變換矩陣: (8) 求變換后的三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A、B、C A: B: C: 2已知四個型值點P1(4,1,1)，P2(0,0,0)，P3(3,0,3)，和P4(-1,1,1)，用線段連接相鄰的

29、Pi，構(gòu)造一條連接好的三次B樣條曲線，寫出該曲線的參數(shù)表達(dá)式，并計算參數(shù)為0，1/3，2/3和1的值。答案： x(t)=4*+0*+3*+(-1)*y(t)=1*+0*+0*+1*z(t)=1*+0*+3*+1*當(dāng)：t=0, P(x,y,z)=P(1.1667, 0.1667, 0.6667) t=1/3， P(x,y,z)=P(1.3025, 0.0556, 1.1667) t=2/3, P(x,y,z)=P(1.6975, 0.0556, 1.7778) t=1， P(x,y,z)=P(1.8333, 0.1667, 2.1667)七、分析題（共10分）用掃描線填充法將頂點為P0 (2，5

30、)， P1(2，10)，P2(9，6)，P3(16，11)，P4(18，4)，P5(12，2)，P6(7，2)的多邊形填充。請寫出EL和AEL。建立用掃描線填充法將頂點為P0 (2，1)， P1(1，7)，P2(8，5)，P3(7，1)，P4(6，4)的多邊形填充時的邊分類表。五、算法說明題 每小題15分，共計30分2畫出Cohen-Sutherland裁剪算法的流程圖并說明此算法最適合的使用場合七、根據(jù)算法作圖題 每小題15分，共計15分五 、已知一多邊形如圖，寫出其新邊表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。六 、利用分割遞推Casteljau算法，作圖求由P0,P1,P2,P3四個點定義的Bezier曲線上的一個

31、點C(0.5) 并利用Bezier曲線的性質(zhì)畫出兩端點的切線。P0P1，P2P3為兩端點的切線 C（0.5）為Bezier曲線上t=0.5的點            八 、對斜平行投影，設(shè)定投影方向矢量為    形體被投影到XOY平面上。形體上的一點為(x，y，z)，確定它在XOY平面上的投影(xs,ys)。六、（本題15分）如右圖所示的多邊形，若采用改進(jìn)的有效邊表算法進(jìn)行填充，在填充時采用“下閉上升”的原則（即刪除y=ymax的邊之后再填充）試畫出該多邊

32、形的ET表和當(dāng)掃描線Y=3和Y=8時的AET表。解：ET表如下：當(dāng)掃描線Y=8時的AET表：當(dāng)掃描線Y=3時的AET表：7/37-1/375-1/24.553/4991/2/八、（本題10分）如圖所示，物體ABCDEFGH進(jìn)行如下變換，寫出其變換矩陣并求出復(fù)合變換后頂點的齊次坐標(biāo)。1、 平移使點C與點P（1，1，0）重合；2、繞z軸旋轉(zhuǎn)60°。解：平移點C與點P重合的平移矩陣為繞z軸旋轉(zhuǎn)60°矩陣為所以，復(fù)合變換后的矩陣為T1*T2，有：其中ABCDEFGH為變換后對應(yīng)的齊次坐標(biāo)。五、如下圖所示多邊形，若采用改進(jìn)的有效邊表算法進(jìn)行填充，試寫出該多邊形的ET表和當(dāng)掃描線Y=4

33、時的AET表。（本題10分）解：ET表：六、假設(shè)在觀察坐標(biāo)系下窗口區(qū)的左下角坐標(biāo)為（wxl=10,wyb=10）,右上角坐標(biāo)為（wxr=50，wyt=50）。設(shè)備坐標(biāo)系中視區(qū)的左下角坐標(biāo)為（vxl=10,vyb=30）,右上角坐標(biāo)為（vxr=50,vyt=90）。已知在窗口內(nèi)有一點p(20,30),要將點p映射到視區(qū)內(nèi)的點p,請問p點在設(shè)備坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是多少？（本題10分）解：將窗口左下角點（10,10）平移至觀察坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，平移矢量為（-10，-10）。 針對坐標(biāo)原點進(jìn)行比例變換，使窗口的大小和視區(qū)相等。比例因子為： Sx=(50-10)/(50-10)=1; Sy=(90-30)/

34、(50-10)=1.5。 將窗口內(nèi)的點映射到設(shè)備坐標(biāo)系的視區(qū)中，再進(jìn)行反平移，將視區(qū)的左下角點移回到設(shè)備坐標(biāo)系中原來的位置（10，30），平移矢量為（10，30）。p點在設(shè)備坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是（20，60）。一、 利用中點Bresenham畫圓算法的原理推導(dǎo)第一象限從y=x到x=0圓弧段的掃描轉(zhuǎn)換算法（要求寫清原理、誤差函數(shù)、遞推公式）。(10分)解：x方向為最大走步方向，xi+1=xi-1,yi+1由d確定di=F(xm,ym)=(xi-1)2+(yi+0.5)2-R2 di <0時，點在圓內(nèi)，xi+1=xi-1, yi+1= yi+0.5di+1=F(xm,ym)= (xi-2)2+(

35、yi+1.5)2-R2 =xi2-4xi+4+yi2+3yi+1.52-R2 =(xi-1)2-2xi+3+(yi+0.5)2+2yi+2-R2 = di -2xi+2yi+5 = di +2(yi-xi)+5 di0時，點在圓外，xi+1=xi-1,yi+1=yidi+1=F(xm,ym)=(xi-2)2+(yi+0.5)2-R2 =xi2-4xi+4+(yi+0.5)2-R2 = di -2xi+3五、（本題10分）利用中點Bresenham畫圓算法的原理推導(dǎo)第一象限從y=0到x=y圓弧段的掃描轉(zhuǎn)換算法（設(shè)半徑為R，要求寫清原理、誤差函數(shù)、遞推公式）。解：算法原理：如圖a所示，從y=0到x

36、=y圓弧段即為逆時針方向，此時當(dāng)y方向走一步時，x方向能否走一步需要根據(jù)判別式進(jìn)行判斷，推導(dǎo)如下：先構(gòu)造函數(shù)F(x,y)=x2+y2-R2，對于圓上點F(x,y)0；對于圓外點F(x,y)>0；圓內(nèi)點F(x,y)<0。假設(shè)M為Pr和Pl的中點即M(xi-0.5,yi+1)所以判別式為：圖ad=F(xM,yM)=F(xi-0.5,yi+1)= (xi-0.5)2+( yi+1)2-R2當(dāng)d<0時，如圖b，下一點取Pr（xi,yi+1）當(dāng)d>0時，如圖c，下一點取Pl(xi-1,yi+1)當(dāng)d0時，任取上述情況中一種即可。誤差項的遞推：如圖b所示，當(dāng)d<0時，取Pr（

37、xi,yi+1），欲判斷下一個象素，應(yīng)計算：d=F(xi-0.5,yi+2)=d+2yi+3，即d的增量為2yi+3；如圖c所示，當(dāng)d>0時圖b，取Pl(xi-1,yi+1)，欲判斷下一個象素，應(yīng)計算：d=F(xi-1.5,yi+2)=d-2xi+2yi+3, 即d的增量為-2xi +2yi+3。繪制第一個點為（R,0）,所以d的初始值為d0F（R-0.5,1）=1.25-R圖c1、已知三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相對直線Y=4做對稱變換后到達(dá)A、B、C。試計算A、B、C的坐標(biāo)值。（要求用齊次坐標(biāo)進(jìn)行變換，列出變換矩陣）解：（1）將坐標(biāo)系平移至P1

38、(0，4)點 （2） 以X軸對稱 （3）將坐標(biāo)系平移回原處 （4） 變換矩陣：T=TA*TB*TC= （5） 求變換后的三角形ABC各頂點的坐標(biāo)A、B、C A: XA'=1， Y A'=6 B: XB'=5， Y B'=6 C: XA'=3， Y A'=3 七、（本題15分）如圖所示四邊形ABCD，求繞P（5，4）點逆時針旋轉(zhuǎn)90度的變換矩陣，并求出各端點坐標(biāo)，畫出變換后的圖形。解： 1.一條直線的兩個端點是（0，0）和（6，18），計算x從0變到6時y所對應(yīng)的值。解答：由于直線的方程沒有給出，所以必須找到直線的方程。下面是尋找直線方程（ymxb

39、）的過程。首先尋找斜率：m y/x （y2y1）/（x2x1） （180）/(60) 3接著b在y軸的截距可以代入方程y3xb求出 030b。因此b0，所以直線方程為y3x。當(dāng)x從0變到6時y所對應(yīng)的值如下表：x0123456y03691215182寫出關(guān)于xy平面對稱面的鏡面反射變換。解答：由圖得知P（x，y，z）得對稱點是（x，y，z）。其反射變換是：P(x,y,z)P(x,y,z)yxz3寫出直線方程對應(yīng)的xy坐標(biāo)方程，假設(shè)坐標(biāo)系是由xy坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)90°得到。解答：旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換方程可以寫成：,代入原方程式得到，寫成y的方程式，得4使用斜截式方程畫斜率介于0°和45&#

40、176;之間的直線的步驟是什么？解答：用斜截式方程畫直線的過程如下：（1） 計算dx：dxx2x1。（2） 計算dy：dyy2y1。（3） 計算m：mdy/dx。（4） 計算b: by1m×x1（5） 設(shè)置左下方的端點坐標(biāo)為（x，y），同時將xend設(shè)為x的最大值。如果dx < 0，則xx2、yy2和xendx1。如果dx > 0,那么xx1、yy1和xendx2。（6） 測試整條線是否已經(jīng)畫完，如果x > xend就停止。（7） 在當(dāng)前的（x，y）坐標(biāo)畫一個點。（8） 增加x：xx1。（9） 根據(jù)方程ymxb計算下一個y值。轉(zhuǎn)到步驟（6）。5寫出從到的段與（a）垂

41、直線xa，（b）水平線yb的交點。解答：線段的參數(shù)方程為：（a） 因為，將它代入方程得到。然后把此值再代入方程，則交點是和（b） 因為，將它代入方程得到。然后把此值再代入方程，則交點是和6使用Bresenham算法畫斜率介于0°和45°之間的直線所需的步驟。解答：用Bresenham算法畫直線的過程如下：（1）計算初始值dx x2x1Inc2 2（dydx）dy y2y1d Inc1 dxInc1 2dy（2）設(shè)置左下方的端點坐標(biāo)為（x，y），同時將xend設(shè)為x的最大值。如果dx < 0，則xx2，yy2和xendx1。如果dx > 0, 那么xx1、yy1和xendx2。（3） 在當(dāng)前的（x，y）坐標(biāo)畫一個點。（4） 判斷整條線段是否已經(jīng)畫完，如果xxend就停止。（5） 計算下一像素的位置。如果d<0，那么ddInc1。如果d0，那么dd + Inc2，并且yy1。（6） 增加x：xx1。（7） 在當(dāng)前的（x，y）坐標(biāo)畫一個點。（8） 轉(zhuǎn)到步驟（4）。6.已知4個型值點（1.0，2.0，），（2.5，3.5），（4.0，4.5