一元二次方程根的分布練習(xí)及答案

1、一元二次方程根的分布一.一元二次方程根的基本分布 零分布所謂一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。bx c 0 （ a 0）的兩個(gè)實(shí)根為x1, x2，且x1x2。設(shè)一兀二次方程2 axb2 4ac 0【定理11 x10,X20 （兩個(gè)正根）人X2b，-0 acX1X2a0推論：x10 ,X20b2 4ac 0a 0b2或a 04ac 0f(0) c 0f(0)c 0b 0b 0上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到?！纠?】若一元二次方程（m 1）x2 2（m 1）x

2、m 0有兩個(gè)正根，求m的取值范圍。24(m 1) 4m(m 1) 0分析：依題意有2(m 1)m 10 m 3)52b 4ac 0 a 0f(0) c 0b 000000cX2rolaXi0bk2ak0bk2abXiXX22 Xib2b2二一元二次方程的非零分布一一k分布設(shè)一元二次方程 ax2 bx c 0 ( a 0)的兩實(shí)根為x1, x2，且x1 x2。k為常 數(shù)。則一元二次方程根的 k分布(即x1，x2相對(duì)于k的位置)有以下若干定理。【例4】若一元二次方程kx2(2k1)x k 30有一根為零，則另一根是正根還是負(fù)根？分析：由已知k 3=0,. k =3，代入原方程得3 x2 +5 x=

3、0,另一根為負(fù)。Kc 0 且一0 ；a0且-a【定理1】k【定理2 x1分析：依題意有- 3 0 k 3 k【定理44ac 0af (k)4ac 0af (k)c【定理3】x10 x2-0a【例3】k在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程kx2 3kx k 3 0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根？【定理 3】x1 k x2 af (k)0。推論1推論2XiJ$A A0。b c)X2aca(a10。Xi【定理5】k1x-ik2pix2P2f(ki) 佻) f (Pi) f (P2)f(ki) fg f (Pi) f (P2)0000b2a 04ac 0b2a 04ac 0【定理6】ki xi x2k2f (ki)0或

4、f(ki)0f K)0f(k2)0bbkik2kik22a2a4推出，請(qǐng)讀者自證。此定理可直接由定理2aa ax三、例題與練習(xí)【例5】已知方程 X 11x m 2 0的兩實(shí)根都大于1，求m的取值范圍。(129)(12 m -(3)已知方程x2(m 2)x 2m 10的較大實(shí)根在0和1之間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。4(2)若 元一次萬(wàn)程mx (m 1)x30的兩個(gè)實(shí)根都大于-1，求m的取值范圍。(m2或 m 526 )(3)若元一次方程mx2 (m 1)x30的兩實(shí)根都小于2，求m的取值范圍。(m1或m25 2.6 )【例6】已知方程x2 2mx 2m230有一根大于2,另一根比2小，求m的取值2范

5、圍。(1m1一)22(2)已知方程x2 (m2)x 2m 10有一實(shí)根在 0和1之間，求m的取值范圍。(丄 m 2)23變式：改為較小實(shí)根(不可能；- m2)2(4) 若方程X2 (k 2)x k 0的兩實(shí)根均在區(qū)間(1、1 )內(nèi)，求k的取值范圍。1(42-3 k )2(5) 若方程x2 (k 2)x 2k 1 0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，12求k的取值范圍。(-k 2 )23(6) 已知關(guān)于x的方程(m 1)x2 2mx m2 m 60的兩根為、且滿足01 ，求m的取值范圍。(3 m . 7或2 m 、門(mén))【例7】已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+仁0.(1) 若

6、方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1, 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求m的范圍.(2) 若方程兩根均在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求m的范圍.本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問(wèn)題，解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所 具有的意義.技巧與方法：設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫(huà)出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說(shuō)明拋物線 f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1, 0)和(1, 2) 內(nèi)，畫(huà)出示意圖，得1mf(0)2m10,2mR,f( 1)20,511mf(1)4m20,m1622f(2)6m505m6(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，列不等式組

7、f (0) 0,f (1) 0,0,0 m 1m1練習(xí)：1十12 .2或m 12,m 0.(這里0 nr1是因?yàn)閷?duì)稱軸x= m應(yīng)在區(qū)間(0 , 1)內(nèi)通過(guò))1. 若方程 4x (m 3)?2x 提示：令2x = t轉(zhuǎn)化為關(guān)于22. 若關(guān)于x的方程|g(x 范圍。m 0有兩個(gè)不相同的實(shí)根，求 m的取值范圍。次方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根。答案：0有唯一的實(shí)根，t的一元二20x) lg(8x6a3)0 m 1求實(shí)數(shù)a的取值提示：原方程等價(jià)于2 x2 x20x020x 8x 6a20或 x 012x 6a 30令 f (x) = x2+12x+6a+3(1)若拋物線y = f(x)與x軸相切，有 =144

8、 4(6a+3)=0即a=H2將a = H代入式有x = 6不滿足式， a豐11。2 2(2)若拋物線y = f (x)與x軸相交，注意到其對(duì)稱軸 為x= 6,故交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有且僅有一個(gè)滿足式 的充要條件f ( 20)f(0) 0.當(dāng) 1636另法：原方程等價(jià)于問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：26a 3與拋物線 y = x +20 x(x0)有且只 有一個(gè)公共點(diǎn)。是0解得1631a621 、時(shí)原方程有唯一解。22x +20 x =8 x 6a 3(x 0)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使直線y =8 x 雖然兩個(gè)函數(shù)圖像都明確，但在什么條件下它們有且2只有一個(gè)公共點(diǎn)卻不明顯，可將變形為 x +12 x+3= 6a(x0),再在同一坐標(biāo)系中分別也作出20621631拋物線y = X +12 x+3和直線y = 6 a ,如圖，顯然當(dāng)3 6 a 163即a -6 2 時(shí)直線y = 6a與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。3.已知f(x) =(x a)(x b) 2( a b )，并且,是方