第4講定義新運(yùn)算二精

1、第4講定義新運(yùn)算(二)例1已知玄b= ( a+b) - (a-b )，求9探2的值。分析與解：這是一道很簡(jiǎn)單的題，把a(bǔ)=9, b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運(yùn)算的法則，我們可以先把新運(yùn)算“”化簡(jiǎn)，再求結(jié)果。玄 b=( a+b)- ( a-b)=a+b-a+b=2b。所以，9探 2=2X 2=4。由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡(jiǎn)表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。例2定義運(yùn)算：aO b=3a+5ab+kb其中a, b為任意兩個(gè)數(shù)，k為常數(shù)。比如：207=3X 2+5X 2X 7+7k。(1)

2、已知502=73。問(wèn)：805與508的值相等嗎？(2)當(dāng)k取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù)a, b，都有aOb=bOa,即新運(yùn)算“O”符合交換律？分析與解：(1)首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?02=3X 5+5X 5X 2+kX2=65+2k ,所以由已知 50 2=73,得65+2k=73，求得k= (73-65 )- 2=4。定義的新運(yùn)算是： a0 b=3a+5ab+4b。805=3X 8+5X 8X 5+4X 5=244,508=3X 5+5X 5X 8+4X 8=247。因?yàn)?44工247,所以805工50&(2)要使a0b=b0a,由新運(yùn)算的定義，有3a+5ab+kb=3b

3、+5ab+ka,3a+kb-3b-ka=0 ,3 x (a -b-k(a-b=0,(3-k(a-b=0 。對(duì)于兩個(gè)任意數(shù)a, b,要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。例3對(duì)兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab,即 a b=a， b- （ a， b ）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是 70，最大公約數(shù)是 2，那么10 14=70-2=68。（1）求12 21的值；（2）已知6x=27，求x的值。分析與解：（1）1221=12， 21- （ 12，21）=84-3=81 ；（2）因?yàn)槎x的新運(yùn)算“”沒(méi)有四則運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá) 式求X，只能用推理的方法

4、。因?yàn)?#167; x=6，x-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2,3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)6，x只能是28，29， 30，33。這四個(gè)數(shù)中只有30是6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)閍x b=a，b x（ a， b），所以6x x=30x 3，由此求得 x=15。例4 a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°， b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運(yùn)算“”表示“接著做”。求：a©b; b©c; c©a。分析與解：a©b表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)90°

5、，再順時(shí)針轉(zhuǎn)180°，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)270°，也等于逆時(shí)針轉(zhuǎn) 90°，所以a© b=c。b©c表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)180°，再逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，所以b© c=a。c©a表示先逆時(shí)針轉(zhuǎn) 90°，再順時(shí)針轉(zhuǎn) 90°，等于沒(méi)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以 c©a=d。對(duì)于a，b，c，d四種運(yùn)動(dòng)，可以做一個(gè)關(guān)于“”的運(yùn)算表（見(jiàn)下表）。比如 c©b，由c所在的行和b所在的列，交叉處 a就是c©b的結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)算符合交換 律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。abcdac*Tbcdabcdabcrrabcd例 5 對(duì)任意的數(shù) a， b，定義：f (a) =2a+1， g (b) =bx b。(1) 求 f (5) -g (3)的值；(2) 求 f ( g (2) +g (f (2)的值；(3) 已知f (x+1) =21，求x的值。解：(1) f (5) -g (3) = (2X 5+1) - (3X 3) =2;(2) f (g (2) +g (f (2)=f (2X 2) +g (2X 2+1)=f (4) +