輸電線舞動(dòng)模型的分析范德波爾方程課案

1、輸電線舞動(dòng)模型的分析The analysis of the transmission line dancing model專業(yè)：車輛工程姓名：*p.*輸電線舞動(dòng)模型的分析摘要：通過對(duì)覆冰輸電導(dǎo)線在水平陣風(fēng)作用下做垂向馳振的物理模型進(jìn)行簡(jiǎn)化分析， 建立了系統(tǒng)微分方程，定性分析研究系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型及穩(wěn)定性，極限環(huán)的存在穩(wěn)定性； 通過KBM法求得系統(tǒng)方程近似解，分析參數(shù)對(duì)振動(dòng)的影響因素。關(guān)鍵詞：輸電線舞動(dòng)；范德波爾方程；穩(wěn)定性；周期解The analysis of the transmission line dancing modelAbstract: Based on the ice at the

2、level of tran smissi on wire to do the vertical gallop ing un der the horiz on tal wind physical model to simplify the an alysis, the study established a system of differential equations Then qualitative analysis the type and stability of singular point, the existe nee of limit cycle stability.Throu

3、gh the KBW method to obta ine equati on approximate soluti on, an alysis the in flue nee factors of parameters on the vibrati on. Keywords： transmission wire of the dance; Van der pol equation; stability Periodic soluti on1.引言冬季，當(dāng)水平方向的風(fēng)吹到因覆冰而變?yōu)榉菆A斷面的輸電導(dǎo)線時(shí)，在一定的條件下，會(huì)誘發(fā)導(dǎo)線產(chǎn)生一種低頻、大振幅的自激振動(dòng)，這種自激振動(dòng)現(xiàn)象稱為輸電線舞 動(dòng)

4、。其舞動(dòng)幅度可達(dá)一二米，輕者會(huì)造成金具損壞和斷線，嚴(yán)重的會(huì)發(fā)生線路倒塔事 故，因此對(duì)于輸電線舞動(dòng)的模型建立和分析是有很大必要的。輸電導(dǎo)線舞動(dòng)通常發(fā)生在冬季導(dǎo)線覆冰而形成非圓斷面的情況下，舞動(dòng)的形成取決于三方面的因素，即覆冰、 風(fēng)激勵(lì)和線路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，由于這些參數(shù)的千變?nèi)f化，因此在實(shí)際工程中所發(fā)生的 舞動(dòng)是非常復(fù)雜的。因此本文主要在穩(wěn)定的風(fēng)激勵(lì)下建立數(shù)學(xué)模型，研究分析振動(dòng)方程解得穩(wěn)定性及各項(xiàng)參數(shù)對(duì)振動(dòng)的影響。2.數(shù)學(xué)模型的建立圖1.輸電線的受力圖截取一小段電線為集中質(zhì)量，如圖1所示，以無振動(dòng)時(shí)線段的質(zhì)心平衡位置0為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系(Oxy)，質(zhì)心C的垂直坐標(biāo)為y。由于輸電線的圓形斷面被冰層 覆

5、蓋成為非圓形的不規(guī)則形狀，因此形成攻角為a傾斜速度分量，即速度u與水平軸 x的夾角為a-，當(dāng)風(fēng)速為u的水平陣風(fēng)吹來時(shí)，其相對(duì)輸電線的相對(duì)速度u為：u=0_yj(2.1)其中j為y軸的單位矢量。因此陣風(fēng)不僅對(duì)電線產(chǎn)生沿u方向的阻力，同時(shí)產(chǎn)生于uFl 二 Cj垂直的升力Fl。根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，阻力與升力的變化規(guī)律為：(2.2)其中p為空氣密度、I為斷面的特征長(zhǎng)度、Cd，CL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)。小攻角時(shí)空氣動(dòng)力沿y軸的垂直分量Fy近似為：2Fy = Fl Fd a 二 Cyl 于(2.3)其中CyCd a(2.4)Cy隨攻角a變化的非線性規(guī)律如圖2所示圖2.空氣動(dòng)力系數(shù)與攻角關(guān)系曲線由

6、此可得Fy隨a的變化可近似三次多項(xiàng)式:Fy = a a b a(2.5)設(shè)m為線段的質(zhì)量，線段兩端拉力合成的彈性恢復(fù)力的剛度系數(shù)為 表示，其中的攻角以式:=-代入，導(dǎo)出輸電線段在風(fēng)力作用下沿v方程為瑞利方程：2 2y - M - ey ）=0k,風(fēng)力Fy以式y(tǒng)軸運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)（2.6）將上式的各項(xiàng)對(duì)t求導(dǎo)，將y作為新的變量仍記為y，參數(shù)33以e代替，化為范德波爾方程:其中a. 3b，心=2 ，m oa o（；0,、 0）(2.7)(2.8)3.定性分析范德波爾方程為二階非線性微分方程，令y=xi，y=X2，將（2.7）式化為一階方程組形式如下:(3.1)令上式右邊等于0可求得方程的奇點(diǎn)為（0,0

7、），方程在奇點(diǎn)處的雅克比矩陣為:0 1 Jp,0）=2 1 1一 305令特征多項(xiàng)式為0,即I二-1、2入E - A | =2=入I 3 0入_5丿可求得特征值(3.2)(3.3)(3.4),22因此可知：當(dāng)&茲0時(shí)，奇點(diǎn)(0,0)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),& V2o)時(shí)，奇點(diǎn)(0,0)是不穩(wěn)定 焦點(diǎn)。根據(jù)龐加萊-本迪克生定理做出的推論可得，此平面自治自治系統(tǒng)內(nèi)存在穩(wěn)定 的極限環(huán)。取系統(tǒng)參數(shù)0 =1，如圖所示為系統(tǒng)分別在；=1、； =5和：=1、： =4以及任 意初始條件下的輸電線舞動(dòng)相圖。、=1 ; = 5、二 1 ; = 5- = 4 ； =1=4 ； = 16圖3.不同& S值及任意初始條件下的系統(tǒng)

8、運(yùn)動(dòng)相圖該極S在適由圖分析可得在任意的初始擾動(dòng)下都使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)逐漸趨于一個(gè)極限環(huán)上， 限環(huán)始終存在并且穩(wěn)定，輸電線舞動(dòng)的最大幅值由S決定，因此只要控制參數(shù) 當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)便可有效減小舞動(dòng)振幅。4. 定量分析利用KBM法求解方程的二次近似解如下：由y -y) 務(wù)=o可得f (x,x)二 y(1 - y2) , = -2 yy ,ex將y二acos-：代入上式整理得fo(a)一a(1)sina3sin 3再將(3.2 )式代入方程-2fx(a ) = a2si i2fx(a,- ) =1 - acoWyj = fo(a) 2 oAiSin-2 oaB coS-朗2 Y|2A _ai -i 4力r-2

9、0. x2 xi)=sin 屮 +2aBiCOS屮 +%si n 護(hù)4(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)消除久期項(xiàng)ada2U)，B1 = 0解得(3.7)將（3.3 ）、（ 3.4 ）、（ 3.7 ）式代入gm （Aicos已心宀驚沁-2小丁(3.8)再將（3.8 ）式代入-2yKF y2)l(a)2oA2sn 2oaB2cos(3.9)：2、，-y2Y22A2Si n* 2aB2 號(hào)(8-舊2_4右 2a4) Cos消除久期項(xiàng)：-2a3(：a28)1285cos3a5 cos 5128(3.10)A2 =0 ,B21272 48(_a32； a)解得y25a5307

10、2cos5、.2a3(、a28)1024cos3(3.11)于是方程的二次近似解為yacos -一si n3-32；2a3(a2 8)cos38 024 IL(3.12)w f2 (3.13)-名aaa = 一 1 -一2 i 4丿對(duì)上式進(jìn)行整理積分后得到al昇(3.14)設(shè)振幅保持穩(wěn)態(tài)值a。且ao=O,則當(dāng)t 時(shí) lim a 二由(3.14 )式可知，給任意ao(a=O)的值都使a隨時(shí)間的增大而逐漸趨向于 個(gè)極限值2/，這進(jìn)一步說明了定性分析中極限環(huán)的結(jié)論，即極限環(huán)是存在并穩(wěn)定 的。輸電線的舞動(dòng)幅度與空氣流速、系統(tǒng)阻尼和質(zhì)量等諸因素有關(guān)，其中空氣流速 0 高，將會(huì)助長(zhǎng)舞動(dòng)的振幅值增大，這是最直接最劇烈的因素；阻尼系數(shù)的增大有利于 抑制舞動(dòng)的振幅，因此在輸電線上安裝各種類型的阻尼器以增強(qiáng)阻尼作用可消除舞動(dòng) 現(xiàn)象；適當(dāng)增大系統(tǒng)的質(zhì)量，也會(huì)抑制舞動(dòng)幅度增大，故在實(shí)際應(yīng)用中，采用集中防 震錘來抑制舞動(dòng)。5. 結(jié)論本文所做工作如下：把輸電導(dǎo)線的橫向馳振模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，代換參數(shù)化簡(jiǎn)變形，使之成為更簡(jiǎn)潔更易分析的范德波爾方程。然后通過定性分析地討論，獲知奇點(diǎn)類型、 極限環(huán)存在穩(wěn)定性及周期解的穩(wěn)定性等問題。 通過定量分析，解出數(shù)值解，分析各參 數(shù)對(duì)振動(dòng)的影響。本文模型中分析了輸電線舞動(dòng)中的垂向振動(dòng)，這種振動(dòng)可產(chǎn)生大振幅而造成事故，屬于自激振動(dòng)范疇。但是在一些實(shí)例中，輸電線的舞動(dòng)為垂向、橫向