超幾何分布與二項分布

1、10超幾何分布與二項分布選擇題（共9小題）1. （2004?遼寧）已知隨機變量E的概率分布如下，則p（ e=io）=（E123456789P222_2_2_22fl2132A3533smB.-310C.-39D.2. （2011?黃岡模擬）隨機變量 E的概率分布規(guī)律為 則今）的值為（）B. 13(n=1、2、3、4、D . ：），其中a是常數(shù),3. （2008?石景山區(qū)一模）已知隨機變量 E的分布列為且設(shè) n=2 +1，貝U n的期望值是（）01p121613A. 1B .型C. 2D. _JL364.設(shè)隨機變量 X的概率分布為P （X=k ）=m(k=1, 2, 3, 4, 5),則P=(乍

2、(k+1)JA .3B .2C . 1D .叵105215.電子手表廠生產(chǎn)某批電子手表正品率為上，次品率為r現(xiàn)對該批電子手表進(jìn)行測試，設(shè)第X次首次測到正品,則 P ( 1X 013)等于()A .1- (i) 2012B .L-丄）2013C . L-丄)2012D .1- (lj 201344446. （2010?江西）一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為 P1和P2.則（ ）A. P仁 P2B . P1V P2C .

3、 P1 P2D .以上三種情況都有可能A .丄B C _D _16243243243&（ 2012?衡陽模擬）已知隨機變量嚴(yán)N （0, a2）,且p （ 4 1） =p （ M a-3）的值為（）A. 2B . - 2C . 0D . 19. 設(shè)隨機變量 匕N （0, 1），若P （ E翱=p,則P （- 1 v M 0）=（）A. 1 PB . PC 丄+pD 丄p二填空題（共5小題）10. （2010?上海模擬）在10件產(chǎn)品中有2件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是 .11有一批產(chǎn)品，其中有 6件正品和4件次品，從中任取 3件，至少有2件次品的概率為 .12. （2010?

4、棗莊模擬）設(shè)隨機變量XB （n，0.5），且DX=2，則事件X=1 ”的概率為（作數(shù)字作答.）13. 若隨機變量 X服從二項分布，且 XB （10，0.8 ），貝U EX、DX分別是，.14. （2011?浙江）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為丄，得到乙、丙公司面試的概率均為P，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業(yè)生3得到面試的公司個數(shù).若P （X=0 ）=，則隨機變量 X的數(shù)學(xué)期望E （ X）=.12 三.解答題（共3小題）15. （2009?朝陽區(qū)二模）在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有n

5、（ 2韋，且n希）個，其余的球為紅球.（I ）若n=5，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；（H ）從袋里任意取出 2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是，求紅球的個數(shù)；|15|（川）在（n）的條件下，從袋里任意取出2個球.若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分.用E表示取出的2個球所得分?jǐn)?shù)的和，寫出E的分布列，并求 E的數(shù)學(xué)期望EE16 某批產(chǎn)品共10件，已知從該批產(chǎn)品中任取 1件，則取到的是次品的概率為P=0.2 若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，(1) 求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率；(2) 求取出的3件產(chǎn)品中次品的件

6、數(shù) X的概率分布列與期望.17. (2006?崇文區(qū)一模)某足球賽事中甲乙兩只球隊進(jìn)入決賽，但乙隊明顯處于弱勢，乙隊為爭取勝利，決定采取 這樣的戰(zhàn)術(shù)：頑強防守，0：0逼平甲隊進(jìn)入點球大戰(zhàn)假設(shè)在點球大戰(zhàn)中雙方每名運動員進(jìn)球概率均為令現(xiàn)規(guī)定: 點球大戰(zhàn)中每隊各出 5名隊員，且每名隊員都各踢一球，求：(I) 乙隊以4: 3點球取勝的概率有多大？(II) 設(shè)點球中乙隊得分為隨機變量三求乙隊在五個點球中得分E的概率分布和數(shù)學(xué)期望.4選擇題（共9小題）1. （2004?遼寧）已知隨機變量參考答案與試題解析E的概率分布如下，則p（ e=io）=（22222223233353s3s3s236895710mB.

7、-310c .-39D.考點：離散型隨機變量及其分布列. 專題：計算題.分析：分析：由題意知，本題需要先計算出其它的概率之和，根據(jù)表格可以看出公比是丄的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，得到答案.3解答：解：由題意知，本題需要先計算出其它的概率之和，9個變量對應(yīng)的概率組成一個首項是|根據(jù)表格可以看出9個變量對應(yīng)的概率組成一個首項是三公比是亍的等比數(shù)列,33/ S+m=1 ,故選C.在一個試驗中所有的變量的概率之和是1,本題又考查等比數(shù)列2. （2011?黃岡模擬）隨機變量 則p& |）的值為（點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的性質(zhì), 的和，是一個綜合題.），其中a是常數(shù),E的概率分布規(guī)律為

8、-t 1:-（n=1、2、3、4、）2B. 1C. 5D. 2939考點：離散型隨機變量及其分布列；互斥事件的概率加法公式.專題：計算題.分析：估計所給的隨機變量的分布列的特點，利用無窮等比遞縮數(shù)列的各項之和寫出所有的變量的概率之和，使 它等于1，求出a的值，利用互斥事件的概率公式寫出結(jié)果.解答：解：隨機變量E的概率分布規(guī)律為（n=1、2、3、4、），=-2.- = 2329 gr=2 +1，貝y n的期望值是(C.:考點： 分析：離散型隨機變量及其分布列.由題目中所給的變量的分布列得到變量 求出結(jié)果.E的期望,根據(jù)r=2+1關(guān)系，得到兩個變量的關(guān)系， 代入E的期望,解答:解：由表格得到 ee

9、=-3E n=E (2 E 1) =2E + 1=2 X(-g) +仁三點評:623,故選C.本題考查有一定關(guān)系的兩個變量之間的期望之間的關(guān)系，本題也可以這樣來解，根據(jù)兩個變量之間的關(guān)系 寫出n的分布列，再由分布列求出期望.4.設(shè)隨機變量 X的概率分布為P (X=k )m(k=1, 2, 3, 4, 5),則P魯噸)k Ck+1)A.3B. 2C. 1D 國10521=( )考點： 專題： 分析：離散型隨機變量及其分布列. 概率與統(tǒng)計.由題意可得 P( X=1 ) +P (X=2 )+P(X=3 )+P( X=4 )+P( X=5 )=1，求出 m 的值，再根據(jù) P (-X 丄)=P解答:(X

10、=2 ) +P (X=3 ),進(jìn)而求出答案. 解：因為所有事件發(fā)生的概率之和為 即P所以1,(X=1 ) +P (X=2 ) +P (X=3 ) +P ( X=4 ) +P (X=5 ) =1 ,)=1，即 m (1 廠)=16所以m=231-23ala=,=1,2 PX號)=P ( =) +P ( =2)故選C.點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，是一個綜合題目，在解題時一定要注意所有的變量的概率之和 的求法，注意應(yīng)用分布列的性質(zhì).3. (2008?石景山區(qū)一模)已知隨機變量E的分布列為且設(shè)_101p121613A. 1考點：二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型；等可能事件的概率.專題：

11、計算題；壓軸題.分析：每箱中抽到劣幣的可能性都相等，故可用獨立重復(fù)試驗求解，又因為事件發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣”的對立事件是沒有劣幣”概率好求.方法一概率為1 - 0.9910；方法二概率為1-(坐)5,做差比較大小即可.解答：解：方案一：此方案下，每箱中的劣幣被選中的概率為-，沒有發(fā)現(xiàn)劣幣的概率是0.99，故至少發(fā)現(xiàn)一枚100劣幣的總概率為1 - 0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣幣被選中的概率為，總事件的概率為1 -()5,|50|5q作差得P1 P2=()5-0.9910,由計算器算得 P1 P2V 05C1 P1 V P2.故選B點評：本題考查獨立重復(fù)試驗的概率和對立事件的概率冋題，以及

12、利用概率知識解決冋題的能力.所以 P (X=k ) =|( k=1 , 2, 3, 4, 5),5k (k+1)則 P丄丈妄；上)=P (X=2 ) +P (X=3 ) = + =2 .225X2X3 5X3X4 10故選A.點評：解決此類問題的關(guān)鍵是掌握所有事件發(fā)生的概率之和為1，進(jìn)而求出隨機變量的分布列即可得到答案.5電子手表廠生產(chǎn)某批電子手表正品率為，次品率為一，現(xiàn)對該批電子手表進(jìn)行測試，設(shè)第X次首次測到正品,4則 P ( 1X 013)等于(A.考點： 專題： 分析： 解答:超幾何分布.概率與統(tǒng)計.先求出P (X=0 ),即第0次首次測到正品，即全是次品的概率，從而可得結(jié)論.解：由題意

13、,p (x=o) =(2)2皿412013 P (1 議 P2在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至B . P1 V P2D .以上三種情況都有可能7. (2011?濰坊二模)設(shè)X為隨機變量，XB1),若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX-2 ,則 P( X=2 )等于()A. 13B .4C. 13D. I 3016243243243考點：二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型.專題：概率與統(tǒng)計.分析：根據(jù)X為隨機變量，XB (口，1)和求服從二項分布的變量的期望值公式，代入公式得到n的值，再根3據(jù)二項分布概率公式得到結(jié)果.解答：解：隨機變量X為隨機變量，XB (m 士)，其期望 EX=np=Zn

14、=2, n=6 , P (X=2) _C舟1 ) 2 (I-】)攻_ % .(丿 J廠 33|243故選D.點評：本題主要考查分布列和期望的簡單應(yīng)用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個相反的 過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式.8 (2012?衡陽模擬)已知隨機變量嚴(yán)N (0, a2),且p ( A 1) =p ( M a-3)的值為()A. 2B . - 2C . 0D . 1考點：二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型.專題：計算題；概率與統(tǒng)計.分析：利用正態(tài)曲線的對稱性，可得曲線的對稱軸是直線x=0 ,由此可得結(jié)論.解答：解：由題意，嚴(yán)N (0, a2), 曲線的對稱軸是直

15、線 x=0 , p ( A 1) =p ( Ma- 3)- a 3+1=0a=2故選A.點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，主要考查正態(tài)曲線的對稱性，是一個基礎(chǔ)題.9設(shè)隨機變量A. 1 p孑N (0, 1)，若 P ( E翱=p,則 P ( 1 v M0)=(D .才PB. pC. 1考點：二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型.專題：概率與統(tǒng)計.分析：隨機變量E服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N (0, 1),知正態(tài)曲線關(guān)于 x=0對稱，根據(jù)P ( =p，得到P (1 A 0) = p，再根據(jù)對稱性寫出要求概率.解答：解： 隨機變量E服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0, 1),正態(tài)曲線關(guān)于x=0對稱, P

16、 ( U) =p, P (1 0)=丄p,1v M 0)故選D.點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題的主要依據(jù)是曲線的對稱性，這種問題可以出現(xiàn) 在選擇或填空中.二填空題(共5小題)10. (2010?上海模擬)在10件產(chǎn)品中有2件次品，任意抽取 3件，則抽到次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是考點：超幾何分布；離散型隨機變量的期望與方差.專題：計算題.分析：設(shè)抽到次品個數(shù)為 E貝UH ( 3 , 2 , 10),利用公式e2，即可求得抽到次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值.N解答：解：設(shè)抽到次品個數(shù)為 E,則H (3 , 2 , 10) EjnM 5X2 3 10 5故答案為：上點評：本題考查離散

17、型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是確定抽到次品個數(shù)服從超幾何分布，從而利用相應(yīng)的 期望公式求解.11 有一批產(chǎn)品，其中有 6件正品和4件次品，從中任取 3件，至少有2件次品的概率為 二考點：超幾何分布.專題：概率與統(tǒng)計.分析：從10件產(chǎn)品任取3件的取法共有c，其中所取的三件中 至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取 法分別為.利用互斥事件的概率計算公式和古典概型的概率計算公式即可得出.解答：解：從10件產(chǎn)品任取3件的取法共有匚補，其中所取的三件中 至少有2件次品”包括2件次品、3件次品,10取法分別為因此所求的概率 P=故答案為丄.3點評:本題考查了互斥事件的概率計算公式和古典概型的概率計

18、算公式，屬于基礎(chǔ)題.12. (2010?棗莊模擬)設(shè)隨機變量 XB (n, 0.5),且DX=2，則事件X=1 ”的概率為二一(作數(shù)字作答.) 考點：二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型.專題：計算題.分析：由隨機變量XB (n, 0.5),且DX=2，知n 0.5 X( 1 - 0.5) =2，解得n=8.再由二項分布公式能夠?qū)С鍪?件X=1”的概率.解答： 解：隨機變量XB (n, 0.5),且DX=2 , nX0.5( 1 - 0.5) =2, n=8. p (x=1) =c；x 0.5X (1-0.5) 1.故答案為：_32點評： 本題考查二項分布的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意二項分布方差公式

19、D手np (1 - p)的靈活運用.13 .若隨機變量 X服從二項分布，且 XB (10, 0.8),則EX、DX分別是 8,1.6.考點：二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型.專題：計算題.分析：根據(jù)隨機變量符合二項分布，根據(jù)二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關(guān) 于n和p的方程組，解方程組得到要求的兩個未知量，做出概率.解答： 解：/ X服從二項分布 XB (n10, 0.8)由 E e=10X).8=8 ,D 手仁np (1 - p) 10X0.8X0.2=1.6 ,故答案為8; 1.6點評：本題主要考查分布列和期望的簡單應(yīng)用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的

20、期望是一個相反的 過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式.14. (2011?浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公X為該畢業(yè)生司面試的概率為丄，得到乙、丙公司面試的概率均為P,且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記得到面試的公司個數(shù).若P (X=0 )=12，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E ( X)=上考點： 專題： 分析：解答:離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列.計算題.根據(jù)該畢業(yè)生得到面試的機會為o時的概率，做出得到乙、丙公司面試的概率，根據(jù)題意得到值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出概率和做出期望.解：由題意知 X為該畢業(yè)生得到面試

21、的公司個數(shù)，則X的可能取值是0, 1 , 2, 3,1，2 1P，/ P (X=0 )護(hù)-卩):P=，X的可能取點評:一二一X2X2=12耳下22 325一二二.二=丄二丄一 -亠二丄=322 312 12 12 12?459=-53本題考查離散型隨機變量的分布列和離散型隨機變量的期望，考查生活中常見的一種題目背景，是 礎(chǔ)題目.(x=1 )(X=2 )(X=3)故答案為:=12 12個基三.解答題(共3小題)15. （2009?朝陽區(qū)二模）在袋子中裝有 10個大小相同的小球，其中黑球有 3個，白球有n （ 2韋，且n希）個， 其余的球為紅球.（I）若n=5,從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連

22、續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；（H）從袋里任意取出 2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是，求紅球的個數(shù)；15（川）在（n）的條件下，從袋里任意取出2個球.若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分.用E表示取出的2個球所得分?jǐn)?shù)的和，寫出E的分布列，并求 E的數(shù)學(xué)期望EE.考點： 專題： 分析：超幾何分布；n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生 k次的概率；離散型隨機變量的期望與方差.綜合題.（I ）先求出從袋中任取 1個球是紅球的概率，再利用獨立事件的概率公式可求三次取球中恰有2個紅球的概率；（n ）根據(jù)從袋中一次任取 2個球，如果這2個球顏色相同的概率是 -生建立等式

23、關(guān)系，求出n的值，從而 15求出紅球的個數(shù).（川）E的取值為2, 3, 4, 5, 6，然后分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式解之 即可；解答:解：（I ）設(shè)從袋中任取1個球是紅球”為事件A，則二$ i丄.所以,p3 二 c”2 4125 125答：三次取球中恰有 2個紅球的概率為12（4分）125（n）設(shè)從袋里任意取出2個球，球的顏色相同”為事件B,7?7P 二5+J+Ctf如+（6 口）90C 2 u 10整理得：n2- 7n +12=0,解得n=3 （舍）或n=4.所以，紅球的個數(shù)為 3個.- （8分）15（川）E的取值為2, 3, 4, 5, 6，且P 二2）rlr

24、l10所以所以,C1DE的分布列為2215611551QA1111 Q吐曲磊十弼尋十4購十5電E尋老.（13分）2點評:本題以摸球為素材，主要考查相互獨立事件的概率的求法，考查了離散型隨機變量的期望與分布列，解題 的關(guān)鍵是正確利用公式求概率.16某批產(chǎn)品共10件，已知從該批產(chǎn)品中任取1件，則取到的是次品的概率為P=0.2 若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件（1）求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率；（2） 求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù) X的概率分布列與期望.考點： 專題： 分析：超幾何分布；離散型隨機變量的期望與方差. 應(yīng)用題.設(shè)該批產(chǎn)品中次品有x件，由已知丄，可求次品的件數(shù)(1)設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為(2)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù) XQ 1匚 X , 3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為v10可能為0, 1, 2,求出相應(yīng)的概率，從而可得概率分布列與期望.715解答:解：設(shè)該批產(chǎn)品中次