矩陣作用下的圖形變換

1、矩陣作用下的圖形變換一節(jié)數(shù)字化數(shù)學(xué)活動課的設(shè)計 華師大第二附屬中學(xué) 王明玉上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 在 “學(xué)習(xí)內(nèi)容與要求” 中對開展數(shù)字化數(shù)學(xué) 活動(簡稱 DIMA 提出了要求,在“課程理念”中談到應(yīng)在現(xiàn)代信息技術(shù)的背 景下, 對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行必要的調(diào)整和更新, 同時進(jìn)行體系結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新, 加強(qiáng) 內(nèi)容與信息技術(shù)的整合; 大力拓寬數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的渠道, 促進(jìn)數(shù)字化學(xué)習(xí)的開展, 推 動學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變; 在 “設(shè)計思路” 中提及大力推進(jìn)基于現(xiàn)代信息技術(shù)的數(shù)字化 數(shù)學(xué)活動,建立以計算機(jī)、計算器為支撐、擁有智能軟件和豐富課件、連接信息 網(wǎng)絡(luò)的 DIMA 平臺。利用 DIMA 平臺,改善數(shù)學(xué)內(nèi)容的處理方式和呈現(xiàn)

2、方式, 讓學(xué)生在計算機(jī)(器環(huán)境下自主學(xué)習(xí),進(jìn)行試驗(yàn)、探索和研究,完善學(xué)生的學(xué) 習(xí)方式。在“課程實(shí)施”中指出應(yīng)充分利用數(shù)字化課程資源和信息化環(huán)境,構(gòu)建 數(shù)字化數(shù)學(xué)活動軟件庫。 可見, 在二期課改實(shí)施過程中, 將課程與信息技術(shù)整合, 設(shè)計數(shù)字化數(shù)學(xué)活動,是每一位教師要面對和研究的問題。數(shù)字化數(shù)學(xué)活動的設(shè)計應(yīng)以課程內(nèi)容為主,是為解決課程內(nèi)容的難點(diǎn)服務(wù), 有利于知識的呈現(xiàn),有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)與討論。在拓展型課程教材 (高二年級中設(shè)計了一個研究課題平面圖形的 矩陣變換。 這個課題可以讓初學(xué)矩陣的學(xué)生感到矩陣并非遙不可及, 除了用于解 方程組, 有些作用也是高中生可以研究的。 同時, 在研究過程中與坐標(biāo)系的

3、平移 變換和旋轉(zhuǎn)變換作對比更能深刻理解點(diǎn)變換與坐標(biāo)變換之間辯證統(tǒng)一的關(guān)系。 為了研究通過矩陣作用后圖像是如何變化的, 需要做出變化后的新圖像, 以 便觀察探索。但在研究時避免不了要計算點(diǎn)的坐標(biāo),這個過程繁雜、枯燥,只是 不斷重復(fù)的運(yùn)算, 算好新的點(diǎn)的坐標(biāo)有許多數(shù)字標(biāo)在坐標(biāo)系上并不方便, 既耗時 又容易打擊學(xué)生探究的積極性。 做圖不是課題的重點(diǎn), 卻要耗費(fèi)大量的時間, 實(shí) 在是浪費(fèi), 如果能夠利用計算器, 將這個過程代勞, 比將提高研究的效果和效率。 考慮到這些, 我們覺得可以利用圖形計算器結(jié)合相關(guān)內(nèi)容設(shè)計一個數(shù)字化數(shù)學(xué)活 動。下面談?wù)劸唧w的設(shè)計想法。一、標(biāo)題設(shè)計本次活動的標(biāo)題為“學(xué)習(xí)主題:平面

4、圖形的矩陣變換” ?！皩W(xué)習(xí)” 兩字體現(xiàn)了數(shù)字化數(shù)學(xué)活動的設(shè)計要為學(xué)生的學(xué)服務(wù), 仍要堅持以 學(xué)生為主體, 為學(xué)生提供動手、 動口、 動腦的時間和空間, 安排學(xué)生提問、 質(zhì)疑、 討論、交流、反思、總結(jié),促進(jìn)學(xué)生主動發(fā)展。 “平面圖形的矩陣變換”提示了 活動設(shè)計的內(nèi)容。二、目標(biāo)設(shè)計本次活動的目標(biāo)設(shè)計如下:1.知識與技能:1了解圖形變換和坐標(biāo)變換之間的關(guān)系;2掌握矩陣作用下平面圖形的旋轉(zhuǎn)變換和軸對稱變換;3掌握與學(xué)習(xí)主題相關(guān)的圖形計算器的操作技能。 2.過程與方法:1體會化歸和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法;2經(jīng)歷探究問題,解決問題以及交流合作的過程。3.情感態(tài)度與價值觀:在互相幫助,合作探索中體驗(yàn)探究

5、的樂趣和成功的 自豪。數(shù)字化數(shù)學(xué)活動是教學(xué)活動的一種形式, 在知識與技能、 過程與方法、 情感 態(tài)度價值觀方面也需有預(yù)期的目的, 在設(shè)計目標(biāo)時應(yīng)結(jié)合數(shù)字化活動的特點(diǎn)來進(jìn) 行。本次活動除了對知識方面有要求,由于有圖形計算器作為活動的輔助工具, 相關(guān)的操作技能是不可以忽視的。 否則, 必定會影響研究的進(jìn)程和效果。 在研究 的過程中, 活動的平臺特別有利于學(xué)生的交流討論, 所以組織學(xué)生作有效的交流 也是目標(biāo)之一, 有效的交流是有效研究的保證。 活動的形式在情感態(tài)度價值觀方 面會產(chǎn)生多方面的輻射效應(yīng)。 除了在知識技能上能集合更多的思維, 融匯更廣的 知識外,在思維方式、觀察能力、個性發(fā)展、學(xué)習(xí)習(xí)慣、人

6、際交往等方面都會有 所影響, 讓學(xué)生在研究學(xué)術(shù)問題時, 情感態(tài)度價值觀上也能健康的發(fā)展, 不僅僅 滿足學(xué)習(xí)知識的要求、 符合學(xué)科德育的潮流, 更重要的是讓學(xué)生學(xué)會為人、 處事、 創(chuàng)新、貢獻(xiàn)。因此我們在設(shè)計活動,組織學(xué)生參與活動時希望達(dá)到哪些目標(biāo),結(jié) 合活動的內(nèi)容和特點(diǎn),精心設(shè)計。三、重點(diǎn)難點(diǎn)設(shè)計本次活動的重點(diǎn)難點(diǎn)設(shè)計如下:學(xué)習(xí)重點(diǎn):1.平面圖形的旋轉(zhuǎn)變換矩陣;2.平面圖形的軸對稱變換矩陣。學(xué)習(xí)難點(diǎn):平面圖形的軸對稱變換矩陣的探求數(shù)字化數(shù)學(xué)活動的目的是為了讓學(xué)生更好的學(xué)習(xí)知識, 所以活動本身應(yīng)該是 容易參與的, 學(xué)生樂于參與的, 并且有助于對知識的理解。 由于數(shù)字化數(shù)學(xué)活動 往往與計算機(jī)或計算器

7、相聯(lián)系, 所以學(xué)習(xí)一些操作技能是不可避免的, 但操作要 求不應(yīng)很難很復(fù)雜,如果操作的難度比知識本身的難度要高,那就本末倒置了, 這樣的活動是失敗的,所以數(shù)字化數(shù)學(xué)活動重點(diǎn)難點(diǎn)的設(shè)計應(yīng)有學(xué)科知識來決 定。四、過程設(shè)計為引導(dǎo)學(xué)生有目的、 有次序的研究宣轉(zhuǎn)變換和軸對稱變換, 本次活動在做好 活動準(zhǔn)備的基礎(chǔ)上, 以問題為驅(qū)動, 利用 TI83-plus 圖形計算器, 組織學(xué)生通過 交流討論來理解掌握問題的關(guān)鍵。1.活動準(zhǔn)備1知識準(zhǔn)備:學(xué)生需要了解平面上的圖形是由點(diǎn)組成的,而在給定的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)與坐標(biāo) , (y x 一一對應(yīng)。如果改變圖形上點(diǎn)的坐標(biāo),那么圖形的形狀、大小和位置也會發(fā)生相應(yīng)的改變。

8、在改變的過程中何為變換矩陣,何為點(diǎn)的像,何為圖形的像。2計算器準(zhǔn)備:在研究變換時需要一些簡單的圖形,教材選擇依次連接一些點(diǎn)構(gòu)成的圖形作為未來變換的對象。我們可以選擇教材中的圖形,老師也可給一些圖形,但如果能夠讓學(xué)生自己設(shè)計一些點(diǎn),體會依次連接形成圖形的過程,不僅可以鼓勵學(xué)生探究,加強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn),對理解圖形、點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系更感性,更深刻。為了實(shí)現(xiàn)這個目的,設(shè)計程序 SAVEA 實(shí)現(xiàn)將選擇點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣(不妨稱為圖形矩陣輸入計算器, 由圖形計算器順次連接這些點(diǎn)并呈現(xiàn)最后形成的圖形。若圖形矩陣為 5. 15. 025. 1145. 4642, 將矩陣數(shù)據(jù)輸入圖形計算器矩陣 A 中,運(yùn)行程序

9、 SA VEA ,觀察圖形,如圖 1: 圖 1按 r 鍵結(jié)合 |可觀察到矩陣 A 中記錄的各點(diǎn)的坐標(biāo), 如圖 2圖 5: 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5除了程序 SA VEA 外, 為了輸入變換矩陣變程 INPUTC , 為了觀 察經(jīng)過矩陣作用后圖形的像編程 DRAW 。 3學(xué)生準(zhǔn)備:利用圖形計算器設(shè)計一些圖形,以下是一些學(xué)生的設(shè)計: 在這個活動中明顯感覺到學(xué)生的態(tài)度, 也可觀察到學(xué)生的個性, 總的來講學(xué) 生的參與度是不錯的, 特別是有些平時數(shù)學(xué)成績不好, 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中少有成功體 驗(yàn)的學(xué)生, 在設(shè)計的過程中體驗(yàn)到了參與研究的快樂。 當(dāng)然, 也會發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生 對此興趣不大, 覺得沒有難度, 數(shù)學(xué)

10、味道不濃, 也讓老師感到再設(shè)計書記化數(shù)學(xué) 活動時一定要注意數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性,這種活動不同于游戲、娛樂。2.問題設(shè)計問題一:畫下列圖形還有其他方法嗎? 這兩張圖從學(xué)生的作品中選出, 讓設(shè)計的同學(xué)很有榮譽(yù)感, 并且來源于活動 過程的問題更能讓學(xué)生體會到問題的實(shí)際性, 有問題一引發(fā)學(xué)生思考如何結(jié)合圖 形的特征做圖,引出研究的主題:旋轉(zhuǎn)變換和軸對稱變換。問題二:點(diǎn) , (y x p 繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 角后的點(diǎn)為 ' , ' (' y x p ,如何用點(diǎn) p 的坐標(biāo) 表示 ' p 的坐標(biāo)?學(xué)生討論:由于學(xué)生已掌握坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)公式 =y x y x cos sin sin cos

11、 ' ' ,所以部分學(xué) 生認(rèn)為這就是用點(diǎn) p 的坐標(biāo)表示 ' p 的坐標(biāo)的結(jié)果,或者 +=+=cos sin ' sin cos ' y x y y x x 。而有的學(xué)生認(rèn)為這是坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)公式, 與點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)不一樣。 還有的學(xué)生提出坐 標(biāo)系旋轉(zhuǎn)和圖形的旋轉(zhuǎn)是一種相對運(yùn)動,圖形上的點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 角,相當(dāng)于坐標(biāo)系旋 轉(zhuǎn) 角 , 因 此 , 用 點(diǎn) p 的 坐 標(biāo) 表 示 ' p 的 坐 標(biāo) 的 結(jié) 果 應(yīng) 該 是 =y x y x cos sin sin cos ' ' 。 教師組織:老師可以建議學(xué)生選擇一個角度, 利用計算器觀察一下結(jié)果,

12、 判斷一下上述 說法的正確性如何,或者是否還有新的看法。學(xué)生活動: 1.不妨取 4=選擇一個圖形(如圖6開始研究。 圖 62.觀察說法一的結(jié)果。運(yùn)行程序 INPUTC 將變換矩陣 4cos 4sin 4sin 4cos 輸入 圖形計算器。運(yùn)行 DRAW 顯示結(jié)果,如圖 7。 可以發(fā)現(xiàn)圖像旋轉(zhuǎn)了 4。再看說法三的結(jié)果。運(yùn)行程序 INPUTC 將變換矩陣 4cos 4sin 4sin 4cos 輸入圖形計算器。運(yùn) 行 DRAW 顯示結(jié)果,如圖 8。事實(shí)上說法三的依據(jù)是科學(xué)的,而且這點(diǎn)學(xué)生比較 容易接受, 通過圖形計算器輔助觀察, 就更形象的感受到點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的關(guān)系。 圖 7 圖 8 在學(xué)生初

13、步認(rèn)識點(diǎn)的變化與坐標(biāo)系的變化之間的關(guān)系后, 進(jìn)一步研究新的圖 形變換即旋轉(zhuǎn)變換。問題三:將點(diǎn) , (y x p 關(guān)于 y 軸實(shí)施對稱變換時,對應(yīng)的變換矩陣是什么? 學(xué)生討論:點(diǎn) , (y x p 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn) , (' y x p ,所以 x x =' , y y =' ,變換矩陣是 1001教師組織:請同學(xué)利用圖形計算器觀察一下結(jié)果是否如與其所料。 可以請學(xué)生上臺演示 給大家看。學(xué)生活動:輸入矩陣觀察結(jié)果,如圖9。 圖 9通過對這個問題的探究,學(xué)生初步體會實(shí)施軸對稱變換時變換矩陣的形式,可以進(jìn)一步讓學(xué)生思考如果對稱軸是 x 軸或者直線 x y =時變換矩陣的形

14、式,鞏 固理解。問題四:點(diǎn) , (y x p 關(guān)于直線 kx y =實(shí)施軸對稱變換時,變換矩陣是什么? 教師組織:這個問題是本節(jié)課的難點(diǎn), 教師可鼓勵學(xué)生討論, 多請些學(xué)生發(fā)表意見, 集 思廣益, 由于前面的活動, 矩陣與圖形的變換之間的關(guān)系學(xué)生已有一定理解, 在 通過集體的思、言、辯,以及邊想邊在圖形計算器上試驗(yàn),學(xué)生是可以解決的。 老師要組織好學(xué)生討論,點(diǎn)評好學(xué)生的想法,激發(fā)學(xué)生思考的熱情。學(xué)生活動:學(xué)生通過討論和試驗(yàn)?zāi)軌蛱岢鰩追N做法,歸納起來主要有兩種思路。方法一:直接探索點(diǎn) , (y x p 關(guān)于直線 kx y =實(shí)施軸對稱變換時變換矩陣的 形式。設(shè)點(diǎn) (x,y P 關(guān)于直線 kx y

15、 =的對稱點(diǎn) (x',y' P' ,則由 =+=+1'' 2' 2' k x x y y x x k y y 可得 +=+=y k k x k k y y k k x k k x 2222221112' 1211' ,所以變化矩陣 +=22222211121211C k k k k k k k k 方法二:通過合理的化歸, 將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題來解決。 利用特 殊的軸對稱變換結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換探求所求的變換矩陣1特殊的軸對稱變換A.對稱軸為 y 軸時 =1001C B.對稱軸為 x 軸時 =1001C C.對稱軸為直線

16、x y =時 =0110C 2以對稱軸是直線 x y =為例,結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換探求變換矩陣 C(1 將圖形和對稱軸逆時針旋轉(zhuǎn) 6, 變換矩陣 =6cos 6sin 6sin 6cos 1C , 如圖 10,此時對稱軸與 y 軸重合; (2將圖形關(guān)于 y 軸作對稱,變換矩陣 =10012C ,如圖 11; (3將圖形和對稱軸順時針旋轉(zhuǎn) 6,變換矩陣 = 6cos(- 6sin(- 6sin(-6cos(-3C , 如圖 12,此時對稱軸回到初始位置。注:結(jié)合上述分析,我們只需變換圖形即可 圖 10 圖 11 圖 12 綜上所述,本例的變換矩陣 =3cos 3sin 3sin 3cos 123C C

17、C C 問題五:(課后探究 1. 點(diǎn) , (y x p 關(guān)于直線 b kx y +=實(shí)施軸對稱變換時,變換矩陣是什么? 2. 經(jīng)過矩陣對點(diǎn)的變換,圖像還會發(fā)生哪些變化?這個問題是在課堂討論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步一般化, 該問題的設(shè)計是為了讓學(xué)生 課后可以繼續(xù)研究, 也引導(dǎo)學(xué)生思考自己還可以提哪些問題。 課堂上知道是什么, 為什么,課后再想想還有什么。五、反思與體會1.數(shù)字化數(shù)學(xué)活動為學(xué)生的學(xué)提供更加直觀、個性化的探索空間。圖形的變換是很直觀、 生動的。 只是要表現(xiàn)這種生動受到計算的影響。 這里 利用計算機(jī)或者計算器能夠解決計算的問題, 提高了研究問題的效率。 在我們構(gòu) 建的平臺中, 學(xué)生的活動是有層次

18、的。 學(xué)生可以選擇個人嘗試, 進(jìn)而形成小組討 論。 每個學(xué)生自己的想法都可以在活動環(huán)境下來實(shí)行。 比如在研究軸對稱變換時, 方法一、 方法二中的變換思路在學(xué)生的探究過程中都有出現(xiàn), 學(xué)生可以嘗試自己 的想法,互相比較、探討。2.數(shù)字化數(shù)學(xué)活動是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情的一種有效手段。希爾伯特說過數(shù)學(xué)是制造快樂的游戲, 這種快樂不是舞臺上的, 也不是老師 示范后做出來的, 而是從學(xué)生健康的心里流淌出來的。 如果能用愉快的環(huán)境喚醒 學(xué)生的經(jīng)驗(yàn), 讓學(xué)生在愉快的心境中體驗(yàn), 在體驗(yàn)中領(lǐng)會知識, 是一件非常美妙 的事情。 心境愉快并不意味著問題簡單, 而在于身處探索的平臺上, 一個學(xué)習(xí)的 精靈能夠獲得積極解

19、決問題的體驗(yàn),成功固然是好的,失敗時也不會無從下手, 有再去嘗試的突破口和愿望。 搭建良好的有挑戰(zhàn)的數(shù)字化數(shù)學(xué)活動平臺, 鼓勵學(xué) 生利用它積極探索,是一種很好的形式。3.數(shù)字化數(shù)學(xué)活動的設(shè)計仍有待探索。數(shù)字化現(xiàn)在已經(jīng)是一個大家很熟悉的詞, 如數(shù)字化時代, 數(shù)字化城市, 數(shù)字 化學(xué)校,數(shù)字化課堂。數(shù)字化的主要依托是信息和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)?，F(xiàn)在,在上海這樣 一個國際化大都市, 創(chuàng)設(shè)一個數(shù)字化的課堂并非難事, 數(shù)字化數(shù)學(xué)活動是其中的 一種形式, 顧名思義, 在計算機(jī), 計算器的支持下它兼有數(shù)字化和數(shù)學(xué)活動兩大 主要特征。 矩陣作用下的圖形變化在數(shù)學(xué)活動方面特征比較明顯, 若想更豐富的 設(shè)計這節(jié)課,網(wǎng)絡(luò)是一個

20、很好的突破口。信息和網(wǎng)絡(luò)進(jìn)入課堂不只是形式豐富, 內(nèi)容多樣, 而是課堂的一個變革, 甚至說這也是一種課程體系或許也不夸張。 不 斷完善一個活動并不難, 而從數(shù)字化活動課堂到數(shù)字化活動課程到數(shù)字化活動課 程體系, 我們要探索的還很多。 活動課程的理論學(xué)習(xí), 老師們有沒有安排到學(xué)習(xí) 日程之內(nèi)。 活動課程的結(jié)構(gòu)是什么, 操作體系如何建立。 要形成一個數(shù)字化系統(tǒng) 的完善,在課程改革的過程中,我們能借鑒的不多,大部分要靠自己創(chuàng)新,從一 個活動,一節(jié)課,不斷探索。在數(shù)字化數(shù)學(xué)活動中,一次活動課,活動目的,活 動平臺, 交流方式, 反饋機(jī)制等等都是要考慮的。 在圖形變換這個課題的活動中, 我深深感到教學(xué)過程

21、的設(shè)計與以往是很不相同的, 更多地考慮為學(xué)生的活動搭建 一個合適的平臺, 思考如何為實(shí)現(xiàn)學(xué)生的知識體驗(yàn)服務(wù)。 在實(shí)施過程中, 由于學(xué) 生的個性化更充分的展現(xiàn)了, 老師應(yīng)如何組織課堂, 如何在課堂上發(fā)揮指導(dǎo)作用, 如何更好的將多樣的結(jié)果呈現(xiàn)給所有的學(xué)生, 都是需要思考和解決的問題。 因此 無論是小到一個數(shù)字化數(shù)學(xué)活動, 還是大到一個數(shù)字化數(shù)學(xué)活動系統(tǒng), 無論是在 一個課堂上, 還是充分的利用的網(wǎng)絡(luò)及各種媒體, 都有很多新問題, 需要集思廣 益,共同探究。附錄 1:學(xué)習(xí)主題:平面圖形的矩陣變換華師大二附中 王明玉 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.知識與技能:1了解圖形變換和坐標(biāo)變換之間的關(guān)系;2）掌握矩陣作用下平面圖形的旋轉(zhuǎn)變換和軸對稱變換； 3）掌握與學(xué)習(xí)主題相關(guān)的圖形計算器的操作技能。 2過程與方法：1）體會化歸和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法； 2）經(jīng)歷探究問題，解決問題以及交流合作的過程。 3情感態(tài)度與價值觀：在互相幫助，合作探索中體驗(yàn)探究的樂趣和成功的自豪。 學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1平面圖形的旋轉(zhuǎn)變換矩陣； 2平面圖形的軸對稱變換矩陣。 學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 平面圖形的軸對稱變換矩陣的探求 學(xué)習(xí)方法： 探究、討論。 學(xué)習(xí)工具： TI83-plus 圖形計算器。